45Konu 45 / 49
Geometri

Katı Cisimler:Prizma ve Piramit

Dik prizma ve dik piramitte uzunluk, yüzey alanı ve hacim. Açınım, cisim köşegeni, yan yüz yüksekliği ve AYT'nin kutu, küp ve parça çıkarma soruları.

10. sınıf
AYT sıklığı
50 dk

LevhaKatı CisimlerKatı Cisimler

Bir kargo kutusunun iç ölçüleri $40$ cm, $30$ cm ve $120$ cm. İçine $125$ cm’lik bir olta kamışı koymak istiyorsun. En uzun ayrıt $120$ cm, yani kamış hiçbir ayrıt boyunca sığmaz. Peki kutunun bir köşesinden karşı çapraz köşesine uzatırsan?

Sahnedeki düğmeye bas: kamış köşeden köşeye yatınca sığıyor. Bu sayfada önce prizmanın ve piramidin alanını ve hacmini hesaplayacak, Orta bölümde de o çapraz uzunluğun neden $130$ cm olduğunu tek satırda göstereceksin.

Isınma

Başlamadan: üç hızlı soru

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Katı cisim sorularının neredeyse hepsi sonunda bir dik üçgene ya da bir çokgenin alanına iner. Eksiğin varsa önce Dik Üçgen ve Özel Dörtgenler sayfalarına bak.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Dik kenarları

5

12

birim olan dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

Açıklama

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ ve $\sqrt{169} = 13$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Kenarları

6

8

birim olan dikdörtgenin köşegeni kaç birimdir?

Açıklama

Köşegen, kenarları $6$ ve $8$ olan dik üçgenin hipotenüsüdür: $\sqrt{36 + 64} = 10$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir kenarı

4

birim olan eşkenar üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Açıklama

Kenarı $a$ olan eşkenar üçgenin alanı $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ olur: $\dfrac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ .

Temel

Prizmayı tanı: taban, yükseklik, alan, hacim

Dik prizma nedir?

Bir deste oyun kâğıdını düşün: aynı şekil üst üste, dümdüz yukarı doğru dizilmiş. Dik prizma tam olarak budur: bir çokgenin, kendi düzlemine dik doğrultuda yukarı kaydırılmasıyla oluşan cisim.

Sahnede taban çokgenini seç ve $h$ sürgüsünü çek. Taban yukarı kayarken geçtiği yer prizmayı doldurur. Dikkat et: alttaki ve üstteki çokgen hep aynıdır, yan yüzler ise hep dikdörtgendir.

Üçgen, dörtgen ve altıgen dik prizma: tabanlar eş, yan yüzler dikdörtgen

Tabanı dikdörtgen olan dik prizmaya dikdörtgenler prizması, bütün ayrıtları eşit olanına küp denir. Küpün $6$ yüzü de eş karedir.

Yüzey alanı: cismi aç, düzleme ser

Bir kutuyu ayrıtlarından kesip masaya yayarsan açınımını elde edersin. Yüzey alanı, bu açınımın alanıdır; yeni bir formül ezberlemene gerek yok.

Sahnede prizma açılıyor: yan yüzler tek bir uzun şerit olur. Açılma sürgüsünü geri çekip prizmayı kapat, sonra yeniden aç. Şeridin yüksekliği $h$ , uzunluğu ise tabanın çevresidir. Tabanı üçgen ya da altıgen yaptığında da aynı şey olur.

Dikdörtgenler prizmasının açınımı: yanal yüzler, uzunluğu taban çevresi olan tek bir dikdörtgendir

Örnek

kolay

Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı

Ayrıt uzunlukları $3$ , $4$ ve $5$ birim olan dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı kaç birimkaredir?

Prizmanın $6$ yüzü vardır ve karşılıklı yüzler eştir. Bu yüzden üç farklı dikdörtgenin alanını bulup ikiyle çarpmak yeter.

Üç farklı yüz: $3 \cdot 4 = 12$ , $4 \cdot 5 = 20$ ve $3 \cdot 5 = 15$ birimkare.

Toplam: $2 \cdot (12 + 20 + 15) = 2 \cdot 47$ .

Sonuç

Yüzey alanı $94$ birimkaredir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Yüzey alanı

54

birimkare olan küpün bir ayrıtı kaç birimdir?

Açıklama

$6a^2 = 54 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$ .

Hacim: taban alanı kaç kat yükseliyor?

Hacim, cismin içini dolduran birim küplerin sayısıdır.

Sahnede tabana bir kat birim küp diziliyor: bu katta taban alanı kadar küp var. Kat sürgüsünü çektikçe aynı kat üst üste biner. Toplam küp sayısı, bir kattaki küp sayısı çarpı kat sayısıdır.

Örnek

kolay

Üçgen dik prizma

Bir dik prizmanın tabanı, dik kenarları $6$ ve $8$ birim olan bir dik üçgendir; yüksekliği $5$ birimdir. Bu prizmanın hacmini ve yüzey alanını bul.

Önce tabanı tanı. Dik üçgenin alanı $T = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$ birimkaredir. Hipotenüs $\sqrt{36 + 64} = 10$ birim, çevre $\text{Ç} = 6 + 8 + 10 = 24$ birimdir.

Hacim, taban alanı çarpı yüksekliktir: $V = 24 \cdot 5 = 120$ birimküp.

Yanal yüzler açılınca uzunluğu çevre kadar olan bir şerit olur: $\text{Ç} \cdot h = 24 \cdot 5 = 120$ birimkare. Buna iki tabanı ekle: $120 + 2 \cdot 24$ .

Sonuç

Hacim $120$ birimküp, yüzey alanı $168$ birimkaredir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Taban ayrıtı

4

birim, yüksekliği

10

birim olan kare dik prizmanın hacmi kaç birimküptür?

Açıklama

$V = T \cdot h = 4^2 \cdot 10 = 160$ birimküp. ( $192$ , bu prizmanın yüzey alanıdır: $2 \cdot 16 + 16 \cdot 10$ .)

Orta

Cisim köşegeni, altıgen taban ve dik piramit

Cisim köşegeni

Kutunun içine sığan en uzun doğru parçası, bir köşeyi karşı çapraz köşeye bağlar. Aynı yüzde bulunmayan iki köşeyi birleştiren bu doğru parçasına cisim köşegeni denir.

Sahnede iki dik üçgen art arda beliriyor. Önce tabanda: $a$ ve $b$ ayrıtları taban köşegeni $d$ ‘yi verir. Sonra dik duran üçgende: $d$ ve $c$ cisim köşegenini verir. Ayrıt sürgülerini oynat, iki üçgenin de hep dik kaldığını gör.

d^2 = a^2 + b^2

|AG|^2 = d^2 + c^2

: Pisagor bağıntısı iki kez

Örnek

orta

Olta kamışı kutuya sığar mı?

İç ölçüleri $40$ cm, $30$ cm ve $120$ cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutuya, $125$ cm uzunluğundaki düz bir olta kamışı sığar mı?

Kutuya sığabilecek en uzun düz cisim, cisim köşegeni kadardır. O hâlde kamışın boyunu ayrıtlarla değil cisim köşegeniyle karşılaştırmalıyız.

Önce taban köşegeni: $\sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{2500} = 50$ cm. Bu, $3$ - $4$ - $5$ üçgeninin $10$ katıdır.

Sonra cisim köşegeni: $\sqrt{50^2 + 120^2} = \sqrt{2500 + 14400} = \sqrt{16900} = 130$ cm. Bu da $5$ - $12$ - $13$ üçgeninin $10$ katıdır.

Sonuç

$125 < 130$ olduğundan kamış, köşeden köşeye yerleştirilirse sığar.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir ayrıtı

2

birim olan küpün cisim köşegeni kaç birimdir?

Açıklama

$\sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ . Kısaca $a\sqrt{3}$ .

Altıgen taban

Düzgün altıgeni merkezinden köşelerine bağlarsan altı eş eşkenar üçgen elde edersin. Altıgen prizma ve piramit sorularında bütün uzunluklar bu üçgenlerden okunur.

Kenarı

a

olan düzgün altıgen: merkez köşeye

a

, kenara

\dfrac{a\sqrt{3}}{2}

uzaklıkta

Kenarı $a$ olan düzgün altıgenin alanı $6 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ , çevresi $6a$ olur.

Örnek

orta

Düzgün altıgen dik prizma

Taban ayrıtı $4$ birim, yüksekliği $10$ birim olan düzgün altıgen dik prizmanın hacmini ve yüzey alanını bul.

Formülü hatırlamaya çalışmak yerine tabanı altı eşkenar üçgene böl. Bir üçgenin alanı $\dfrac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ , taban alanı $T = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ birimkaredir.

Hacim: $V = T \cdot h = 24\sqrt{3} \cdot 10 = 240\sqrt{3}$ birimküp.

Yanal alan, çevre çarpı yüksekliktir: $\text{Ç} = 6 \cdot 4 = 24$ ve $24 \cdot 10 = 240$ birimkare. İki tabanı ekle: $240 + 2 \cdot 24\sqrt{3}$ .

Sonuç

Hacim $240\sqrt{3}$ birimküp, yüzey alanı $240 + 48\sqrt{3}$ birimkaredir.

Örnek

orta

Akvaryuma atılan küp

Taban ayrıtları $12$ cm ve $9$ cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir akvaryumda su yüksekliği $8$ cm’dir. Suya, bir ayrıtı $6$ cm olan metal bir küp bırakılıyor; küp tamamen suya batıyor ve su taşmıyor. Son durumda su yüksekliği kaç cm olur?

Batan cisim, kendi hacmi kadar suyu yukarı iter. Küpün hacmi $6^3 = 216$ cm³ olduğundan su seviyesinin üstünde $216$ cm³’lük yeni bir “su katmanı” oluşur.

Bu katman da tabanı akvaryumun tabanı olan bir prizmadır. Taban alanı $12 \cdot 9 = 108$ cm² olduğundan yüksekliği $\dfrac{216}{108} = 2$ cm’dir.

Kontrol: son yükseklik $8 + 2 = 10$ cm ve küpün ayrıtı $6$ cm; küp gerçekten tamamen suyun altındadır.

Sonuç

Su yüksekliği $10$ cm olur.

Dik piramit

Piramitte taban tektir; yan yüzler tek bir noktada, tepe noktasında buluşan üçgenlerdir.

Sahnede tepe noktası, tabanın merkezinin tam üstünde duruyor. $h$ sürgüsünü çek: yan yüzler eş ikizkenar üçgenler olarak kalır. Piramidin içinde beliren dik üçgene bak: bir kenarı yükseklik, bir kenarı merkezden taban ayrıtına inen dikme, hipotenüsü yan yüzün yüksekliği.

Tabanın merkezi, köşelere eşit uzaklıktaki noktadır: karede ve dikdörtgende köşegenlerin kesim noktası, eşkenar üçgende yüksekliklerin kesim noktası, düzgün altıgende karşılıklı köşeleri birleştiren köşegenlerin kesim noktası. Bu sayfadaki piramitlerin tabanı kare, eşkenar üçgen ya da düzgün altıgendir.

Kare dik piramitte

TOM

dik üçgeni:

|TM|^2 = h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2

Tabanı kare, eşkenar üçgen ya da düzgün altıgen olan dik piramitte yan ayrıtların hepsi eşit, yan yüzlerin hepsi eş ikizkenar üçgendir. İki dik üçgen işini görür:

Yükseklik, merkezin taban ayrıtına uzaklığı ve yan yüz yüksekliği.
Yükseklik, merkezin taban köşesine uzaklığı ve yan ayrıt.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Taban ayrıtı

6

birim, yüksekliği

4

birim olan kare dik piramidin yan yüz yüksekliği kaç birimdir?

Açıklama

Merkezin taban ayrıtına uzaklığı $\dfrac{6}{2} = 3$ birimdir. $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ .

Piramidin hacmi

Sahnede ayrıtı $a$ olan bir küp, tepe noktaları küpün merkezinde buluşan altı eş dik piramide ayrılıyor. Ayırma sürgüsünü çek: her piramidin tabanı küpün bir yüzü ( $T = a^2$ ), yüksekliği ayrıtın yarısıdır ( $h = \dfrac{a}{2}$ ). Altı eş parça küpü tam doldurduğuna göre birinin hacmi $\dfrac{a^3}{6}$ olur. Bu da tam olarak $\dfrac{T \cdot h}{3}$ eder: $\dfrac{a^2 \cdot \frac{a}{2}}{3} = \dfrac{a^3}{6}$ .

Aynı tabanlı ve aynı yükseklikteki prizma küpün yarısıdır ( $\dfrac{a^3}{2}$ ); piramit onun üçte biri çıktı. Bu oran yalnızca bu piramide özgü değildir: tabanı ve yüksekliği ne olursa olsun her piramidin hacmi, aynı tabanlı ve aynı yükseklikteki prizmanın hacminin üçte biridir. Genel durumun kanıtı programın dışındadır; kuralı bu örnekle hatırla.

Örnek

orta

Kare dik piramit: alan ve hacim

Taban ayrıtı $10$ birim, yüksekliği $12$ birim olan kare dik piramidin hacmini ve yüzey alanını bul.

Hacim için gereken her şey verilmiş: $V = \dfrac{T \cdot h}{3} = \dfrac{100 \cdot 12}{3} = 400$ birimküp.

Alan için yan yüz yüksekliği gerekir, çünkü yan yüzler eğik üçgenlerdir. Merkezin taban ayrıtına uzaklığı $5$ birimdir: $y = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ birim.

Bir yan yüzün alanı $\dfrac{10 \cdot 13}{2} = 65$ , dört yan yüzün alanı $260$ birimkaredir. Tabanı ekle: $260 + 100$ .

Sonuç

Hacim $400$ birimküp, yüzey alanı $360$ birimkaredir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Taban ayrıtı

6

birim, yüksekliği

5

birim olan kare dik piramidin hacmi kaç birimküptür?

Açıklama

$V = \dfrac{36 \cdot 5}{3} = 60$ birimküp.

Kare dik piramidin açınımı: bir kare ve dört eş ikizkenar üçgen

Örnek

orta

Açınımdan piramide

Yukarıdaki açınım, kenarı $6$ birim olan bir kare ile eş kenarları $5$ birim olan dört eş ikizkenar üçgenden oluşuyor. Bu açınım katlanarak kare dik piramit yapılıyor. Piramidin yüzey alanını ve hacmini bul.

Açınımdaki üçgenler piramidin yan yüzleridir; eş kenarları yan ayrıt olur. Bir üçgenin tabana ait yüksekliği yan yüz yüksekliğidir: $y = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ birim.

Yüzey alanı açınımın alanıdır: $6^2 + 4 \cdot \dfrac{6 \cdot 4}{2} = 36 + 48 = 84$ birimkare.

Hacim için piramidin yüksekliği gerekir. Merkezin taban ayrıtına uzaklığı $3$ birim olduğundan $h = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$ birimdir.

$V = \dfrac{36 \cdot \sqrt{7}}{3} = 12\sqrt{7}$ birimküp.

Sonuç

Yüzey alanı $84$ birimkare, hacim $12\sqrt{7}$ birimküptür.

Örnek

orta

Kule çatısının kiremidi

Bir kulenin çatısı, taban ayrıtı $8$ m ve yüksekliği $3$ m olan kare dik piramit biçimindedir. Çatının yalnızca dış yan yüzleri kiremitle kaplanacaktır. Bir metrekareye $12$ kiremit gittiğine göre çatı için kaç kiremit gerekir?

Kaplanacak yüzey yanal alandır; taban kulenin üstüne oturduğu için sayılmaz. Yanal alan için yan yüz yüksekliği gerekir, verilen $3$ m ise piramidin yüksekliğidir.

Merkezin taban ayrıtına uzaklığı $4$ m’dir: $y = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m.

Bir yan yüz $\dfrac{8 \cdot 5}{2} = 20$ m², dört yan yüz $80$ m² eder.

Kiremit sayısı: $80 \cdot 12 = 960$ .

Sonuç

Çatı için $960$ kiremit gerekir.

İleri

Birleşik sorular: altıgen piramit, parça çıkarma, bağlam

Merkezden köşeye, merkezden kenara

Dik piramitte asıl iş, tabanın merkezinin köşeye ve kenara uzaklığını doğru yazmaktır. Kenarı $a$ olan tabanlarda:

Taban	Merkez–köşe	Merkez–kenar
Kare	$\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{a}{2}$
Eşkenar üçgen	$\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$	$\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Düzgün altıgen	$a$	$\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Eşkenar üçgende merkez, yüksekliği köşeden başlayarak $2:1$ oranında böler; tablodaki iki değer $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ yüksekliğinin üçte ikisi ve üçte biridir.

Örnek

zor

Düzgün altıgen dik piramit

Taban ayrıtı $6$ birim, yan ayrıtı $10$ birim olan düzgün altıgen dik piramidin hacmini ve yanal alanını bul.

Yan ayrıt verildiği için köşeden geçen dik üçgeni kullan. Düzgün altıgende merkezin köşeye uzaklığı kenara eşittir, yani $6$ birimdir. $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ birim.

Taban alanı altı eşkenar üçgendir: $T = 6 \cdot \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3}$ . Hacim: $V = \dfrac{54\sqrt{3} \cdot 8}{3} = 144\sqrt{3}$ birimküp.

Yan yüz, kenarları $10$ , $10$ , $6$ olan ikizkenar üçgendir. Yüksekliği $y = \sqrt{10^2 - 3^2} = \sqrt{91}$ birimdir. Burada merkez–kenar uzaklığına hiç gerek kalmadı; yan yüzün kendisi yetti.

Yanal alan: $6 \cdot \dfrac{6 \cdot \sqrt{91}}{2} = 18\sqrt{91}$ birimkare.

Sonuç

Hacim $144\sqrt{3}$ birimküp, yanal alan $18\sqrt{91}$ birimkaredir.

Örnek

zor

Üçgen dik piramit

Bir dik piramidin tabanı, bir kenarı $6$ birim olan eşkenar üçgendir; yan ayrıtlarının her biri $4$ birimdir. Bu piramidin hacmi kaç birimküptür?

Dik piramitte tepe noktası taban merkezinin üstündedir. Eşkenar üçgenin yüksekliği $\dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ , merkezin köşeye uzaklığı bunun üçte ikisi, yani $2\sqrt{3}$ birimdir.

Yükseklik, merkez–köşe uzaklığı ve yan ayrıt bir dik üçgen oluşturur: $h = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = 2$ birim.

Taban alanı $\dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ birimkaredir. $V = \dfrac{9\sqrt{3} \cdot 2}{3}$ .

Sonuç

Hacim $6\sqrt{3}$ birimküptür.

Parça çıkarınca alan ve hacim nasıl değişir?

Bir cisimden parça çıkarınca hacim her zaman çıkan parçanın hacmi kadar azalır. Yüzey alanı ise azalabilir, aynı kalabilir, hatta artabilir: kaybolan yüzleri ve yeni açılan yüzleri tek tek saymalısın.

Sahnede küpün bir düşey ayrıtı boyunca prizma biçiminde bir parça çıkarılıp yana çekiliyor. İki sürgüyle parçanın taban ölçülerini değiştir. Parçanın üzerindeki taralı iki şerit, küpün yan yüzlerinden kaybolan kısımdır; oyukta açılan iki yeni yüz bunlarla eştir. Bu yüzden yüzey alanı yalnızca üstten ve alttan eksilen iki dikdörtgen kadar azalır.

Örnek

zor

Köşeden küp, ortadan tünel

Bir ayrıtı $6$ birim olan iki tahta küp var. Birincisinin bir köşesinden, bir ayrıtı $2$ birim olan küp biçiminde bir parça çıkarılıyor. İkincisinin bir yüzünün ortasından karşı yüzüne kadar, kare kesitli (kenarı $2$ birim) düz bir tünel açılıyor. Kalan iki cismin yüzey alanlarını ve hacimlerini bul.

Başlangıçta her küpün yüzey alanı $6 \cdot 6^2 = 216$ birimkare, hacmi $6^3 = 216$ birimküptür.

Köşeden küp çıkarınca üç yüzden $2 \times 2$ ‘lik birer kare kaybolur, ama oyukta tam bunlara eş üç yeni kare açılır. Yüzey alanı değişmez: $216$ birimkare. Hacim $216 - 2^3 = 208$ birimküp olur.

Tünelde durum farklıdır. İki karşılıklı yüzden birer kare kaybolur: $-2 \cdot 4 = -8$ . Tünelin içinde ise $2 \times 6$ boyutlu dört yeni yüz açılır: $+4 \cdot 12 = +48$ .

İkinci cismin yüzey alanı $216 - 8 + 48 = 256$ birimkare, hacmi $216 - 2 \cdot 2 \cdot 6 = 192$ birimküptür.

Sonuç

Birinci cisim: alan $216$ birimkare, hacim $208$ birimküp. İkinci cisim: alan $256$ birimkare, hacim $192$ birimküp. Hacim iki durumda da azaldı; yüzey alanı birinde aynı kaldı, diğerinde arttı.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir küpün bütün ayrıtları

3

katına çıkarılırsa hacmi kaç katına çıkar?

Açıklama

$(3a)^3 = 27a^3$ . Hacim $3^3 = 27$ katına çıkar.

Bağlamlı bir soru

Sınav soruları çoğu zaman formül sormaz; anlatılan durumu senin modele dökmeni ister. Aşağıdaki örnekte önce hangi yüzlerin kaybolduğunu say, sonra denklemleri kur.

Özdeş iki koli üç farklı yüzünden birleştiriliyor: I, II ve III numaralı paketler

Örnek

zor

İki koliden tek paket

Dikdörtgenler prizması biçimindeki özdeş iki koli, birer yüzleri tam çakışacak biçimde bantlanarak tek paket yapılıyor. Koliler yukarıdaki üç farklı biçimde birleştirilebiliyor; oluşan I, II ve III numaralı paketlerin yüzey alanları sırasıyla $94$ , $104$ ve $112$ birimkaredir. Bir kolinin hacmi kaç birimküptür?

Bir kolinin farklı üç yüzünün alanlarına büyükten küçüğe $z$ , $y$ , $x$ diyelim. Bir kolinin yüzey alanı $2(x + y + z)$ , ayrı duran iki kolinin toplam alanı $4(x + y + z)$ olur.

Koliler birleşince çakışan yüz, iki koliden de kaybolur; yani toplamdan bir değil iki yüz eksilir. I numaralı pakette en büyük yüzler ( $z$ ) çakışmıştır, çünkü en çok alan orada kaybolmuş ve en küçük sonuç çıkmıştır:

$4(x + y + z) - 2z = 94$

Aynı biçimde II için $4(x + y + z) - 2y = 104$ , III için $4(x + y + z) - 2x = 112$ . Üç eşitliği taraf tarafa topla:

$12(x + y + z) - 2(x + y + z) = 310 \Rightarrow x + y + z = 31$

$4 \cdot 31 = 124$ olduğundan $2z = 124 - 94$ , $2y = 124 - 104$ , $2x = 124 - 112$ ; yani $z = 15$ , $y = 10$ , $x = 6$ .

Ayrıtlar $a$ , $b$ , $c$ ise bu alanlar $ab = 6$ , $ac = 10$ , $bc = 15$ çarpımlarıdır. Taraf tarafa çarpınca her ayrıt iki kez gelir: $(abc)^2 = 6 \cdot 10 \cdot 15 = 900$ , yani $abc = 30$ . Kontrol: ayrıtlar $2$ , $3$ , $5$ birimdir.

Sonuç

Bir kolinin hacmi $30$ birimküptür.

Özet

Dik prizma: eş ve paralel iki taban, dikdörtgen yan yüzler. $V = T \cdot h$ , yanal alan $= \text{Ç} \cdot h$ , yüzey alanı $= 2T + \text{Ç} \cdot h$ .
Dikdörtgenler prizması: alan $2(ab + bc + ca)$ , hacim $abc$ , cisim köşegeni $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ .
Küp: alan $6a^2$ , hacim $a^3$ , yüz köşegeni $a\sqrt{2}$ , cisim köşegeni $a\sqrt{3}$ .
Düzgün altıgen taban: altı eşkenar üçgen, alan $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ ; merkez köşeye $a$ , kenara $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ uzaklıkta.
Dik piramit: tepe noktası taban merkezinin üstünde. $V = \dfrac{T \cdot h}{3}$ ; yüzey alanı $=$ taban $+$ yan yüz üçgenleri.
Piramitte iki dik üçgen: yükseklik ile merkez–kenar uzaklığı yan yüz yüksekliğini, yükseklik ile merkez–köşe uzaklığı yan ayrıtı verir.
Yüzey alanı açınımın alanıdır. Parça çıkarınca hacim hep azalır; alan için kaybolan ve yeni açılan yüzleri say.
Uzunluklar $k$ katına çıkarsa alan $k^2$ , hacim $k^3$ katına çıkar.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

4 çıkmış soru6 özgün soru

2024 AYTSoru 40

Zor

Yüzey alanı ve hacim

Şekil 1'deki küp biçimli blok, üzerindeki kesikli çizgiler boyunca kesiliyor ve bloktan dikdörtgenler prizması biçiminde bir parça çıkarılıyor; geriye Şekil 2'deki cisim kalıyor. Bu işlem sonunda bloğun yüzey alanı 40 birimkare, hacmi 180 birimküp azalıyor.

Çıkarılan parçanın ayrıt uzunlukları birim türünden tam sayı olduğuna göre, bu parçanın yüzey alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Çıkarılan parça küpü yukarıdan aşağıya boydan boya geçiyor. Yan yüzlerden kaybolan alan ile oyukta yeni açılan alanı karşılaştır; geriye hangi yüzlerin kaybı kalıyor?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

Küpün ayrıtı $a$ olsun. Çıkarılan prizma küpün bir düşey ayrıtını içerir ve küpü boydan boya geçer; ayrıtları $x$ , $y$ ve $a$ 'dır ( $x < a$ , $y < a$ ).

Yüzey alanı. Üst ve alt yüzlerden $x \cdot y$ 'şer birimkare eksilir. Yan yüzlerden $x \cdot a$ ve $y \cdot a$ 'lık iki şerit kaybolur, ama oyukta tam bunlara eş iki yeni yüz açılır; yanal alan değişmez.

$2xy = 40 \Rightarrow xy = 20$

Hacim. Azalma, çıkarılan parçanın hacmidir:

$x \cdot y \cdot a = 180 \Rightarrow 20a = 180 \Rightarrow a = 9$

$x$ ve $y$ tam sayı, çarpımları $20$ ve ikisi de $9$ 'dan küçük: yalnızca $4$ ve $5$ uyar ( $2 \cdot 10$ ve $1 \cdot 20$ küpe sığmaz).

Çıkarılan parça $4 \times 5 \times 9$ boyutludur:

$2 \cdot (4 \cdot 5 + 4 \cdot 9 + 5 \cdot 9) = 2 \cdot 101 = 202$

Tuzak: Yüzey alanındaki azalmayı çıkarılan parçanın yüzey alanı sanmak. Azalan yalnızca üstteki ve alttaki iki dikdörtgendir.

Cevap: A

2023 AYTSoru 40

Orta

Yüzey alanı ve hacim

Zeynep bir kargo paketi hazırlamak için, tabanı kare olan dik prizma biçiminde ve üst yüzünde kapağı bulunan bir karton kutu alıyor.

Eşyaları yerleştirdikten sonra kutuyu, genişliği 1'er birim olan mavi iki bantla kapatıyor. Bantlar şekildeki gibi prizmanın ayrıtlarına paraleldir; her biri üst yüzü ve iki yan yüzü boydan boya dolaşır, alt yüze geçmez. Bantların kutunun yüzeyinde kapladığı toplam alan 25 birimkaredir.

Kutunun dış yüzeyinin toplam alanı 182 birimkare olduğuna göre, kutunun hacmi kaç birimküptür?

İpucu

Bir bandın uzunluğunu taban ayrıtı ve yükseklik cinsinden yaz. İki bandın üst yüzde üst üste geldiği küçük kareyi iki kez sayma.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

Taban ayrıtı $a$ , yükseklik $h$ olsun.

Bir bant üst yüzde $a$ , iki yan yüzün her birinde $h$ birim yol alır. Genişliği $1$ olduğundan alanı $a + 2h$ birimkaredir. İki bant üst yüzde birbirini dik keser ve $1 \times 1$ 'lik bir karede üst üste gelir; bu kare bir kez sayılmalıdır:

$2(a + 2h) - 1 = 25 \Rightarrow a + 2h = 13$

Yüzey alanı iki kare taban ve dört yan yüzdür:

$2a^2 + 4ah = 182 \Rightarrow a(a + 2h) = 91 \Rightarrow 13a = 91 \Rightarrow a = 7$

Buradan $h = 3$ bulunur.

$V = a^2 \cdot h = 49 \cdot 3 = 147$

Tuzak: Kesişim karesini çıkarmazsan $a + 2h = 12{,}5$ çıkar ve $a$ tam bölünmez.

Cevap: C

2022 AYTSoru 39

Orta

Yüzey alanı ve hacim

Ayrıtları 6, 8 ve 10 birim olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir oyuncak, şekilde solda görüldüğü gibi basamaklı bir kesimle iki özdeş parçaya ayrılıyor.

Ardından bu iki parça, aralarında boşluk kalmayacak biçimde şekilde sağda görüldüğü gibi yeniden birleştiriliyor ve yeni bir dikdörtgenler prizması elde ediliyor.

Buna göre, son durumdaki dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Parçalar özdeş olduğuna göre basamak 10 birimlik ayrıtın tam ortasındadır. Yeni cismin de düzgün bir prizma olması, ince ve kalın kısımların kalınlıkları arasında bir bağıntı verir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

Parçalar özdeş olduğundan basamak, $10$ birimlik ayrıtın ortasındadır: her parçanın $5$ birim uzunluğunda kalın, $5$ birim uzunluğunda ince bir kısmı vardır. İnce kısmın kalınlığı $t$ olsun; yükseklik $6$ olduğundan kalın kısmın kalınlığı $6 - t$ olur. Genişlik $8$ birimdir.

Yeni dizilişte parçalar uç uca kaydırılmış, ince kısımlar ortada üst üste gelmiştir. Uzunluk $5 + 5 + 5 = 15$ , genişlik yine $8$ birimdir.

Cismin dikdörtgenler prizması olması için ortadaki yükseklik ( $2t$ ) uçlardaki yüksekliğe ( $6 - t$ ) eşit olmalıdır:

$2t = 6 - t \Rightarrow t = 2$

Yeni yükseklik $4$ birimdir. Hacimle kontrol: $6 \cdot 8 \cdot 10 = 480$ ve $15 \cdot 8 \cdot 4 = 480$ .

$\text{Yüzey alanı} = 2 \cdot (15 \cdot 8 + 15 \cdot 4 + 8 \cdot 4) = 2 \cdot 212 = 424$

Tuzak: Parçalar yer değiştirince hacim korunur ama yüzey alanı korunmaz; ilk prizmanın alanı $376$ birimkaredir.

Cevap: E

2018 AYTSoru 39

Zor

Cisim köşegeni

Bir ayrıtı 1 birim olan 3 küp, her küpün en az bir yüzü başka bir küpün bir yüzüyle tam olarak çakışacak biçimde birbirine yapıştırılıyor.

Bu yolla elde edilebilen bir cismin iki köşesi arasındaki uzaklık, birim türünden aşağıdakilerden hangisi olamaz?

İpucu

Köşeleri tam sayı koordinatlı noktalar olarak düşün. İki köşe arasındaki uzaklığın karesi, üç tam sayının karelerinin toplamıdır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

Üç küp iki farklı biçimde birleşir: yan yana dizilerek $1 \times 1 \times 3$ boyutlu dikdörtgenler prizması ya da L biçimli bir cisim.

Köşeleri tam sayı koordinatlı alalım. İki köşenin koordinat farkları $p$ , $q$ , $r$ ise aralarındaki uzaklık, cisim köşegeni bağıntısındaki gibi $\sqrt{p^2 + q^2 + r^2}$ olur.

Prizmada farklar en çok $3$ , $1$ , $1$ olabilir:

$3^2 + 0 + 0 = 9$
$3^2 + 1^2 + 0 = 10$
$3^2 + 1^2 + 1^2 = 11$

L biçimli cisimde iki kolun uç köşeleri arasında farklar $2$ , $2$ , $0$ olabilir: $2^2 + 2^2 = 8$ .

Geriye $7$ kalıyor. Kareler yalnızca $0$ , $1$ , $4$ , $9$ olabilir ve bunlardan üçünün toplamı $7$ etmez: $4 + 1 + 1 = 6$ , $4 + 4 + 0 = 8$ . Hangi cisim kurulursa kurulsun uzaklık $\sqrt{7}$ olamaz.

Tuzak: Yalnızca düz dizilişi düşünürsen $\sqrt{8}$ de elde edilemez görünür; L biçimini unutma.

Cevap: A

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Dik prizmalar

Bir dik prizmanın tabanı, dik kenarları 5 birim ve 12 birim olan bir dik üçgendir; yüksekliği 10 birimdir.

Buna göre, bu prizmanın yüzey alanı kaç birimkaredir?

Çözüm

Tabanın hipotenüsü $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ birimdir. Taban çevresi $5 + 12 + 13 = 30$ birim, taban alanı $\dfrac{5 \cdot 12}{2} = 30$ birimkaredir.

Yanal alan $= \text{Ç} \cdot h = 30 \cdot 10 = 300$ birimkare.

Yüzey alanı $= 300 + 2 \cdot 30 = 360$ birimkare.

Tuzak: $300$ yalnızca yanal alandır (aynı zamanda hacmin sayısal değeridir); iki tabanı eklemeyi unutma. Taban alanında ikiye bölmeyi unutursan $420$ bulursun.

Cevap: B

Özgün soru2

Orta

Dik piramit

Bir kare dik piramidin taban ayrıtı 12 birim, yan yüz yüksekliği 10 birimdir.

Buna göre, bu piramidin hacmi kaç birimküptür?

İpucu

Hacim için yan yüz yüksekliği değil piramidin yüksekliği gerekir. Taban merkezini bir taban ayrıtının orta noktasına bağla.

Çözüm

Tabanın merkezinin taban ayrıtına uzaklığı $\dfrac{12}{2} = 6$ birimdir. Yükseklik, bu uzaklık ve yan yüz yüksekliği bir dik üçgen oluşturur:

$h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$

$V = \dfrac{T \cdot h}{3} = \dfrac{144 \cdot 8}{3} = 384$

Tuzak: Yan yüz yüksekliğini doğrudan yükseklik alırsan $\dfrac{144 \cdot 10}{3} = 480$ bulursun. Üçe bölmeyi unutursan $1152$ çıkar.

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Cisim köşegeni

Taban ayrıtı 2 birim olan düzgün altıgen dik prizmanın hacmi $18\sqrt{3}$ birimküptür.

Buna göre, bu prizmanın iki köşesi arasındaki uzaklık birim türünden en çok kaç olabilir?

İpucu

Önce hacimden yüksekliği bul. En uzak iki köşe, biri alt tabanda biri üst tabanda olan ve tabanın en uzun köşegeninin iki ucunun üstünde duran köşelerdir.

Çözüm

Taban altı eşkenar üçgenden oluşur: $T = 6 \cdot \dfrac{2^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$ birimkare.

$V = T \cdot h \Rightarrow 18\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \cdot h \Rightarrow h = 3$

Düzgün altıgenin en uzun köşegeni merkezden geçer ve kenarın iki katıdır: $2 \cdot 2 = 4$ birim. Bu köşegenin bir ucundaki alt köşe ile diğer ucunun üstündeki üst köşe, dik kenarları $4$ ve $3$ olan bir dik üçgenin hipotenüsünü verir:

$\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

Tuzak: Tabanın kısa köşegenini ( $2\sqrt{3}$ ) kullanırsan $\sqrt{21}$ , bir taban ayrıtını kullanırsan $\sqrt{13}$ bulursun; bunlar da köşeler arası uzaklıktır ama en büyüğü değildir.

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

Yüzey alanı ve hacim

Bir dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları 12, 15 ve 20 birimkaredir.

Buna göre, bu prizmanın hacmi kaç birimküptür?

İpucu

Ayrıtlara $a$ , $b$ , $c$ de ve üç alanı taraf tarafa çarp.

Çözüm

Ayrıtlar $a$ , $b$ , $c$ olsun: $ab = 12$ , $bc = 20$ , $ac = 15$ .

Üç eşitliği taraf tarafa çarp:

$(abc)^2 = 12 \cdot 20 \cdot 15 = 3600 \Rightarrow abc = 60$

Hacim $60$ birimküptür. Kontrol: $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 5$ üç eşitliği de sağlar.

Tuzak: Üç alanı toplarsan $47$ , toplamın iki katını alırsan yüzey alanını ( $94$ ) bulursun; soru hacmi istiyor.

Cevap: C

Özgün soru5

Orta

Dik piramit

Bir ayrıtı 6 birim olan küpün içine bir kare dik piramit yerleştiriliyor. Piramidin tabanı küpün alt yüzüyle çakışıyor, tepe noktası ise küpün üst yüzünün merkezinde bulunuyor.

Buna göre, bu piramidin yüzey alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Piramidin yüksekliği küpün ayrıtına eşittir. Yan yüzlerin alanı için önce yan yüz yüksekliğini bul.

Çözüm

Piramidin taban ayrıtı $6$ , yüksekliği de küpün ayrıtı kadar, yani $6$ birimdir.

Merkezin taban ayrıtına uzaklığı $3$ birimdir. Yan yüz yüksekliği:

$y = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

Bir yan yüzün alanı $\dfrac{6 \cdot 3\sqrt{5}}{2} = 9\sqrt{5}$ , dört yan yüzün alanı $36\sqrt{5}$ birimkaredir.

Yüzey alanı $= 36 + 36\sqrt{5}$ birimkare.

Tuzak: Yan yüz yüksekliğini $6$ alırsan $36 + 4 \cdot 18 = 108$ bulursun. Yan yüz eğiktir; yüksekliği piramidin yüksekliğinden büyüktür.

Cevap: D

Özgün soru6

Zor

Cisim köşegeni

Bir dikdörtgenler prizmasının bütün ayrıtlarının uzunlukları toplamı 44 birim, cisim köşegeninin uzunluğu 7 birimdir.

Buna göre, bu prizmanın yüzey alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Ayrıtları tek tek bulmaya çalışma. $(a + b + c)^2$ açılımında hem cisim köşegeninin karesi hem de yüzey alanı vardır.

Çözüm

Ayrıtlar $a$ , $b$ , $c$ olsun. Prizmada her ayrıttan dörder tane vardır:

$4(a + b + c) = 44 \Rightarrow a + b + c = 11$

Cisim köşegeni: $a^2 + b^2 + c^2 = 7^2 = 49$ .

Tam kare açılımı:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$

$121 = 49 + 2(ab + bc + ca) \Rightarrow 2(ab + bc + ca) = 72$

Sol taraf tam olarak yüzey alanıdır: $72$ birimkare. Kontrol: ayrıtları $2$ , $3$ , $6$ olan prizma verilenleri sağlar ve alanı $2(6 + 18 + 12) = 72$ olur.

Tuzak: Ayrıt toplamını $a + b + c = 44$ almak; prizmanın $12$ ayrıtı vardır.

Cevap: A