14Konu 14 / 49
Fonksiyonlar ve Cebir

İkinci Dereceden Fonksiyonlar:Parabol

İkinci dereceden fonksiyonun grafiği olan parabolü tepe noktası, simetri ekseni ve eksen kesimleriyle çizmeyi, denklemini kurmayı, doğruyla durumunu incelemeyi ve en büyük, en küçük değer problemlerini çözmeyi öğren.

11. sınıf
AYT sıklığı
55 dk

Levhaİkinci Dereceden Fonksiyonlarİkinci Dereceden Fonksiyonlar

$h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ : Fırlatılan bir top en fazla kaç metreye çıkar ve kaçıncı saniyede?

Cevap bu eğrinin zirve noktasında: Tepe Noktası $T(r, k)$ .

Isınma

Başlamadan önce

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Parabol, ikinci dereceden denklem ve fonksiyon temellerine dayanır. Üç soruyla kendini sına:

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^2 - 5x + 6 = 0

denkleminin kökleri hangileridir?

Açıklama

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \implies x_1 = 2, x_2 = 3$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x^2 - 3

için

f(-2)

kaçtır?

Açıklama

$f(-2) = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^2 - 4x + 4 = 0

denkleminin kaç farklı gerçel kökü vardır?

Açıklama

$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 0 \implies (x - 2)^2 = 0$ , tek kök $x = 2$ .

Temel

Parabolü tanı: yön, tepe, simetri

Parabol nedir?

$f(x) = ax^2 + bx + c$ ( $a \neq 0$ ) fonksiyonunun grafiği olan çanak biçimli eğriye parabol denir.

$a$ katsayısı: kolların yönü ve açıklığı

$a > 0$ : Kollar yukarı $\cup$ (en küçük değer var).
$a < 0$ : Kollar aşağı $\cap$ (en büyük değer var).
$|a|$ büyüdükçe kollar daralır; $|a|$ küçüldükçe kollar açılır.

y = ax^2

ailesi:

a

'nın işareti yönü, büyüklüğü kolların açıklığını belirler.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdaki parabollerden hangisinin kolları aşağı doğrudur ve diğer aşağı kollu parabolden daha dardır?

Açıklama

$a < 0$ olanlar aşağı bakar. $|a|$ mutlak değeri büyük olan ( $-3$ ) daha dardır.

Tepe noktası ve simetri ekseni

Parabolün dip ya da tepe yaptığı noktaya tepe noktası $T(r, k)$ denir.

Tepe noktası $(r, k)$ olan parabolün denklemi: $y = a(x - r)^2 + k$

Simetri ekseni düşey $x = r$ doğrusudur. Eğri bu doğruya göre simetriktir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = (x + 1)^2 + 4

parabolünün tepe noktası hangisidir?

Açıklama

$y = (x - (-1))^2 + 4 \implies r = -1, k = 4 \implies T(-1, 4)$ .

$ax^2 + bx + c$ Biçiminde Tepe Noktası

y = x^2 - 4x + 3

: simetri ekseninden eşit uzaklıktaki noktaların yükseklikleri eşittir.

Örnek

kolay

Tepe noktası ve simetri ekseni

$f(x) = x^2 - 4x + 3$ parabolünün tepe noktasını ve simetri eksenini bul.

Katsayılar: $a = 1$ , $b = -4$ , $c = 3$ . Tepe apsisi: $r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

Ordinat $k = f(r)$ ile bulunur: $k = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Sonuç

$T(2, -1)$ , simetri ekseni $x = 2$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = x^2 + 6x + 1

parabolünün tepe noktasının apsisi kaçtır?

Açıklama

$r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2 \cdot 1} = -3$ .

Eksenleri Kestiği Noktalar

$y$ ekseni: $x = 0$ yazılır $\implies (0, c)$ . Daima tek noktada keser.
$x$ ekseni: $y = 0$ yazılır $\implies ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin kökleridir.

Diskriminantın işareti parabolün

x

ekseniyle durumunu söyler.

Kökler varsa simetri ekseni tam ortadadır: $r = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ .

Örnek

kolay

Dört noktayla grafik çizimi

$f(x) = -x^2 + 2x + 3$ fonksiyonunun grafiği için eksen kesimlerini ve tepe noktasını bul.

Kollar: $a = -1 < 0 \implies$ aşağı doğru.
$y$ kesimi: $x = 0 \implies y = 3 \implies (0, 3)$ .

$x$ kesimi ( $y = 0$ ): $-x^2 + 2x + 3 = 0 \implies -(x - 3)(x + 1) = 0 \implies x = -1 \text{ ve } x = 3$

Tepe noktası: $r = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1, \qquad k = f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = 4 \implies T(1, 4)$

Sonuç

Kollar aşağı; kesimler $(-1, 0)$ , $(3, 0)$ , $(0, 3)$ ve tepe $T(1, 4)$ .

En büyük ya da en küçük değer

Örnek

kolay

En küçük değer

$f(x) = 2x^2 + 12x + 13$ fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır? Bu değeri hangi $x$ için alır?

$a = 2 > 0$ olduğu için kollar yukarıdır; tepe noktasında en küçük değer oluşur. $r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{12}{2 \cdot 2} = -3$

En küçük değer ordinattır: $k = f(-3) = 2(-3)^2 + 12(-3) + 13 = 18 - 36 + 13 = -5$

Sonuç

En küçük değer $-5$ ‘tir ve $x = -3$ için alınır.

Kancadaki top sorusuna dön: $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ için $r = -\dfrac{20}{2(-5)} = 2$ ve $h(2) = 21$ . Top $2$ . saniyede en çok $21$ m yükselir.

Orta

Katsayıları oku, denklemi kur, doğruyla karşılaştır

Katsayılar grafiği nasıl değiştirir?

$a$ : Yön ve açıklık ( $a>0$ yukarı, $a<0$ aşağı).
$c$ : Parabolün $y$ eksenini kestiği yükseklik ( $x=0$ ).
$b$ : Tepe noktasının yatay konumu ( $r = -\frac{b}{2a}$ ).

Katsayı	Anlamı	Kural
$a$	Kolların yönü	$a > 0 \implies \cup$ , $a < 0 \implies \cap$
$c$	$y$ kesim noktası	$(0, c)$ noktasının işareti
$b$	Tepe eksen konumu	$r = -\frac{b}{2a}$ işaret ilişkisi

Örnek

orta

Grafikten katsayıların işareti

Aşağıda $f(x) = ax^2 + bx + c$ parabolü verilmiştir. $a$ , $b$ ve $c$ ‘nin işaretlerini bul.

Kollar aşağı bakıyor $\implies a < 0$ .

$y$ eksenini pozitif tarafta kesiyor $\implies c > 0$ .

Tepe noktası $y$ ekseninin solunda ( $r < 0$ ): $r = -\dfrac{b}{2a} < 0 \implies \dfrac{b}{a} > 0$ $a < 0$ olduğu için $b < 0$ olmalıdır.

Sonuç

$a < 0$ , $b < 0$ , $c > 0$

Parabolün Denklemini Yazmak

Parabol denklemini kurmak için verilen 3 bağımsız bilgiye uygun kalıp seçilir.

Örnek

orta

Tepe noktası ve bir noktadan denklem

Tepe noktası $T(2, -3)$ olan ve $A(4, 5)$ noktasından geçen parabolün denklemini yaz.

Tepe noktası biçimini kur: $y = a(x - 2)^2 - 3$

$A(4, 5)$ noktasını denklemde yerine yazarak $a$ ‘yı bul: $5 = a(4 - 2)^2 - 3 \implies 4a - 3 = 5 \implies 4a = 8 \implies a = 2$

Denklemi aç: $y = 2(x - 2)^2 - 3 = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 5$

Sonuç

$y = 2(x - 2)^2 - 3 = 2x^2 - 8x + 5$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = a(x - 1)^2 + 2

parabolü

(0, 5)

noktasından geçiyor.

a

kaçtır?

Açıklama

$5 = a(0 - 1)^2 + 2 \implies 5 = a + 2 \implies a = 3$ .

Örnek

orta

Biri y ekseninde üç noktadan denklem

$(0, 1)$ , $(1, 2)$ ve $(2, 7)$ noktalarından geçen parabolün denklemini yaz.

$y = ax^2 + bx + c$ kalıbında $(0, 1) \implies c = 1$ .

Diğer noktaları yaz:

$(1, 2) \implies a + b + 1 = 2 \implies a + b = 1$
$(2, 7) \implies 4a + 2b + 1 = 7 \implies 2a + b = 3$

İki denklemi taraf tarafa çıkar: $(2a + b) - (a + b) = 3 - 1 \implies a = 2, \quad b = -1$

Sonuç

$y = 2x^2 - x + 1$

Parabol ile Doğrunun Durumu

Parabol ile doğrunun ortak noktaları için kuralları birbirine eşitle: $ax^2 + bx + c = mx + n \implies ax^2 + (b - m)x + (c - n) = 0$

Ortak denklemin diskriminantı ( $\Delta$ ) kesişim sayısını belirler.

y = x^2

ve eğimi 2 olan doğrular: iki kesim noktası, teğet ve kesişmeyen durumlar.

Örnek

orta

Teğetlik koşulu

$y = x^2 - 3x + k$ parabolü $y = x - 2$ doğrusuna teğettir. $k$ kaçtır ve değme noktası nedir?

Denklemleri eşitle: $x^2 - 3x + k = x - 2 \implies x^2 - 4x + (k + 2) = 0$

Teğetlik için ortak denklemin $\Delta = 0$ olmalıdır: $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(k + 2) = 16 - 4k - 8 = 8 - 4k = 0 \implies k = 2$

$k = 2$ için denklem $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0 \implies x = 2$ . Doğruda yerine koy: $y = 2 - 2 = 0$ .

Sonuç

$k = 2$ , değme noktası $(2, 0)$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = x^2 - 2x + 3

parabolü ile

y = 2

doğrusunun kaç ortak noktası vardır?

Açıklama

$x^2 - 2x + 3 = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x - 1)^2 = 0$ . Tek kök $x = 1$ vardır (teğet).

İleri

Modelleme, kısıtlar ve birleşik sorular

En Büyük ve En Küçük Değer Problemleri

İkinci dereceden bir modelde zirve veya dip nokta daima tepe noktasındadır.

Çevre $40$ m çit ile dikdörtgen alan: Kenarlar $x$ ve $20 - x$ ise alan: $A(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x$

Maksimum alan $x = 10$ ‘da (kare durumunda) tepe noktasındadır.

A(x) = x(20 - x)

: kökler 0 ve 20; tepe noktası tam ortada

x = 10

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Toplamları

10

olan iki gerçel sayının çarpımı en fazla kaçtır?

Açıklama

Sayılar $x$ ve $10 - x$ olsun. Çarpım $P(x) = x(10 - x)$ . Kökler $0$ ve $10 \implies r = 5$ . En büyük çarpım $P(5) = 25$ .

Örnek

zor

Fiyat ve gelir

Bardak fiyatı $60$ TL iken günde $200$ bardak satılıyor. Fiyata her $5$ TL zam yapıldığında satış $10$ bardak azalıyor. Günlük gelirin en çok olması için bardak fiyatı kaç TL olmalıdır ve en çok gelir kaç TL’dir?

Zam adedi $k$ olsun. Fiyat: $60 + 5k$ , Satış: $200 - 10k$ . $G(k) = (60 + 5k)(200 - 10k) = 50(12 + k)(20 - k)$

Kökler $k = -12$ ve $k = 20$ . Tepe apsisi: $k_{tepe} = \dfrac{-12 + 20}{2} = 4 \text{ zam}$

Bardak fiyatı: $60 + 5(4) = 80$ TL
Satış adedi: $200 - 10(4) = 160$ bardak
En büyük gelir: $80 \cdot 160 = 12\,800$ TL

Sonuç

Fiyat $80$ TL, en büyük gelir $12\,800$ TL.

Örnek

zor

Parabol biçimli kemer

Taban genişliği $12$ m, tepe yüksekliği $9$ m olan parabol tünelden tam ortadan geçen $6$ m genişliğindeki dikdörtgen aracın yüksekliği en çok kaç metre olabilir?

Zemini $x$ ekseni, tünel merkezini $y$ ekseni seç:

Tepe noktası: $(0, 9)$
Taban uçları: $(-6, 0)$ ve $(6, 0)$

Parabol denklemi: $y = ax^2 + 9$ . $(6, 0) \implies 36a + 9 = 0 \implies a = -\dfrac{1}{4} \implies y = -\dfrac{x^2}{4} + 9$

Araç ortalandığında genişlik $6$ m ise köşe noktaları $x = \pm 3$ ‘tür. $x = 3$ için maksimum yükseklik: $y = -\dfrac{3^2}{4} + 9 = -\dfrac{9}{4} + 9 = \dfrac{27}{4} = 6{,}75 \text{ m}$

Sonuç

Aracın yüksekliği en çok $\dfrac{27}{4} = 6{,}75$ metre olabilir.

Tanım Kümesi Kısıtlıysa

Örnek

zor

Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer

$f(x) = x^2 - 4x + 1$ fonksiyonunun $[3, 6]$ aralığındaki en küçük ve en büyük değerlerinin toplamı kaçtır?

Tepe apsisi: $r = -\dfrac{-4}{2(1)} = 2$ . $r = 2 \notin [3, 6]$ olduğundan tepe noktası aralık dışındadır.

Kollar yukarı ( $\cup$ ) ve $x \geq 2$ için fonksiyon artandır. Bu nedenle $[3, 6]$ aralığında fonksiyon artandır.

En küçük değer (sol uç): $f(3) = 3^2 - 4(3) + 1 = -2$
En büyük değer (sağ uç): $f(6) = 6^2 - 4(6) + 1 = 13$

Sonuç

En küçük ve en büyük değer toplamı: $-2 + 13 = 11$ .

Birden Çok Koşulu Birleştirmek

Örnek

zor

Teğetlik ve tepe noktasının yeri

$y = x^2 + (m - 2)x + 4$ parabolü $x$ eksenine teğettir ve tepe noktası $y$ ekseninin sağındadır. $m$ kaçtır?

$x$ eksenine teğetlik $\implies \Delta = 0$ : $\Delta = (m - 2)^2 - 4(1)(4) = 0 \implies (m - 2)^2 = 16 \implies m - 2 = \pm 4$ Buradan $m = 6$ veya $m = -2$ .

Tepe noktası $y$ ekseninin sağında $\implies r > 0$ : $r = -\dfrac{m - 2}{2} > 0 \implies m - 2 < 0$

$m - 2 < 0$ koşulunu sağlayan değer $m = -2$ ‘dir ( $r = 2 > 0$ ).

Sonuç

$m = -2$

Sahnede dene

Sahnede $c = 4$ al ve $b$ sürgüsünü $-4$ ile $4$ arasında gezdir. Parabolün $x$ eksenine iki kez teğet olduğunu; tepe noktasının birinde sağda ( $b=-4$ ), diğerinde solda ( $b=4$ ) kaldığını gözlemle.

Özet

Parabol: Akılda Kalacaklar

Kollar: $a > 0 \implies \cup$ (en küçük değer var), $a < 0 \implies \cap$ (en büyük değer var).
Tepe Noktası: $T(r, k)$ ; $r = -\dfrac{b}{2a}$ , $k = f(r)$ . Simetri ekseni $x = r$ .
Kökler Varsa: $r = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ .
$x$ Ekseni Durumu: $\Delta > 0$ ise 2 noktada keser, $\Delta = 0$ ise teğet, $\Delta < 0$ ise kesmez.
Doğru ile Durum: Ortak denklem $ax^2 + (b-m)x + (c-n) = 0$ kurulur; $\Delta = 0$ teğetliktir.
Kısıtlı Aralık $[a, b]$ : Tepe apsisi $r$ aralıkta mı kontrol edilir; uç noktalar $f(a), f(b)$ ile karşılaştırılır.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

8 çıkmış soru5 özgün soru

2026 AYTSoru 12

Orta

Denklem yazma

Dik koordinat düzleminde simetri ekseni $y$ ekseni olan bir parabol, $x$ eksenini aralarındaki uzaklık $2$ birim olan iki noktada kesiyor. Parabol $y$ eksenine paralel olarak $1$ birim yukarı kaydırılınca $x$ eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık $10$ birim oluyor.

Parabol aynı yönde $1$ birim daha yukarı kaydırılırsa $x$ eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birim olur?

İpucu

Simetri ekseni $y$ ekseni olan parabolün kökleri birbirinin ters işaretlisidir. Parabolü kökleriyle yaz; yukarı kaydırmak kurala sabit eklemektir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

İlk parabol. Simetri ekseni $y$ ekseni olduğundan kökler $-p$ ve $p$ biçimindedir. Aralarındaki uzaklık $2$ ise kökler $-1$ ve $1$ 'dir:

y = a(x - 1)(x + 1) = a(x^2 - 1)

Birinci kaydırma. $1$ birim yukarı: $y = a(x^2 - 1) + 1$ . Simetri ekseni değişmez; yeni kökler arası uzaklık $10$ olduğundan kökler $\pm 5$ 'tir. $x = 5$ yaz: $24a + 1 = 0$ , $a = -\dfrac{1}{24}$ . (Kollar aşağı; yukarı kaydırınca kökler bu yüzden açılıyor.)

İkinci kaydırma. $y = -\dfrac{1}{24}(x^2 - 1) + 2 = 0$ ise $x^2 - 1 = 48$ , $x^2 = 49$ , $x = \pm 7$ .

Kökler arası uzaklık $7 - (-7) = 14$ birimdir.

Tuzak: uzaklığın her kaydırmada aynı miktarda ( $8$ birim) artacağını sanıp $18$ aramak. Eşit adımlarla artan şey köklerin kendisi değil karesidir: $1$ , $25$ , $49$ .

Cevap: C

2024 AYTSoru 19

Orta

Parabol ile doğrunun durumu

$a$ ve $b$ gerçel sayılardır. Dik koordinat düzleminde $y = x^2 + ax + b$ parabolü hem $x$ eksenine hem de $y = x$ doğrusuna teğettir.

Buna göre $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

İpucu

İki ayrı teğetlik, iki ayrı denklemin diskriminantının sıfır olması demektir. $x$ ekseni de bir doğrudur: $y = 0$ .

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

$x$ eksenine teğet. $x^2 + ax + b = 0$ denkleminin çift katlı kökü vardır:

a^2 - 4b = 0

$y = x$ doğrusuna teğet. Kuralları eşitle ve tek tarafa topla: $x^2 + ax + b = x$ , yani $x^2 + (a - 1)x + b = 0$ . Bu denklemin de diskriminantı sıfırdır:

(a - 1)^2 - 4b = 0

Birleştir. İki eşitlikte de $4b$ var: $a^2 = (a - 1)^2$ . Açınca $a^2 = a^2 - 2a + 1$ , buradan $a = \dfrac{1}{2}$ .

$b = \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{1}{16}$ ve $a \cdot b = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{32}$ .

Kontrol: $y = x^2 + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{16} = \left(x + \dfrac14\right)^2$ parabolü $x$ eksenine teğettir; $y = x$ ile eşitlenince $\left(x - \dfrac14\right)^2 = 0$ çıkar.

Cevap: E

2024 AYTSoru 22

Orta

En büyük ve en küçük değer problemleri

Dik koordinat düzleminde $y = 2 + 3x$ ve $y = 12 - x$ doğruları ile pozitif $x$ ve $y$ eksenlerinin sınırladığı boyalı bölge şekilde verilmiştir.

Bu bölgenin içine, bir kenarı $x$ ekseni üzerinde duran ve birer köşesi $y = 2 + 3x$ ile $y = 12 - x$ doğruları üzerinde bulunan dikdörtgenler çiziliyor.

Buna göre bu dikdörtgenlerden alanı en büyük olanın $x$ ekseni üzerindeki kenarı kaç birimdir?

İpucu

Dikdörtgenin üst iki köşesi aynı yüksekliktedir. Değişken olarak bu yüksekliği seç ve iki köşenin apsisini onun cinsinden yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

Değişken. Dikdörtgenin yüksekliği $h$ olsun. Üst köşelerin ikisinin de ordinatı $h$ 'dir.

Sol üst köşe $y = 2 + 3x$ üzerinde: $h = 2 + 3x_1$ , yani $x_1 = \dfrac{h - 2}{3}$ .
Sağ üst köşe $y = 12 - x$ üzerinde: $h = 12 - x_2$ , yani $x_2 = 12 - h$ .

Taban.

x_2 - x_1 = 12 - h - \dfrac{h - 2}{3} = \dfrac{38 - 4h}{3}

Alan. $A(h) = \dfrac{h(38 - 4h)}{3}$ . Bu, kolları aşağı bakan bir paraboldür; kökleri $h = 0$ ve $h = \dfrac{19}{2}$ . En büyük değer köklerin ortasında, $h = \dfrac{19}{4}$ için alınır.

İstenen kenar. $\dfrac{38 - 4 \cdot \frac{19}{4}}{3} = \dfrac{19}{3}$ birim.

Geçerlilik: sol köşenin bölgede kalması için $x_1 \geq 0$ , yani $h \geq 2$ gerekir; $h = \dfrac{19}{4}$ bunu sağlar ve doğruların kesiştiği $\dfrac{19}{2}$ yüksekliğinin altındadır.

Tuzak: $h = \dfrac{19}{4}$ değerini cevap sanmak. Sorulan yükseklik değil, tabandır.

Cevap: B

2023 AYTSoru 21

Orta

Katsayıların işareti

$a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları $a \cdot b \cdot c > 0$ koşulunu sağlıyor. Gerçel sayılarda bir $f$ fonksiyonu

f(x) = ax^2 + bx + c

kuralıyla tanımlanıyor.

Buna göre $f$ fonksiyonunun grafiği, şekildeki I, II ve III numaralı grafiklerden hangileri olabilir?

İpucu

Her grafikte üç işareti ayrı ayrı oku: kolların yönü $a$ 'yı, $y$ eksenindeki kesim $c$ 'yi, tepe noktasının $y$ eksenine göre yeri $b$ 'yi verir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

Her grafik için üç işareti oku, sonra çarpımın işaretine bak. Tepe noktası $y$ ekseninin sağındaysa $-\dfrac{b}{2a} > 0$ , yani $a$ ile $b$ ters işaretlidir; solundaysa aynı işaretlidir.

Grafik	Kollar	$y$ eksenini kestiği yer	Tepe noktası	$a$ , $b$ , $c$	$a \cdot b \cdot c$
I	yukarı	negatif	sağda	$+$ , $-$ , $-$	$+$
II	aşağı	pozitif	sağda	$-$ , $+$ , $+$	$-$
III	yukarı	pozitif	solda	$+$ , $+$ , $+$	$+$

Çarpım I ve III'te pozitif, II'de negatiftir. Grafik I ya da III olabilir.

Tuzak: yalnızca $a$ ve $c$ 'ye bakıp $b$ 'yi atlamak. II numaralı grafiği eleyen şey $b$ 'nin işaretidir.

Cevap: C

2020 AYTSoru 19

Orta

Katsayıların işareti

$a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayılardır.

y = ax^2 + bx + c

parabolü $y = 1$ doğrusunu $B$ ve $C$ noktalarında, $y = 6$ doğrusunu ise yalnızca $A$ noktasında kesiyor. $A$ , $B$ ve $C$ noktalarının dik koordinat düzlemindeki yerleri şekilde verilmiştir.

Buna göre $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının işaretleri sırasıyla hangisidir?

İpucu

Yatay bir doğru parabolü yalnızca tek noktada kesiyorsa o nokta parabolün neresidir? Sonra tepe noktasının $y$ eksenine göre yerine bak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

$A$ tepe noktasıdır. Yatay bir doğru parabolü tek noktada kesiyorsa ona tepe noktasında teğettir. Demek ki tepe noktası $A$ 'dır ve ordinatı $6$ 'dır.

$a$ 'nın işareti. Parabol, tepe noktasının altındaki $y = 1$ doğrusunu iki noktada kesiyor; yani kollar tepeden aşağı iniyor: $a < 0$ .

$b$ 'nin işareti. $A$ noktası $y$ ekseninin solunda: $-\dfrac{b}{2a} < 0$ , yani $a$ ile $b$ aynı işaretli. $a < 0$ olduğundan $b < 0$ .

$c$ 'nin işareti. $c = y(0)$ 'dır. $x = 0$ , tepe noktasının apsisi ile $C$ noktasının apsisi arasındadır; bu aralıkta parabol $6$ 'dan $1$ 'e iner, yani $1 < c < 6$ ve $c > 0$ .

İşaretler sırasıyla $-$ , $-$ , $+$ olur.

Cevap: E

2019 AYTSoru 17

Orta

Eksenleri kestiği noktalar ve tepe noktası

$0 < x_1 < x_2$ olsun. Gerçel sayılarda

f(x) = (x - x_1)(x - x_2)

kuralıyla tanımlı $f$ fonksiyonunun grafiği olan parabol, koordinat eksenlerini şekilde görülen birbirinden farklı $A$ ve $B$ noktalarında kesiyor.

$A$ ile $B$ noktaları orijine eşit uzaklıktadır ve parabol en küçük değerini $x = \dfrac{3}{5}$ için almaktadır.

Buna göre $\dfrac{x_2}{x_1}$ oranı kaçtır?

İpucu

$A$ ve $B$ noktalarının koordinatlarını $x_1$ ve $x_2$ cinsinden yaz. Tepe noktasının apsisi köklerin ortalamasıdır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

Noktaları adlandır. Parabol $x$ eksenini $x_1$ ve $x_2$ 'de keser. Şekilde $A$ orijine yakın olan kesim noktasıdır: $A(x_1, 0)$ . $y$ eksenini kestiği nokta $B(0, f(0))$ 'dır ve $f(0) = (-x_1)(-x_2) = x_1 x_2$ olduğundan $B(0, x_1 x_2)$ .

Eşit uzaklık. $|OA| = |OB|$ ise $x_1 = x_1 x_2$ . $x_1 > 0$ olduğu için iki tarafı $x_1$ 'e bölebiliriz: $x_2 = 1$ .

Tepe noktası. Parabol en küçük değerini tepe noktasında alır; tepe apsisi köklerin ortalamasıdır:

\dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{3}{5} \;\Rightarrow\; x_1 + 1 = \dfrac{6}{5} \;\Rightarrow\; x_1 = \dfrac{1}{5}

Sonuç. $\dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{1}{1/5} = 5$ .

Tuzak: $B$ noktasının ordinatını $x_2$ sanmak. $y$ eksenindeki kesim her zaman $f(0)$ 'dır.

Cevap: D

2018 AYTSoru 13

Zor

Tepe noktası ve simetri ekseni

$a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılardır. Dik koordinat düzleminde orijinden geçen

p(x) = (x - a)^2 - b

parabolünden yararlanılarak

p(x + a) + b, \qquad p(x + a) - b, \qquad p(x - a) - b

kurallarıyla üç parabol tanımlanıyor. Bu üç parabolün tepe noktaları, alanı $16$ birimkare olan bir üçgenin köşeleridir.

Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

İpucu

Önce "orijinden geçer" bilgisini kullan. Sonra üç kuralı tek tek $(x - r)^2 + k$ biçiminde yazıp tepe noktalarını oku.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

Orijinden geçme. $p(0) = 0$ olmalı: $a^2 - b = 0$ , yani $b = a^2$ .

Üç parabolün tepe noktaları. $p(x) = (x - a)^2 - b$ kuralında $x$ yerine istenen ifadeyi yaz:

$p(x + a) + b = x^2 - b + b = x^2$ ; tepe noktası $(0, 0)$ .
$p(x + a) - b = x^2 - 2b$ ; tepe noktası $(0, -2b)$ .
$p(x - a) - b = (x - 2a)^2 - 2b$ ; tepe noktası $(2a, -2b)$ .

Üçgen. $(0, 0)$ , $(0, -2b)$ ve $(2a, -2b)$ noktaları, dik kenarları $2b$ ve $2a$ olan bir dik üçgen oluşturur:

\dfrac{2a \cdot 2b}{2} = 2ab = 16 \;\Rightarrow\; ab = 8

Sonuç. $b = a^2$ yazınca $a^3 = 8$ , $a = 2$ ve $b = 4$ . $a + b = 6$ .

Tuzak: $p(x - a)$ ifadesinde parantez $(x - a - a)^2 = (x - 2a)^2$ olur; tepe apsisi $a$ değil $2a$ 'dır.

Cevap: A

2018 AYTSoru 22

Orta

En büyük ve en küçük değer problemleri

Bir internet şirketinin hizmet verebileceği müşteri sayısı en çok $1000$ 'dir ve şirket bu sayıya aylık ücret $40$ TL iken ulaşmaktadır. Şirket, aylık ücrete yaptığı her $5$ TL'lik zammın ardından müşteri sayısının $50$ azaldığını gözlemlemiştir.

Şirketin aylık ücretlerden elde ettiği toplam gelirin en fazla olması için aylık ücret kaç TL olmalıdır?

İpucu

Değişken olarak zam sayısını seç. Gelir, ücret ile müşteri sayısının çarpımıdır; çarpanlı biçimde bırakırsan kökler hazırdır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

Değişken. Ücrete $k$ kez $5$ TL zam yapılsın. Ücret $40 + 5k$ TL, müşteri sayısı $1000 - 50k$ olur.

Gelir.

G(k) = (40 + 5k)(1000 - 50k) = 250(8 + k)(20 - k)

Tepe noktası. Bu, kolları aşağı bakan bir paraboldür; kökleri $k = -8$ ve $k = 20$ . En büyük değer köklerin ortasında alınır:

k = \dfrac{-8 + 20}{2} = 6

Sonuç. Ücret $40 + 5 \cdot 6 = 70$ TL olmalıdır.

Kontrol: $70$ TL için $700$ müşteri ve $49\,000$ TL gelir; $65$ ve $75$ TL için gelir $48\,750$ TL'dir.

Tuzak: soru en büyük geliri değil, o geliri veren ücreti soruyor.

Cevap: D

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Tepe noktası ve simetri ekseni

$f(x) = -2x^2 + 12x - 13$ parabolünün tepe noktası $T(r, k)$ 'dir.

Buna göre $r + k$ toplamı kaçtır?

Çözüm

$a = -2$ , $b = 12$ için tepe noktasının apsisi

r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{12}{2 \cdot (-2)} = 3

Ordinat, fonksiyonun bu noktadaki değeridir: $k = f(3) = -18 + 36 - 13 = 5$ .

$r + k = 3 + 5 = 8$ .

Sık yapılan hatalar: $k$ 'yi doğru bulup $r$ 'nin işaretini ters yazmak ( $-3 + 5 = 2$ çıkar) ve $k$ yerine sabit terim $-13$ 'ü yazmak (toplam $-10$ çıkar).

Cevap: E

Özgün soru2

Orta

Denklem yazma

Tepe noktası $T(1, -4)$ olan bir parabol $A(3, 4)$ noktasından geçmektedir.

Buna göre bu parabol $y$ eksenini ordinatı kaç olan noktada keser?

İpucu

Tepe noktası verildiğinde $y = a(x - r)^2 + k$ biçimi tek bilinmeyen bırakır.

Çözüm

Tepe noktası biçimini yaz: $y = a(x - 1)^2 - 4$ .

$A(3, 4)$ noktası denklemi sağlar: $4 = a(3 - 1)^2 - 4$ , buradan $4a = 8$ ve $a = 2$ .

Parabol: $y = 2(x - 1)^2 - 4$ . $y$ eksenini kestiği noktada $x = 0$ :

y = 2 \cdot (0 - 1)^2 - 4 = -2

Sık yapılan hatalar: $a$ 'yı bulmadan $a = 1$ kabul etmek ( $y = -3$ çıkar), tepe noktasının ordinatı $k = -4$ 'ü $y$ eksenindeki kesim sanmak ( $-4$ ) ve son adımda $-4$ yerine $+4$ yazmak ( $2 + 4 = 6$ ).

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Parabol ile doğrunun durumu

$m$ bir tam sayıdır. Dik koordinat düzleminde $y = x^2 - 4x + m$ parabolü ile $y = 2x - 3$ doğrusunun ortak noktası yoktur.

Buna göre $m$ 'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

İpucu

Ortak nokta olmaması, iki kuralı eşitleyince çıkan denklemin gerçel kökünün olmaması demektir.

Çözüm

Kuralları eşitle ve tek tarafa topla:

x^2 - 4x + m = 2x - 3 \;\Rightarrow\; x^2 - 6x + (m + 3) = 0

Ortak nokta yoksa bu denklemin gerçel kökü yoktur, $\Delta < 0$ :

36 - 4(m + 3) < 0 \;\Rightarrow\; 24 - 4m < 0 \;\Rightarrow\; m > 6

$m$ tam sayı olduğundan en küçük değer $7$ 'dir.

Tuzaklar: $m = 6$ için $\Delta = 0$ olur, doğru parabole teğettir (bir ortak nokta vardır). Parabolün kendi diskriminantına bakarsan ( $16 - 4m < 0$ ) yanlışlıkla $5$ bulursun; o koşul $x$ ekseniyle ilgilidir.

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

En büyük ve en küçük değer problemleri

Bir çiftçi, düz bir duvarın önüne dikdörtgen biçiminde bir ağıl kuracak ve ağılı duvara dik bir çitle iki bölmeye ayıracaktır. Duvar boyunca çit çekilmeyecek; duvara dik üç parça ve duvara paralel bir parça için toplam $60$ metre çit kullanılacaktır.

Buna göre ağılın alanı en fazla kaç metrekare olabilir?

İpucu

Duvara dik parçaların her birine $x$ de. Duvara paralel parçanın uzunluğunu $x$ cinsinden yaz, alanı çarpanlı biçimde bırak.

Çözüm

Duvara dik üç parçanın her biri $x$ metre olsun. Duvara paralel parça için $60 - 3x$ metre çit kalır.

Alan:

A(x) = x(60 - 3x) = 3x(20 - x)

Kolları aşağı bakan bu parabolün kökleri $x = 0$ ve $x = 20$ ; en büyük değer köklerin ortasında, $x = 10$ için alınır:

A(10) = 10 \cdot 30 = 300

Ağıl $10$ metreye $30$ metre olur ve alanı en fazla $300$ metrekaredir.

Tuzak: ara bölmeyi unutup $x(60 - 2x)$ yazarsan $450$ bulursun. Çit kullanılan her parçayı say.

Cevap: B

Özgün soru5

Zor

En büyük ve en küçük değer problemleri

$m$ bir gerçel sayı olmak üzere

f(x) = x^2 - 2mx + m + 6

parabolü veriliyor. $m$ değiştikçe parabolün tepe noktası da yer değiştirmektedir.

Buna göre tepe noktasının ordinatının alabileceği en büyük değer kaçtır?

İpucu

Tepe noktasının ordinatını $m$ cinsinden yaz. Elde ettiğin ifade de $m$ 'ye bağlı ikinci dereceden bir fonksiyondur.

Çözüm

Tepe noktası. $a = 1$ , $b = -2m$ için $r = -\dfrac{-2m}{2} = m$ . Ordinat:

k = f(m) = m^2 - 2m^2 + m + 6 = -m^2 + m + 6

İkinci parabol. $k$ , $m$ 'nin ikinci dereceden bir fonksiyonudur ve baş katsayısı negatiftir; en büyük değerini kendi tepe noktasında alır:

m = -\dfrac{1}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{1}{2}

Değer. $k = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + 6 = \dfrac{25}{4}$ .

Kontrol: $m = 0$ için $k = 6$ , $m = 1$ için $k = 6$ ; ikisi de $\dfrac{25}{4} = 6{,}25$ 'ten küçüktür.

Tuzak: $f(m)$ hesabında $-2m \cdot m$ terimini $-2m$ bırakmak ya da $m = \dfrac{1}{2}$ değerini bulduktan sonra yerine koyarken $-m^2$ terimini atlayıp $m + 6$ hesaplamak ( $\dfrac{13}{2}$ çıkar).

Cevap: C

Parabol nedir?

aaa katsayısı: kolların yönü ve açıklığı

Tepe noktası ve simetri ekseni

ax2+bx+cax^2 + bx + cax2+bx+c Biçiminde Tepe Noktası

Tepe noktası ve simetri ekseni

Eksenleri Kestiği Noktalar

Dört noktayla grafik çizimi

En büyük ya da en küçük değer

En küçük değer

Katsayılar grafiği nasıl değiştirir?

Grafikten katsayıların işareti

Parabolün Denklemini Yazmak

Tepe noktası ve bir noktadan denklem

Biri y ekseninde üç noktadan denklem

Parabol ile Doğrunun Durumu

Teğetlik koşulu

En Büyük ve En Küçük Değer Problemleri

Fiyat ve gelir

Parabol biçimli kemer

Tanım Kümesi Kısıtlıysa

Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer

Birden Çok Koşulu Birleştirmek

Teğetlik ve tepe noktasının yeri

Özgün sorular

$a$ katsayısı: kolların yönü ve açıklığı

$ax^2 + bx + c$ Biçiminde Tepe Noktası