Türev Kavramı

Bir tepeye tırmandığını düşün. Bazı yerler dik, bazı yerler düz. Bu derste tek bir soruya cevap arıyoruz: tam şu noktada yol ne kadar dik? Bu sorunun cevabının adı türev.

Tepeye tam yandan bakınca geriye bir eğri kalır. Yatay eksen ($x$) ne kadar ilerlediğini, düşey eksen ($y$) ne kadar yüksekte olduğunu gösterir. Her $x$ için bir yükseklik var: $y = f(x)$.

Önce dümdüz bir rampa. 1 birim sağa gidince kaç birim yükseldiğine bak. Bu sayıya rampanın eğimi denir.

Yokuş yukarı giden yolun eğimi pozitif, dümdüz yolun eğimi 0, yokuş aşağı giden yolun eğimi negatif. Yol ne kadar dikse sayı (işaretine bakmadan) o kadar büyük.

Eğri bir yolda tek bir eğim yok. Top ilerlerken üstündeki mavi çubuğa bak: önce dikleşir, tepede yatay olur, sonra aşağı döner. Her noktanın kendi eğimi var.

Eğri üzerinde iki nokta seç: $A$ ve $B$. Onları birleştiren doğruya kesen denir. Kesenin eğimi, $A$ ile $B$ arasındaki ortalama dikliktir.

Şimdi $h$'yi küçült: $B$, $A$'ya yaklaşır ve kesen döner. $h$ sıfıra çok yaklaşınca kesen, eğriye $A$'da yalnızca dokunan bir doğruya dönüşür.

Eğriye bir noktada dokunan bu doğruya teğet denir. Teğetin eğimi, yolun tam o noktadaki dikliğidir; buna türev diyoruz. Burada $f'(1) = 1{,}2$.

Noktayı eğri boyunca gezdir. Yokuş yukarıda türev pozitif, tepede 0, yokuş aşağıda negatif.

Nokta ilerlerken her yerdeki eğimi aşağıya mor bir nokta olarak işaretliyoruz. Bu noktalar yeni bir eğri çizer: türev fonksiyonu $f'(x)$.

$f'$ pozitifken $f$ artar, negatifken $f$ azalır. $f'$'nin $0$ olduğu yerde $f$'nin tepesi var. Türev grafiğinden fonksiyonu yorumlamak sınavın sevdiği bir sorudur.

$f(x) = x^2$ eğrisinde $x = -1, 0, 1, 2$ noktalarındaki teğet eğimleri $-2, 0, 2, 4$. Hepsi $2x$'e eşit: $f'(x) = 2x$. Genel kural: üs başa iner, üs bir azalır.

Bu grafik bir aracın yol–zaman grafiği olsun: $s(t) = t^2$. Eğim, birim zamanda alınan yoldur, yani hız. $t$ anındaki anlık hız: $v(t) = s'(t) = 2t$.

Köşeli noktada soldan gelince eğim $-1$, sağdan gelince $+1$. İki yan uyuşmadığı için tek bir teğet çizilemez: o noktada türev yok.

Grafik bir noktada kopuksa (süreksizse) orada teğet çizilemez. Kural: türevli ise sürekli. Tersi doğru değil: köşede fonksiyon sürekliydi ama türevi yoktu.

Türev = teğetin eğimi = anlık değişim hızı. Artan yerde $f' > 0$, azalan yerde $f' < 0$, tepede ve çukurda $f' = 0$. Köşede ve kopuk noktada türev yoktur.