30Konu 30 / 49
Limit, Türev ve İntegral

Türev Alma Kuralları ve Zincir Kuralı

Limit hesabına dönmeden türev almayı öğreniyoruz; toplam, fark, çarpım ve bölüm kurallarını, ardından bileşke fonksiyonun türevini veren zincir kuralını kurup teğet, grafik ve bağlamlı sınav sorularında kullanıyoruz.

12. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaTürev Alma Kuralları ve Zincir KuralıTürev Alma Kuralları ve Zincir Kuralı

Bir dikdörtgenin eni $t$ saniye sonra $t + 2$ cm, boyu $2t + 1$ cm. En saniyede $1$ cm, boy saniyede $2$ cm uzuyor. Alan saniyede $1 \cdot 2 = 2$ cm² mi büyür? Sahnedeki sayaç $t = 1$ anında $9$ cm²/sn gösteriyor. Çarpımın türevi, türevlerin çarpımı değildir; bu sayfa doğru kuralları ve nereden geldiklerini anlatıyor.

Isınma

Başlamadan: kuvvet kuralı, bileşke, teğet

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = 4x^3

için

f'(2)

kaçtır?

Açıklama

Kuvvet kuralı: $(a \cdot x^n)' = a \cdot n \cdot x^{n-1}$ . Buna göre $f'(x) = 12x^2$ ve $f'(2) = 48$ . Kuralın nereden geldiği Türev Kavramı sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x^2

g(x) = 2x + 1

için

(f \circ g)(1)

kaçtır?

Açıklama

Bileşkede önce içteki çalışır: $g(1) = 3$ , sonra $f(3) = 9$ . Zincir kuralında bu iç–dış sırası belirleyici olacak.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Türevli bir

f

fonksiyonu için

f(2) = 5

f'(2) = 3

ise grafiğin

x = 2

apsisli noktasındaki teğetinin denklemi hangisidir?

Açıklama

Teğet $(2, 5)$ noktasından geçer ve eğimi $f'(2) = 3$ ‘tür: $y - 5 = 3(x - 2)$ , yani $y = 3x - 1$ .

Temel

Toplam, fark ve sabit kat

Terim terim türev

Elimizde iki kural var: sabitin türevi $0$ , $(a \cdot x^n)' = a \cdot n \cdot x^{n-1}$ . Polinomlar bu tür terimlerin toplamıdır. Toplamın türevini almak için her terimin türevini ayrı ayrı alıp toplamak yeter.

Neden? $x$ değeri $h$ kadar artınca $f + g$ toplamındaki değişim, $f$ ‘deki değişim ile $g$ ‘deki değişimin toplamıdır. İkisini de $h$ ‘ye bölüp $h \to 0$ limitini alınca oranlar $f'(x)$ ve $g'(x)$ olur. Grafikte bu, aynı apsisteki eğimlerin toplanması demektir.

x = 1

apsisinde

f

'nin eğimi

1

g

'nin eğimi

0{,}5

;

f + g

eğrisinin eğimi

1{,}5

Sahnede $f(x) = 0{,}5x^2$ , $g(x) = 0{,}5x + 4$ ve toplamları var. $a$ sürgüsünü gezdir: üç eğim göstergesinden üçüncüsü her konumda ilk ikisinin toplamı. $a = -0{,}5$ konumunu bul; $f$ alçalırken $g$ aynı hızla yükseliyor ve toplamın teğeti yatay kalıyor.

Örnek

kolay

Polinomun türevi

$f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7$ fonksiyonu için $f'(2)$ kaçtır?

Fonksiyon dört terimin toplamı; her terime kuvvet kuralını ayrı uygula. Sabit çarpanlar yerinde kalır: $(2x^3)' = 6x^2$ , $(5x^2)' = 10x$ , $(4x)' = 4$ .

Sabit terim $-7$ ‘nin türevi $0$ ‘dır, çünkü sabit grafiği yalnızca aşağı kaydırır, eğimi değiştirmez. İşaretleri koruyarak birleştir:

$f'(x) = 6x^2 - 10x + 4$

Türevi aldıktan sonra $x = 2$ yaz: $6 \cdot 4 - 10 \cdot 2 + 4 = 24 - 20 + 4$ .

Sonuç

$f'(2) = 8$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x^4 - 3x^2 + 6

için

f'(2)

kaçtır?

Açıklama

$f'(x) = 4x^3 - 6x$ . Buna göre $f'(2) = 32 - 12 = 20$ .

Köklü ve kesirli terimler

Kuvvet kuralı rasyonel ve negatif üslerde de geçerlidir. Kökü ve paydadaki kuvveti önce üslü biçime çevir, sonra aynı kuralı uygula. İki sonucu sık kullanacaksın:

$\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \qquad \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$

Örnek

kolay

Üslü biçime çevirip terim terim türev

$f(x) = 6\sqrt{x} - \dfrac{8}{x} + x$ fonksiyonu için $f'(4)$ kaçtır?

Kuvvet kuralı $a \cdot x^n$ biçimi ister. Kökü ve kesri üslü yaz: $f(x) = 6x^{\frac{1}{2}} - 8x^{-1} + x$ .

Her terimde üssü öne indir, sonra bir azalt. Negatif üs öne inince eksi ile eksi çarpılır ve işaret artıya döner:

$f'(x) = 3x^{-\frac{1}{2}} + 8x^{-2} + 1 = \dfrac{3}{\sqrt{x}} + \dfrac{8}{x^2} + 1$

$x = 4$ yaz: $\dfrac{3}{2} + \dfrac{8}{16} + 1 = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} + 1$ .

Sonuç

$f'(4) = 3$

Türevin türevi

Türev fonksiyonu da bir fonksiyondur; onun da türevi alınabilir.

Örneğin $f(x) = x^3$ için $f'(x) = 3x^2$ ve $f''(x) = 6x$ olur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x^4 - 3x^2

için

f''(1)

kaçtır?

Açıklama

$f'(x) = 4x^3 - 6x$ , $f''(x) = 12x^2 - 6$ . Buna göre $f''(1) = 12 - 6 = 6$ .

Teğet denklemi

Türev kuralları, teğetin eğimini limit hesabına girmeden verir. Teğet için iki şey gerekir: değme noktası ve o noktadaki türev.

Örnek

kolay

Polinom eğrisinin teğeti

$y = x^3 - 3x + 1$ eğrisine apsisi $2$ olan noktada çizilen teğetin denklemini bul.

Değme noktası eğrinin üzerindedir; ordinatını fonksiyondan bul: $x = 2$ için $y = 8 - 6 + 1 = 3$ . Nokta $(2, 3)$ .

Eğim türevden gelir. Terim terim türev al: $y' = 3x^2 - 3$ . $x = 2$ için eğim $3 \cdot 4 - 3 = 9$ .

Nokta ve eğimi $y - y_0 = m(x - x_0)$ denklemine yerleştir: $y - 3 = 9(x - 2)$ .

Sonuç

Teğetin denklemi $y = 9x - 15$ ‘tir.

Orta

Çarpım, bölüm ve zincir kuralı

Çarpımın türevi

Kancadaki dikdörtgene dön. Kenarları $u$ ve $v$ olsun; kısa bir sürede $u$ kenarı $\Delta u$ , $v$ kenarı $\Delta v$ kadar uzasın. Alan üç parça kadar büyür: sağda $v \cdot \Delta u$ şeridi, üstte $u \cdot \Delta v$ şeridi ve köşede $\Delta u \cdot \Delta v$ dikdörtgeni.

Alandaki artış: iki şerit ve bir köşe. Süre kısaldıkça köşe, şeritlerin yanında önemsizleşir.

Sahnede $t = 1$ anındaki dikdörtgen duruyor: $u = 3$ , $v = 3$ . $h$ sürgüsü geçen süreyi belirliyor; küçülttükçe iki şerit inceliyor, köşe ise çok daha hızlı kayboluyor. Göstergede alan artışının süreye oranı $9 + 2h$ ; $h$ sıfıra yaklaşırken geriye yalnızca şeritlerin payı, yani $9$ kalıyor.

Artışı süreye bölüp limite geçince şeritler $u' \cdot v$ ve $u \cdot v'$ terimlerini verir; köşeden gelen terim sıfıra gider.

Kancayı denetle: $u = t + 2$ , $v = 2t + 1$ için $u' = 1$ , $v' = 2$ . $t = 1$ anında $1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 9$ cm²/sn.

Örnek

orta

Çarpım kuralı ve sağlaması

$h(x) = (x^2 + 1) \cdot \sqrt{x}$ fonksiyonu için $h'(4)$ kaçtır?

İki çarpanı adlandır ve türevlerini ayrı ayrı hazırla; kural dört parça ister. $f(x) = x^2 + 1$ , $f'(x) = 2x$ ; $g(x) = \sqrt{x}$ , $g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Türev fonksiyonunu açmak yerine dört değeri $x = 4$ için bul, çünkü istenen tek bir sayı: $f(4) = 17$ , $f'(4) = 8$ , $g(4) = 2$ , $g'(4) = \dfrac{1}{4}$ .

Kurala yerleştir: $h'(4) = f'(4) \cdot g(4) + f(4) \cdot g'(4) = 8 \cdot 2 + 17 \cdot \dfrac{1}{4}$ .

Sağlama için çarpımı aç: $h(x) = x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}}$ , $h'(x) = \dfrac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ . $x = 4$ için $20 + \dfrac{1}{4}$ ; aynı sonuç.

Sonuç

$h'(4) = 16 + \dfrac{17}{4} = \dfrac{81}{4}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(2) = 3

f'(2) = -1

g(2) = 4

g'(2) = 5

olduğuna göre

(f \cdot g)'(2)

kaçtır?

Açıklama

$(f \cdot g)'(2) = f'(2) \cdot g(2) + f(2) \cdot g'(2) = (-1) \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 11$ .

Bölümün türevi

Bölüm kuralı çarpım kuralından çıkar. $q = \dfrac{f}{g}$ ise $f = q \cdot g$ olur; çarpım kuralıyla $f' = q' \cdot g + q \cdot g'$ . Buradan $q'$ yalnız bırakılırsa aşağıdaki kural elde edilir.

Sahnede $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ eğrisi ve üzerinde bir nokta var. $a$ sürgüsüyle noktayı gezdir; göstergede pay, payda ve türevleri kuralın içine yerleşiyor, sonuç teğetin eğimiyle aynı çıkıyor. Bu fonksiyonda türevin payı hep $-3$ , paydası hep pozitif; eğim her noktada negatif çıkıyor.

Örnek

orta

Rasyonel fonksiyonun teğeti

$f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ eğrisine apsisi $2$ olan noktada çizilen teğetin denklemini bul.

Değme noktası: $f(2) = \dfrac{5}{1} = 5$ , yani $A(2, 5)$ .

Eğim için bölüm kuralı gerekir, çünkü ifade tek bir $a \cdot x^n$ terimi değil. Pay $2x + 1$ , türevi $2$ ; payda $x - 1$ , türevi $1$ .

$f'(x) = \dfrac{2 \cdot (x - 1) - (2x + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{-3}{(x - 1)^2}$

$x = 2$ için eğim $\dfrac{-3}{1} = -3$ . Teğet: $y - 5 = -3(x - 2)$ .

Sonuç

Teğetin denklemi $y = -3x + 11$ ‘dir.

f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}

eğrisinin

A(2, 5)

noktasındaki teğeti: eğim

f'(2) = -3

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = \dfrac{x}{x + 1}

için

f'(1)

kaçtır?

Açıklama

$f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{1}{(x + 1)^2}$ . Buna göre $f'(1) = \dfrac{1}{4}$ .

Zincir kuralı

$y = (2x + 1)^2$ gibi bir ifade iç içe iki işlemdir: önce $u = 2x + 1$ hesaplanır, sonra $y = u^2$ . Bu bir bileşkedir. $x$ biraz değişince $u$ değişir, $u$ değişince $y$ değişir; değişim bir zincir boyunca aktarılır.

$x = 1$ çevresine bak. $x$ değeri $h$ kadar artınca $u = 2x + 1$ değeri $2h$ artar. $u = 3$ iken $y = u^2$ fonksiyonunun türevi $2u = 6$ ‘dır; $u$ ‘daki $2h$ ‘lik artış $y$ ‘yi yaklaşık $6 \cdot 2h = 12h$ artırır. Oranlar çarpılır.

y = (2x + 1)^2

x = 1

çevresinde: değişim önce

2

ile, sonra

6

ile çarpılır; toplam oran

12

Sahnede üç sayı doğrusu alt alta: $x$ , $u = 2x + 1$ ve $y = u^2$ . $x$ sürgüsünü oynat; $x$ doğrusundaki küçük aralığın $u$ doğrusunda iki katına çıktığını, $y$ doğrusunda ise $2u$ katına büyüdüğünü izle. Toplam büyütme göstergesi iki oranın çarpımı: $x = 1$ için $2 \cdot 6 = 12$ .

Aynı düşünce her bileşke için geçerlidir: $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \dfrac{\Delta u}{\Delta x}$ yazılır ve $h \to 0$ limitine geçilir.

En sık karşılaşacağın iki özel hâl, dıştaki fonksiyonun kuvvet ya da karekök olduğu durumlardır:

$\left(\bigl[g(x)\bigr]^n\right)' = n \cdot \bigl[g(x)\bigr]^{n-1} \cdot g'(x) \qquad \left(\sqrt{g(x)}\right)' = \dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$

Örnek

orta

Parantezin kuvveti

$f(x) = (x^2 - 3)^5$ fonksiyonu için $f'(2)$ kaçtır?

Parantezi açmak beşinci kuvvette çok uzun sürer; zincir kuralını seçiyoruz. İç fonksiyon $u = x^2 - 3$ , dış fonksiyon $u^5$ .

Dışın türevini al, içi olduğu gibi bırak: $5u^4 = 5(x^2 - 3)^4$ . Sonra içtekinin türeviyle çarp: $(x^2 - 3)' = 2x$ .

$f'(x) = 5(x^2 - 3)^4 \cdot 2x$

$x = 2$ için parantezin içi $4 - 3 = 1$ olur: $f'(2) = 5 \cdot 1^4 \cdot 4$ .

Sonuç

$f'(2) = 20$

Sahnede $d(x) = \sqrt{x^2 + 9}$ eğrisi ve üzerinde bir nokta var. Göstergede dışın türevi, içtekinin türevi ve çarpımları yazıyor; çarpım teğetin eğimi. “İç türevi unut” düğmesine bas: yalnızca dışın türeviyle çizilen doğru eğriyi kesip geçiyor, teğet olmuyor.

Örnek

orta

Demirli gemiye uzaklık

Düz bir kıyıdan $3$ km açıkta demirli bir gemi var. Ece, kıyıda gemiye en yakın noktadan başlayıp kıyı boyunca yürüyor. $x$ km yürüdüğünde gemiye uzaklığı $d(x) = \sqrt{x^2 + 9}$ km oluyor. Ece $4$ km yürüdüğü anda, yürüdüğü her kilometre gemiye uzaklığını yaklaşık kaç kilometre artırır?

“Kilometre başına ne kadar artar” sorusu anlık değişim oranını, yani $d'(4)$ değerini soruyor. $d$ bir bileşke: iç $u = x^2 + 9$ , dış $\sqrt{u}$ .

Dışın türevi $\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$ , içtekinin türevi $2x$ . Zincir kuralıyla çarp ve sadeleştir:

$d'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$

$x = 4$ için $\sqrt{16 + 9} = 5$ olduğundan $d'(4) = \dfrac{4}{5}$ .

Sonuç

Uzaklık kilometre başına yaklaşık $0{,}8$ km artar. Oran $1$ ‘den küçüktür, çünkü Ece gemiden doğrudan uzaklaşmıyor, yanından geçiyor.

(4, 5)

noktasında teğetin eğimi

\dfrac{4}{5}

. İç türev unutulursa bulunan

\dfrac{1}{10}

eğimli doğru teğet değildir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = \sqrt{3x + 1}

için

f'(5)

kaçtır?

Açıklama

$f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$ . $x = 5$ için $\sqrt{16} = 4$ ve $f'(5) = \dfrac{3}{8}$ .

İleri

Sınav düzeyi: değerler, grafikler ve birleşik kurallar

Formül yokken türev: değer okumak

Zincir kuralı bir noktada dört sayıdan yalnızca üçünü ister: $(g \circ f)'(a) = g'\bigl(f(a)\bigr) \cdot f'(a)$ . Kilit nokta, $g'$ fonksiyonunun $a$ ‘da değil $f(a)$ ‘da hesaplanmasıdır.

Sahne iki panelli. Solda $f(x) = x^2 - 1$ eğrisi ve $a$ noktasındaki teğeti, sağda $g'$ fonksiyonunun grafiği var. $a$ sürgüsünü oynat: soldaki $f(a)$ değeri sağ panelin yatay eksenine taşınıyor ve $g'$ orada okunuyor. Çarpım göstergesi $g'\bigl(f(a)\bigr) \cdot f'(a)$ ; $a = 2$ için $1 \cdot 4 = 4$ .

Örnek

zor

Türev grafiğinden bileşkenin türevi

Gerçek sayılarda türevlenebilir bir $g$ fonksiyonunun türevi olan $g'$ fonksiyonunun grafiği aşağıdaki doğrudur. $f(x) = x^2 - 1$ olduğuna göre $(g \circ f)'(2)$ kaçtır?

Zincir kuralını noktada yaz: $(g \circ f)'(2) = g'\bigl(f(2)\bigr) \cdot f'(2)$ . $g$ ‘nin formülü yok ama gerekmiyor; yalnızca $g'$ değerine ihtiyacımız var.

İç fonksiyonun değerini ve türevini bul: $f(2) = 4 - 1 = 3$ ve $f'(x) = 2x$ olduğundan $f'(2) = 4$ .

Grafikten $g'$ değerini oku. Okunacak apsis $2$ değil, $f(2) = 3$ ‘tür: doğru $(3, 1)$ noktasından geçiyor, $g'(3) = 1$ .

Sonuç

$(g \circ f)'(2) = 1 \cdot 4 = 4$ . Grafikte $x = 2$ okunsaydı $g'(2) = 2$ alınır ve yanlış olarak $8$ bulunurdu.

Teğet bilgisiyle birleşik kurallar

Bir teğet denklemi iki bilgi taşır: değme noktasındaki değer ve türev. ÖSYM bu ikisini verip üzerine çarpım ve zincir kuralını birlikte kurdurur. Sıra hep aynıdır: en dıştaki işlemi belirle, onun kuralını yaz, içeride kalan parçaların türevini ayrıca al.

Örnek

zor

Çarpımın içinde zincir

Türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun grafiğine $x = 1$ apsisli noktada çizilen teğetin denklemi $y = 2x + 1$ ‘dir. $g(x) = x \cdot \bigl(f(x)\bigr)^2$ olduğuna göre $g'(1)$ kaçtır?

Teğeti oku. Değme noktası teğetin üzerindedir: $f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ . Teğetin eğimi türevdir: $f'(1) = 2$ .

En dıştaki işlem çarpımdır: $x$ ile $\bigl(f(x)\bigr)^2$ . Çarpım kuralı: $g'(x) = 1 \cdot \bigl(f(x)\bigr)^2 + x \cdot \left(\bigl(f(x)\bigr)^2\right)'$ .

İkinci çarpan bir bileşkedir (iç $f(x)$ , dış kare); zincir kuralıyla $\left(\bigl(f(x)\bigr)^2\right)' = 2 \cdot f(x) \cdot f'(x)$ .

$x = 1$ yaz: $g'(1) = 3^2 + 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = 9 + 12$ .

Sonuç

$g'(1) = 21$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(3) = 2

f'(3) = 5

olduğuna göre

h(x) = \bigl(f(x)\bigr)^2

için

h'(3)

kaçtır?

Açıklama

$h'(x) = 2 \cdot f(x) \cdot f'(x)$ olduğundan $h'(3) = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 20$ .

Yatay teğet ve parametre

Teğetin $x$ eksenine paralel olması, eğiminin sıfır olması demektir: $f'(a) = 0$ . Bölüm kuralında kesrin sıfır olması için payın sıfır olması yeter; paydanın karesiyle uğraşmana gerek kalmaz.

Örnek

zor

Yatay teğetten parametre

$a$ bir gerçek sayı olmak üzere $f(x) = \dfrac{x^2 + a}{x + 1}$ fonksiyonunun grafiğine $x = 1$ apsisli noktada çizilen teğet $x$ eksenine paraleldir. Bu teğetin denklemi nedir?

Bölüm kuralını uygula. Pay $x^2 + a$ , türevi $2x$ ; payda $x + 1$ , türevi $1$ :

$f'(x) = \dfrac{2x(x + 1) - (x^2 + a)}{(x + 1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x - a}{(x + 1)^2}$

Yatay teğet için $f'(1) = 0$ olmalı. Payda $4$ ‘tür, sıfır değildir; o hâlde pay sıfırdır: $1 + 2 - a = 0$ , $a = 3$ .

Yatay doğrunun denklemi $y = f(1)$ biçimindedir. $a = 3$ için $f(1) = \dfrac{1 + 3}{2} = 2$ .

Sonuç

Teğetin denklemi $y = 2$ ‘dir.

Bağlam içinde çarpım kuralı

Bir büyüklük iki değişen şeyin çarpımıysa (alan = taban × yükseklik, gelir = fiyat × adet) değişim hızı çarpım kuralıyla bulunur ve iki terimin her biri ayrı bir anlam taşır.

Sahnede bir eğri ve köşeleri $(0, 0)$ , $(x, 0)$ , $(x, f(x))$ olan dik üçgen var; alanı $g(x) = \dfrac{x \cdot f(x)}{2}$ . Noktayı sürükle: alan iki nedenle değişiyor, taban uzuyor ve yükseklik değişiyor. Gösterge iki katkıyı ayrı yazıyor. $x = 2$ ‘de eğrinin teğeti yatay, yine de alan artıyor.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Sahnedeki eğri için

f(4) = 2

f'(4) = 1

‘dir.

g(x) = \dfrac{x \cdot f(x)}{2}

olduğuna göre

g'(4)

kaçtır?

Açıklama

$g'(x) = \dfrac{1 \cdot f(x) + x \cdot f'(x)}{2}$ olduğundan $g'(4) = \dfrac{2 + 4 \cdot 1}{2} = 3$ .

Örnek

zor

Kahve fiyatı ve günlük gelir

Bir kafede bardağı $x$ TL’den satılan kahveden günde $s(x) = \dfrac{6000}{x + 20}$ bardak satılıyor. Günlük gelir $G(x) = x \cdot s(x)$ TL’dir. Fiyat $20$ TL iken fiyatı $1$ TL artırmak günlük geliri yaklaşık kaç TL değiştirir?

Sorulan, gelirin fiyata göre anlık değişim oranıdır: $G'(20)$ . Gelir bir çarpım olduğundan $G'(x) = 1 \cdot s(x) + x \cdot s'(x)$ .

$s'(x)$ için $s(x) = 6000 \cdot (x + 20)^{-1}$ yaz ve zincir kuralını uygula (iç $x + 20$ , türevi $1$ ):

$s'(x) = -6000 \cdot (x + 20)^{-2} = \dfrac{-6000}{(x + 20)^2}$

$x = 20$ için değerleri bul: $s(20) = \dfrac{6000}{40} = 150$ ve $s'(20) = \dfrac{-6000}{1600} = -\dfrac{15}{4}$ .

Yerine koy: $G'(20) = 150 + 20 \cdot \left(-\dfrac{15}{4}\right) = 150 - 75$ . İlk terim, satılan her bardaktan gelen fazladan $1$ TL’dir; ikinci terim, kaçan müşterilerin götürdüğü gelirdir.

Sonuç

$G'(20) = 75$ : günlük gelir yaklaşık $75$ TL artar.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Sabit kat, toplam, fark: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ , $(f \pm g)' = f' \pm g'$ . Polinomun türevi terim terim alınır; sabit terim gider.
Sık kullanılanlar: $\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ . İkinci türev $f''$ , türevin türevidir.
Çarpım: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$ . Türevlerin çarpımı değildir.
Bölüm: $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$ . Sıra önemli; payı parantezle yaz.
Zincir: $(f \circ g)'(x) = f'\bigl(g(x)\bigr) \cdot g'(x)$ . Özel hâller: $\left([g]^n\right)' = n[g]^{n-1} \cdot g'$ , $\left(\sqrt{g}\right)' = \dfrac{g'}{2\sqrt{g}}$ .
Teğet: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . Teğet denkleminden $f(a)$ ve $f'(a)$ okunur; yatay teğette $f'(a) = 0$ .
Sıra: önce türev kuralı, en sonda $x = a$ . Birleşik ifadede en dıştaki işlemin kuralıyla başla.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

8 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 21

Kolay

Çarpımın türevi ve ikinci türev

$a$ ve $b$ gerçel sayılardır. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonu

$f(x) = x^2 \cdot (ax + b)$

kuralıyla veriliyor.

$f(1) = 1$

$f'(2) = 2$

olduğuna göre $f''(3)$ değeri kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. Çarpımı aç. Çarpım kuralı da kullanılabilir, ama iki kez türev alınacağı için açmak daha kısadır: $f(x) = ax^3 + bx^2$ .

2. Verilenleri denkleme çevir.

$f(1) = 1$ : $a + b = 1$ .
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx$ olduğundan $f'(2) = 12a + 4b = 2$ , yani $6a + 2b = 1$ .

3. Çöz. İlk denklemin iki katını ikinciden çıkar: $4a = -1$ , $a = -\dfrac{1}{4}$ . Buradan $b = \dfrac{5}{4}$ .

4. İkinci türev. $f''(x) = 6ax + 2b$ .

$f''(3) = 18a + 2b = -\dfrac{9}{2} + \dfrac{5}{2} = -2$

Sağlama (çarpım kuralıyla): $f'(x) = 2x(ax + b) + x^2 \cdot a$ , $f'(2) = 4(2a + b) + 4a = 12a + 4b$ ; aynı denklem.

Cevap: B

2026 AYTSoru 22

Kolay

Toplamın ve çarpımın türevi

$a$ pozitif bir tam sayıdır. Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları

$f(x) = x^a + 3$

$g(x) = \sqrt{x} + ax$

kurallarıyla veriliyor.

$(f + g)'(1) = \dfrac{9}{2}$

olduğuna göre $(f \cdot g)'(1)$ ifadesinin değeri kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. Türevleri al. $f'(x) = a \cdot x^{a-1}$ ve $g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + a$ . $x = 1$ için $f'(1) = a$ , $g'(1) = a + \dfrac{1}{2}$ .

2. Toplamın türevinden $a$ 'yı bul. Toplamın türevi türevlerin toplamıdır:

$(f + g)'(1) = a + a + \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2} \;\Rightarrow\; a = 2$

3. Dört değeri hazırla. $a = 2$ için $f(1) = 1 + 3 = 4$ , $g(1) = 1 + 2 = 3$ , $f'(1) = 2$ , $g'(1) = \dfrac{5}{2}$ .

4. Çarpım kuralı.

$(f \cdot g)'(1) = f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1) = 2 \cdot 3 + 4 \cdot \dfrac{5}{2} = 16$

Tuzak: türevleri birbiriyle çarpmak ( $2 \cdot \dfrac{5}{2} = 5$ ) ya da $f(1)$ değerinde sabit $3$ 'ü unutmak.

Cevap: A

2025 AYTSoru 21

Zor

Zincir kuralı

$n$ bir pozitif tam sayı, $a$ sıfırdan farklı bir gerçel sayıdır. Derecesi $n$ ve baş katsayısı $a$ olan bir $f$ polinom fonksiyonu

$\left(\bigl(f(x)\bigr)^3\right)' = \bigl(f'(x)\bigr)^4$

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre $a \cdot n$ çarpımı kaçtır?

İpucu

Polinomu bulmaya çalışma. İki taraf aynı polinomsa dereceleri de baş katsayıları da eşittir; türev alınca derece bir düşer, baş katsayı dereceyle çarpılır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Sol tarafı zincir kuralıyla aç. İç $f(x)$ , dış küp:

$\left(\bigl(f(x)\bigr)^3\right)' = 3 \cdot \bigl(f(x)\bigr)^2 \cdot f'(x)$

2. Türevin derecesi ve baş katsayısı. $f$ 'nin en büyük dereceli terimi $ax^n$ ise $f'$ 'nin en büyük dereceli terimi $n \cdot a \cdot x^{n-1}$ 'dir: derece $n - 1$ , baş katsayı $na$ . ( $n = 1$ olsaydı sol tarafın derecesi $2$ , sağ taraf sabit olurdu; eşitlik sağlanmaz.)

3. Dereceleri eşitle. Sol taraf: $2n + (n - 1) = 3n - 1$ . Sağ taraf: $4(n - 1) = 4n - 4$ .

$3n - 1 = 4n - 4 \;\Rightarrow\; n = 3$

4. Baş katsayıları eşitle. $n = 3$ için $f'$ 'nin baş katsayısı $3a$ 'dır. Sol taraf: $3 \cdot a^2 \cdot 3a = 9a^3$ . Sağ taraf: $(3a)^4 = 81a^4$ .

$9a^3 = 81a^4 \;\Rightarrow\; a = \dfrac{1}{9} \quad (a \neq 0)$

5. Sonuç. $a \cdot n = \dfrac{1}{9} \cdot 3 = \dfrac{1}{3}$ .

Sağlama: $f(x) = \dfrac{x^3}{9}$ için $f'(x) = \dfrac{x^2}{3}$ ; sol taraf $3 \cdot \dfrac{x^6}{81} \cdot \dfrac{x^2}{3} = \dfrac{x^8}{81}$ , sağ taraf $\left(\dfrac{x^2}{3}\right)^4 = \dfrac{x^8}{81}$ .

Cevap: B

2025 AYTSoru 22

Orta

Çarpım ve zincir kuralı

Dik koordinat düzleminde $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğine

$(2, f(2))$ noktasında çizilen teğetin denklemi $y = 3x - 1$ ,
$(5, f(5))$ noktasında çizilen teğetin denklemi $y = 2x + 4$

olarak veriliyor.

Buna göre

$g(x) = x^2 \cdot (f \circ f)(x)$

kuralıyla tanımlanan $g$ fonksiyonu için $g'(2)$ değeri kaçtır?

İpucu

Her teğet denklemi iki sayı verir: değme noktasındaki fonksiyon değeri ve türev. $f(2)$ değerini bulunca ikinci teğetin neden $x = 5$ 'te verildiğini göreceksin.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Teğetleri oku. Değme noktası teğetin üzerindedir, teğetin eğimi türevdir.

$y = 3x - 1$ : $f(2) = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ ve $f'(2) = 3$ .
$y = 2x + 4$ : $f(5) = 2 \cdot 5 + 4 = 14$ ve $f'(5) = 2$ .

2. Türevi kur. En dıştaki işlem çarpımdır; ikinci çarpan $f\bigl(f(x)\bigr)$ bileşkesidir ve zincir kuralı ister.

$g'(x) = 2x \cdot f\bigl(f(x)\bigr) + x^2 \cdot f'\bigl(f(x)\bigr) \cdot f'(x)$

3. $x = 2$ yaz. $f(2) = 5$ olduğundan içteki değer $5$ 'tir:

$g'(2) = 4 \cdot f(5) + 4 \cdot f'(5) \cdot f'(2) = 4 \cdot 14 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 56 + 24 = 80$

Tuzak: $f'\bigl(f(2)\bigr)$ yerine $f'(2)$ yazmak ( $56 + 4 \cdot 3 \cdot 3 = 92$ çıkar, seçeneklerde yoktur) ya da zincirdeki son $f'(2)$ çarpanını unutmak ( $56 + 8 = 64$ , A seçeneği).

Cevap: C

2022 AYTSoru 20

Kolay

Zincir kuralı

$f$ ve $g$ , gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir fonksiyonlardır. $f$ doğrusal bir fonksiyondur; $g$ 'nin türevi olan $g'$ de doğrusal bir fonksiyondur. Dik koordinat düzleminde $f$ 'nin grafiği ile $g'$ 'nin grafiği şekildeki gibidir.

Buna göre $(g \circ f)'(1)$ değeri kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Zincir kuralını noktada yaz.

$(g \circ f)'(1) = g'\bigl(f(1)\bigr) \cdot f'(1)$

2. $f$ doğrusundan oku. Doğru orijinden ve $(1, 2)$ noktasından geçiyor: $f(1) = 2$ . Doğrusal fonksiyonun türevi eğimidir: $f'(1) = \dfrac{2 - 0}{1 - 0} = 2$ .

3. $g'$ doğrusundan oku. Bu doğru $g$ 'nin değil, $g'$ 'nin grafiğidir; üzerindeki ordinatlar doğrudan türev değerleridir. Okunacak apsis $f(1) = 2$ 'dir. Doğru $(0, 3)$ ve $(3, 0)$ noktalarından geçtiğinden denklemi $y = 3 - x$ , dolayısıyla $g'(2) = 1$ .

4. Çarp. $(g \circ f)'(1) = 1 \cdot 2 = 2$ .

Tuzak: $g'$ grafiğinde $x = 1$ okunursa $g'(1) = 2$ alınır ve $2 \cdot 2 = 4$ bulunur. $g'$ 'nin girdisi $f(1)$ 'dir.

Cevap: B

2022 AYTSoru 21

Orta

Çarpımın türevi

Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı, türevlenebilir ve yalnızca pozitif değerler alan bir $f$ fonksiyonunun grafiği dik koordinat düzleminde şekildeki gibi verilmiştir.

$g$ fonksiyonu şöyle tanımlanıyor: her pozitif $x$ gerçel sayısı için $g(x)$ ; köşeleri $(0, 0)$ , $(x, 0)$ ve $(x, f(x))$ olan dik üçgenin alanıdır.

$f(3) = 1$

$f'(3) = 7$

olduğuna göre $g'(3)$ değeri kaçtır?

İpucu

Önce $g(x)$ 'i $x$ ve $f(x)$ cinsinden yaz. Üçgenin dik kenarlarından biri yatay, öteki düşeydir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. $g$ fonksiyonunu kur. Dik kenarlar $x$ (yatay) ve $f(x)$ (düşey) uzunluğundadır; ikisi de pozitiftir.

$g(x) = \dfrac{x \cdot f(x)}{2}$

2. Çarpım kuralıyla türev al. $x$ ile $f(x)$ çarpılıyor; $\dfrac{1}{2}$ sabit çarpandır.

$g'(x) = \dfrac{1 \cdot f(x) + x \cdot f'(x)}{2}$

3. $x = 3$ yaz.

$g'(3) = \dfrac{f(3) + 3 \cdot f'(3)}{2} = \dfrac{1 + 3 \cdot 7}{2} = 11$

Tuzak: $x$ 'in türevinden gelen $f(x)$ terimini unutmak ( $\dfrac{21}{2}$ çıkar, seçeneklerde yoktur) ya da $2$ 'ye bölmeyi unutmak. Şekil genel bir $x$ için çizilmiştir; $x = 3$ şekilde işaretli değildir.

Cevap: E

2019 AYTSoru 23

Kolay

Zincir kuralı

$k$ bir gerçel sayıdır. Gerçel sayılar kümesinin birer alt kümesinde tanımlı ve türevlenebilir olan $f$ ve $g$ fonksiyonları arasında

$f(x) = g\left(x^2\right) + kx^3$

bağıntısı vardır.

$f'(-1) = g'(1) = 2$

olduğuna göre $k$ kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. İki terimin türevini ayrı al. $g\left(x^2\right)$ bir bileşkedir: iç $x^2$ , dış $g$ . Zincir kuralıyla türevi $g'\left(x^2\right) \cdot 2x$ olur. $kx^3$ teriminin türevi $3kx^2$ 'dir.

$f'(x) = 2x \cdot g'\left(x^2\right) + 3kx^2$

2. $x = -1$ yaz. İçteki $x^2$ ifadesi $1$ olur; bu yüzden $g'(1)$ verilmiştir.

$f'(-1) = -2 \cdot g'(1) + 3k = -2 \cdot 2 + 3k = 3k - 4$

3. Eşitle. $3k - 4 = 2$ , buradan $k = 2$ .

Tuzak: $2x$ çarpanını (içtekinin türevini) unutursan $2 + 3k = 2$ yazıp $k = 0$ bulursun; $2x$ çarpanının $x = -1$ 'deki eksi işaretini atlarsan $4 + 3k = 2$ çıkar ve seçeneklerde olmayan bir değere ulaşırsın.

Cevap: A

2019 AYTSoru 24

Orta

Zincir kuralı

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonu

$f(x) = x^2 + x - 4$

kuralıyla veriliyor.

$g$ , gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir fonksiyondur. Türevi olan $g'$ fonksiyonu için $g'(x) = 0$ eşitliği yalnızca $x = 2$ değerinde sağlanmaktadır.

Buna göre

$(g \circ f)'(x) = 0$

eşitliğini sağlayan $x$ değerlerinin çarpımı kaçtır?

İpucu

Zincir kuralı türevi iki çarpanın çarpımı olarak verir. Bir çarpım, çarpanlarından biri sıfırken sıfır olur; iki durumu ayrı ayrı incele.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Zincir kuralını yaz.

$(g \circ f)'(x) = g'\bigl(f(x)\bigr) \cdot f'(x)$

Çarpım sıfırsa çarpanlardan en az biri sıfırdır.

2. Dıştan gelen çarpan: $g'\bigl(f(x)\bigr) = 0$ . $g'$ yalnızca $2$ 'de sıfır olduğundan bu, $f(x) = 2$ demektir:

$x^2 + x - 4 = 2 \;\Rightarrow\; x^2 + x - 6 = 0 \;\Rightarrow\; (x + 3)(x - 2) = 0$

$x = -3$ ya da $x = 2$ .

3. İçten gelen çarpan: $f'(x) = 0$ . $f'(x) = 2x + 1$ olduğundan $x = -\dfrac{1}{2}$ .

4. Çarp. $(-3) \cdot 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 3$ .

Tuzak: yalnızca $f(x) = 2$ durumuna bakıp $-6$ bulmak ya da $g'(x) = 0$ koşulunu $x = 2$ diye doğrudan kullanmak. $g'$ 'nin girdisi $x$ değil, $f(x)$ 'tir; $f'(x) = 0$ kökü de unutulmamalıdır.

Cevap: C

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Bölümün türevi

Gerçel sayılar kümesinin bir alt kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonu

$f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$

kuralıyla veriliyor.

Buna göre $f'(2)$ kaçtır?

Çözüm

1. Bölüm kuralını yaz. Pay $x^2 + 3$ , türevi $2x$ ; payda $x - 1$ , türevi $1$ .

$f'(x) = \dfrac{2x \cdot (x - 1) - (x^2 + 3) \cdot 1}{(x - 1)^2}$

2. $x = 2$ yaz. Payı açmadan yerine koymak daha hızlıdır:

$f'(2) = \dfrac{4 \cdot 1 - 7 \cdot 1}{1^2} = -3$

Sağlama: pay açılırsa $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$ ve $f'(2) = \dfrac{4 - 4 - 3}{1} = -3$ .

Çeldiriciler: paydaki sıra ters yazılırsa $3$ ; türevler birbirine bölünürse $\dfrac{2x}{1} = 4$ ; türev alınmadan yerine konursa $f(2) = 7$ ; paydaki eksi artı yapılırsa $11$ çıkar.

Cevap: A

Özgün soru2

Kolay

Zincir kuralı

Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonu

$f(x) = \sqrt{x^2 + 5x + 2}$

kuralıyla veriliyor.

Buna göre $f'(2)$ kaçtır?

Çözüm

1. İç ve dışı ayır. İç $u = x^2 + 5x + 2$ , dış $\sqrt{u}$ . Dışın türevi $\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$ , içtekinin türevi $2x + 5$ .

2. Zincir kuralı.

$f'(x) = \dfrac{2x + 5}{2\sqrt{x^2 + 5x + 2}}$

3. $x = 2$ yaz. Kökün içi $4 + 10 + 2 = 16$ , kök $4$ ; pay $9$ .

$f'(2) = \dfrac{9}{2 \cdot 4} = \dfrac{9}{8}$

Çeldiriciler: içtekinin türevi unutulursa $\dfrac{1}{8}$ ; paydadaki $2$ unutulursa $\dfrac{9}{4}$ ; paydaya kökün değeri yazılmazsa $\dfrac{9}{2}$ ; paydaya $\sqrt{u}$ yerine $u$ yazılırsa $\dfrac{9}{16}$ bulunur.

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Bölümün türevi

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için

$f(1) = 2, \quad f'(1) = 3, \quad g(1) = 4, \quad g'(1) = -2$

değerleri veriliyor.

Buna göre $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$ kuralıyla tanımlanan $h$ fonksiyonu için $h'(1)$ kaçtır?

İpucu

Fonksiyonların formülü yok; bölüm kuralını noktada yazıp dört sayıyı yerine koy. Eksi ile eksinin çarpımına dikkat et.

Çözüm

1. Bölüm kuralını $x = 1$ için yaz.

$h'(1) = \dfrac{f'(1) \cdot g(1) - f(1) \cdot g'(1)}{\bigl(g(1)\bigr)^2}$

2. Yerine koy.

$h'(1) = \dfrac{3 \cdot 4 - 2 \cdot (-2)}{4^2} = \dfrac{12 + 4}{16} = 1$

Çeldiriciler: $g'(1)$ 'in eksi işareti atlanırsa $\dfrac{12 - 4}{16} = \dfrac{1}{2}$ ; türevler birbirine bölünürse $\dfrac{3}{-2} = -\dfrac{3}{2}$ ; paydaki sıra ters yazılırsa $-1$ ; paydanın karesi alınmazsa $\dfrac{16}{4} = 4$ bulunur.

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

Zincir kuralı

Küre biçimindeki bir balon şişirilirken yarıçapı, şişirmeye başlandıktan $t$ saniye sonra

$r(t) = \sqrt{t + 1}$

santimetre oluyor. Yarıçapı $r$ olan kürenin hacmi $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ formülüyle hesaplanır.

Buna göre $t = 3$ anında balonun hacmi saniyede kaç santimetreküp artmaktadır?

İpucu

Hacim yarıçapa, yarıçap zamana bağlı: bu bir bileşkedir. Hacmin zamana göre türevi iki oranın çarpımıdır.

Çözüm

1. Zinciri kur. $V$ , $r$ 'ye; $r$ , $t$ 'ye bağlıdır. Zincir kuralı: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \cdot \dfrac{dr}{dt}$ .

2. İki türevi al.

$\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2 \qquad \dfrac{dr}{dt} = \dfrac{1}{2\sqrt{t + 1}}$

3. $t = 3$ için değerler. $r(3) = \sqrt{4} = 2$ ; $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi \cdot 4 = 16\pi$ ; $\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{1}{4}$ .

4. Çarp. $\dfrac{dV}{dt} = 16\pi \cdot \dfrac{1}{4} = 4\pi$ cm³/sn.

Sağlama: $V(t) = \dfrac{4}{3}\pi (t + 1)^{\frac{3}{2}}$ yazılırsa $V'(t) = 2\pi\sqrt{t + 1}$ ve $V'(3) = 4\pi$ .

Çeldiriciler: yarıçapın değişim hızı unutulursa $16\pi$ ; $\dfrac{dr}{dt}$ 'deki $2$ unutulursa $8\pi$ ; hacmin kendisi hesaplanırsa $\dfrac{32\pi}{3}$ ; $r^2$ yerine $r$ alınırsa $2\pi$ bulunur.

Cevap: B

Özgün soru5

Zor

Bölüm ve zincir kuralı

Dik koordinat düzleminde, gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun grafiği ile bu grafiğe $A(1, 2)$ noktasında teğet olan $d$ doğrusu şekilde verilmiştir. $d$ doğrusu $y$ eksenini $(0, -1)$ noktasında kesmektedir.

Buna göre

$g(x) = \dfrac{f\left(x^2\right)}{x + 1}$

kuralıyla tanımlanan $g$ fonksiyonu için $g'(1)$ kaçtır?

İpucu

Teğetten $f(1)$ ve $f'(1)$ değerlerini oku. $g$ 'nin payı bir bileşkedir; bölüm kuralını yazarken payın türevini zincir kuralıyla al.

Çözüm

1. Teğeti oku. Değme noktası $A(1, 2)$ : $f(1) = 2$ . $d$ doğrusu $(0, -1)$ ve $(1, 2)$ noktalarından geçer; eğimi $\dfrac{2 - (-1)}{1 - 0} = 3$ , yani $f'(1) = 3$ .

2. Payın türevi (zincir kuralı). İç $x^2$ , dış $f$ :

$\left(f\left(x^2\right)\right)' = f'\left(x^2\right) \cdot 2x$

3. Bölüm kuralı.

$g'(x) = \dfrac{2x \cdot f'\left(x^2\right) \cdot (x + 1) - f\left(x^2\right) \cdot 1}{(x + 1)^2}$

4. $x = 1$ yaz. $x^2 = 1$ olduğundan $f(1)$ ve $f'(1)$ kullanılır:

$g'(1) = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 2 - 2}{2^2} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}$

Çeldiriciler: içtekinin türevi $2x$ unutulursa $\dfrac{6 - 2}{4} = 1$ ; $g'(1)$ yerine doğrudan $f'(1)$ işaretlenirse $3$ ; paydaki eksi artı yapılırsa $\dfrac{7}{2}$ ; paydanın karesi alınmazsa $\dfrac{10}{2} = 5$ bulunur.

Cevap: B

Özgün soru6

Zor

Çarpım ve zincir kuralı

$a$ bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonu

$f(x) = (x - a)^2 \cdot (x + 2)$

kuralıyla veriliyor. $f$ fonksiyonunun grafiğine $x = 1$ apsisli noktada çizilen teğetin eğimi $0$ 'dır.

Buna göre $a$ 'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

İpucu

Teğetin eğimi türevdir: $f'(1) = 0$ . Türevi alırken çarpımı açma; çarpım kuralından sonra ortak çarpanı dışarı al.

Çözüm

1. Çarpım kuralı. Birinci çarpan $(x - a)^2$ bir bileşkedir; zincir kuralıyla türevi $2(x - a) \cdot 1$ olur. İkinci çarpanın türevi $1$ 'dir.

$f'(x) = 2(x - a)(x + 2) + (x - a)^2$

2. Ortak çarpanı ayır.

$f'(x) = (x - a)\bigl[2(x + 2) + (x - a)\bigr] = (x - a)(3x + 4 - a)$

3. Eğim koşulu. Teğetin eğimi $f'(1)$ 'dir ve $0$ olmalıdır:

$(1 - a)(7 - a) = 0 \;\Rightarrow\; a = 1 \ \text{ya da} \ a = 7$

4. İki değeri de denetle. $a = 1$ için $f(x) = (x - 1)^2(x + 2)$ ve $f(1) = 0$ ; teğet $y = 0$ doğrusudur. $a = 7$ için $f(1) = 36 \cdot 3 = 108$ ; teğet $y = 108$ doğrusudur. İkisinde de eğim $0$ 'dır, iki değer de geçerlidir.

Toplam: $1 + 7 = 8$ .

Çeldiriciler: yalnızca $a = 1$ görülürse $1$ , yalnızca $3x + 4 - a$ çarpanına bakılırsa $7$ , fark alınırsa $6$ bulunur.

Cevap: D