Katı Cisimler:Silindir, Koni ve Küre

Silindirin hacmi $V = \pi r^2 h$ ile bulunur.

Tilkinin kabı. $r = 15$ cm, $h = 1$ cm:

$V = \pi \cdot 15^2 \cdot 1 = 225\pi \text{ cm}^3$

Leyleğin kabı. Yarıçapı $r$, yüksekliği $36$ cm: $V = \pi \cdot r^2 \cdot 36$.

Eşitlik.

$36\pi r^2 = 225\pi \Rightarrow r^2 = \dfrac{225}{36} = \dfrac{25}{4} \Rightarrow r = \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \text{ cm}$

Kısa yol: Hacim sabitken yükseklik $36$ katına çıkmışsa taban alanı $36$'da birine, yani yarıçap $6$'da birine iner: $15 : 6 = 2{,}5$.

Tuzak: Yarıçapı yükseklikle ters orantılı sanıp $15 : 36$ yapmak. Ters orantılı olan yarıçapın karesidir.

Ortak yarıçap $r$, yarım silindirin boyu (silindirin yüksekliği) $h$ olsun.

Hacim eşitliği. Yarım silindirin hacmi $\dfrac{\pi r^2 h}{2}$, yarım kürenin hacmi $\dfrac{2}{3}\pi r^3$:

$\dfrac{\pi r^2 h}{2} = \dfrac{2}{3}\pi r^3 \Rightarrow h = \dfrac{4r}{3}$

Yarım silindirin zemin dışındaki yüzeyi. Zemine oturan yüz $2r \times h$ boyutlu dikdörtgendir; o sayılmaz. Geriye kalanlar:

• Yanal yüzün yarısı: $\dfrac{2\pi r h}{2} = \pi r h = \pi r \cdot \dfrac{4r}{3} = \dfrac{4}{3}\pi r^2$
• İki uçtaki yarım daireler: $2 \cdot \dfrac{\pi r^2}{2} = \pi r^2$

Toplam: $\dfrac{4}{3}\pi r^2 + \pi r^2 = \dfrac{7}{3}\pi r^2$.

Yarım kürenin zemin dışındaki yüzeyi. Zemine oturan yüz taban dairesidir; geriye yalnızca eğri yüzey kalır: $2\pi r^2$.

Oran.

$\dfrac{\dfrac{7}{3}\pi r^2}{2\pi r^2} = \dfrac{7}{6}$

Tuzak: Yarım silindirin iki ucundaki yarım daireleri unutursan oran $\dfrac{2}{3}$ çıkar ve seçeneklerde bulunmaz. Binalar "tamamen kapalı" olduğu için uç yüzler de vardır.

Alttaki külah ters durur: tepe noktası zeminde, tabanı $12$ birim yukarıdadır. Yani yüksekliği $12$ birimdir; taban yarıçapına $R$ diyelim.

Benzerlik. Üstteki külahın tabanı, alttaki külahın zeminden $8$ birim yükseklikteki kesitine oturur. Tepe noktasından $8$ birim uzaktaki kesit, tabanın $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ oranında küçültülmüşüdür:

$r = \dfrac{2R}{3}$

Bu, üstteki külahın taban yarıçapıdır.

Hacim eşitliği. Üstteki külahın yüksekliği $h$ olsun:

$\dfrac{\pi R^2 \cdot 12}{3} = \dfrac{\pi \left(\dfrac{2R}{3}\right)^2 \cdot h}{3} \Rightarrow 12 = \dfrac{4}{9}h \Rightarrow h = 27$

İstenen uzaklık. Üstteki külahın tabanı zeminden $8$ birim yukarıdadır; tepe noktası bunun $27$ birim üstündedir: $8 + 27 = 35$.

Tuzak: $h = 27$ bulunca durmak ya da şekle bakarak oran tahmin etmek. Şekil ölçekli değildir ve soru tepe noktasının zemine uzaklığını sorar.

Kalemin taban alanı $S$, toplam uzunluğu $L$ olsun. Yarıçap verilmemiş; gerek de yok, $S$ sadeleşecek.

İlk hacim. Koni ucun uzunluğu $1$, silindir kısmın uzunluğu $L - 1$ birimdir:

$V = S(L - 1) + \dfrac{S \cdot 1}{3} = S\left(L - \dfrac{2}{3}\right)$

Azalan hacim. İkinci uç açılınca boyu $1$ birim olan silindir parçasının (hacmi $S$) yerinde aynı tabanlı, aynı yükseklikte bir koni (hacmi $\dfrac{S}{3}$) kalır. Hacim $S - \dfrac{S}{3} = \dfrac{2S}{3}$ azalır.

Denklem. Bu azalma ilk hacmin % 5'idir:

$\dfrac{2S}{3} = \dfrac{5}{100} \cdot S\left(L - \dfrac{2}{3}\right) \Rightarrow L - \dfrac{2}{3} = \dfrac{40}{3} \Rightarrow L = 14$

Tuzak: Yüzdeyi yalnızca silindir kısmın hacmine ya da $S \cdot L$ değerine göre almak. Yüzde, ilk durumdaki kalemin tamamının hacmine göredir ve o kalemin bir ucu zaten konidir.

Kabın taban yarıçapı $R$, yüksekliği $H$; bloğun taban yarıçapı $r$ olsun. Bloğun yüksekliği $\dfrac{H}{2}$ olur.

Kap tam dolu olduğu için taşan suyun hacmi, suya batan bloğun hacmine eşittir. Taşan su kaptaki suyun, yani kabın hacminin $\dfrac{1}{32}$'sidir:

$\pi r^2 \cdot \dfrac{H}{2} = \dfrac{1}{32} \cdot \pi R^2 H$

İki yandaki $\pi$ ve $H$ sadeleşir:

$\dfrac{r^2}{2} = \dfrac{R^2}{32} \Rightarrow \dfrac{R^2}{r^2} = 16 \Rightarrow \dfrac{R}{r} = 4$

Tuzak: Yükseklikteki "yarım" çarpanını unutursan $\dfrac{R^2}{r^2} = 32$ ve $4\sqrt{2}$ bulursun. Karekök almayı unutursan $16$ çıkar; seçeneklerde yoktur ama yarıçap oranı ile alan oranını karıştırma.

Çeyrek dilim çıkınca geriye dairenin $\dfrac{3}{4}$'ü, yani merkez açısı $270^\circ$ olan bir daire dilimi kalır. Bu dilim koninin açınımıdır.

Ana doğru. Dilimin yarıçapı kıvrılınca koninin ana doğrusu olur: $l = 8$.

Taban yarıçapı. Dilimin yayı koninin taban çemberine dönüşür. Yay uzunluğu

$\dfrac{3}{4} \cdot 2\pi \cdot 8 = 12\pi$

olduğundan $2\pi r = 12\pi$ ve $r = 6$ bulunur.

Yükseklik. Yarıçap, yükseklik ve ana doğru bir dik üçgen oluşturur:

$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

Tuzak: Kâğıdın yarıçapını ($8$) koninin taban yarıçapı ya da yüksekliği sanmak. $8$, koninin ana doğrusudur.

Önce yarıçapı bul. Kürenin yüzey alanı $4\pi r^2$ olduğundan

$4\pi r^2 = 100\pi \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5$

Hacim:

$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 125 = \dfrac{500\pi}{3}$

Çeldiriciler: Alanı $\pi r^2$ sanıp $r = 10$ alırsan $\dfrac{4000\pi}{3}$, hacimde $\dfrac{4}{3}$ çarpanını unutursan $125\pi$, üçe bölmeyi unutursan $500\pi$ bulursun. $\dfrac{250\pi}{3}$ ise yarım kürenin hacmidir.

Yanal alan formülünde yükseklik değil ana doğru vardır. Önce ana doğruyu bul:

$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$

Yanal alan: $\pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi$.

Taban alanı: $\pi r^2 = 25\pi$.

Yüzey alanı: $65\pi + 25\pi = 90\pi$ birimkare.

Çeldiriciler: $65\pi$ yalnızca yanal alandır. Ana doğru yerine yüksekliği kullanırsan yanal alan $60\pi$, yüzey alanı $85\pi$ çıkar. $100\pi$ ise koninin hacmidir: $\dfrac{\pi \cdot 25 \cdot 12}{3}$.

Koninin taban yarıçapı $r$, ana doğrusu $l$ olsun.

Açıdan gelen bağ. Açınımdaki dilim, yarıçapı $l$ olan dairenin $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$'üdür. Bu oran $\dfrac{r}{l}$'ye eşittir: $l = 4r$.

Alandan gelen bağ. $\pi r l = 36\pi \Rightarrow r \cdot 4r = 36 \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3$ ve $l = 12$.

Yükseklik.

$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{144 - 9} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}$

Çeldiriciler: $12$ ana doğrudur, yükseklik değil. Kareleri çıkarmak yerine toplarsan $3\sqrt{17}$, uzunlukları doğrudan çıkarırsan $9$ bulursun. Dilimi dairenin yarısı sanıp $l = 2r$ alırsan $3\sqrt{6}$ çıkar.

Mavi alan. Silindirin yanal alanı: $2\pi r h = 2\pi \cdot 6 \cdot 10 = 120\pi$ m².

Beyaz alan. Koninin yanal alanı $\pi r l$ ile bulunur; önce ana doğru gerekir:

$l = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \text{ m}$

Yanal alan: $\pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$ m².

Oran. $\dfrac{60\pi}{120\pi} = \dfrac{1}{2}$.

Çeldiriciler: Koninin yanal alanında ana doğru yerine yüksekliği ($8$) kullanırsan $\dfrac{48\pi}{120\pi} = \dfrac{2}{5}$ bulursun. Silindirin yanal alanında $2$ çarpanını unutursan oran $1$ çıkar. $\dfrac{4}{5}$ yüksekliklerin, $\dfrac{4}{15}$ ise hacimlerin oranıdır ($96\pi$ ve $360\pi$).

Silindir kürenin içine simetrik oturur: kürenin merkezi, silindirin ekseninin tam ortasındadır. Bu yüzden her taban, kürenin merkezine $\dfrac{8}{2} = 4$ birim uzaklıktaki bir kesittir.

Taban yarıçapı. Kürenin merkezi, kesitin merkezi ve taban çemberi üzerindeki bir nokta dik üçgen oluşturur. Hipotenüs kürenin yarıçapıdır:

$r = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$

Hacim.

$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 9 \cdot 8 = 72\pi$

Çeldiriciler: Silindirin taban yarıçapını kürenin yarıçapına eşit alırsan $200\pi$ bulursun; silindir o zaman küreden taşar. Dik üçgende $4$ yerine $3$ kullanıp $r = 4$ alırsan $128\pi$, yüksekliği $4$ alırsan $36\pi$ çıkar. $96\pi$, küre formülündeki $\dfrac{4}{3}$ çarpanının silindire taşınmasıdır.

Kap tabanı üzerinde durduğu için su altta, boşluk üstte, tepe noktasının olduğu yerdedir. Boş kısım, kabın tepe noktasını paylaşan küçük bir konidir ve kabın kendisine benzerdir.

Benzerlik oranı. Su yüksekliğin yarısına kadar çıktığına göre boş koninin yüksekliği de kabın yüksekliğinin yarısıdır: $k = \dfrac{1}{2}$. Yarıçap da aynı oranda küçülür.

Hacim oranı. Uzunluklar $k$ katına inince hacim $k^3$ katına iner:

$V_{\text{boş}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \cdot 240 = 30 \text{ cm}^3$

Suyun hacmi. $240 - 30 = 210$ cm³.

Çeldiriciler: "Yarı yükseklik, yarı hacim" diye düşünürsen $120$ bulursun. $30$, boş kısmın hacmidir; kap ters çevrilseydi su o kadar olurdu. Hacim oranı için $k^2$ kullanırsan boşluk $60$, su $180$ çıkar.