8Konu 8 / 49
Fonksiyonlar ve Cebir

Fonksiyon Kavramı ve Grafikleri

Fonksiyonu her girdiye tek çıktı veren bir kural olarak kuruyoruz; tanım ve görüntü kümesini, düşey doğru testini, doğrusal, sabit, birim, parçalı, tek ve çift fonksiyonları, fonksiyonlarda dört işlemi ve grafik yorumlamayı sınav düzeyine kadar çalışıyoruz.

10. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaFonksiyon Kavramı ve GrafikleriFonksiyon Kavramı ve Grafikleri

Taksimetre $40$ TL ile açılıyor ve her kilometrede $25$ TL ekliyor; $6$ km sonra ekranda $40 + 25 \cdot 6 = 190$ TL yazar. Aynı $6$ km için bir gün $190$ , başka bir gün $230$ yazsaydı taksimetreye güvenmezdin. Her mesafeye tek bir ücret veren bu güvenilir kuralın matematikteki adı fonksiyondur.

Isınma

Başlamadan: aralık, doğru ve eşitsizlik

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

[-2, 3)

aralığında kaç tam sayı vardır?

Açıklama

Köşeli parantez ucu içerir, yay parantez içermez. Tam sayılar: $-2, -1, 0, 1, 2$ . Aralık yazımı Kümeler sayfasındaki gibidir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = 2x - 3

doğrusu üzerinde apsisi

4

olan noktanın ordinatı kaçtır?

Açıklama

Apsis $x$ değeridir: $y = 2 \cdot 4 - 3 = 5$ . Nokta $(4, 5)$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

3x - 12 > 0

eşitsizliğinin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$3x > 12$ , iki yanı $3$ ‘e böl: $x > 4$ . Ayrıntısı Denklemler ve Eşitsizlikler sayfasında.

Temel

Fonksiyon: her girdiye tek çıktı

Fonksiyon nedir?

Fonksiyonu bir makine gibi düşün: içine bir sayı atarsın (girdi), kurala göre işler ve tek bir sayı verir (çıktı). Taksimetrede girdi gidilen yol, çıktı ücrettir.

Yol $x$ (km)	$0$	$1$	$2$	$6$
Ücret $f(x)$ (TL)	$40$	$65$	$90$	$190$

Kuralı $f(x) = 25x + 40$ biçiminde yazarız. $f(6)$ , “kuralda $x$ gördüğün her yere $6$ yaz” demektir.

Bu programda yalnızca gerçek sayılar üzerinde tanımlı fonksiyonlarla çalışılır: $A$ ve $B$ gerçek sayı kümeleridir.

f(x) = x^2

: her girdiden tek ok çıkar. İki girdinin aynı çıktıya gitmesi ya da

B

'de boşta eleman kalması fonksiyon olmayı bozmaz.

Sahnede $x$ ekseni girdilerin, $y$ ekseni çıktıların yeri. Girdi noktasını $x$ ekseninde sürükle: ok önce grafiğe çıkar, sonra $y$ eksenine döner ve $f(x)$ değerini gösterir. Hangi girdiyi seçersen seç tek bir çıktıya varıyorsun.

Bir eşleme iki yoldan fonksiyon olmaktan çıkar: tanım kümesinde açıkta eleman kalırsa ya da bir eleman iki farklı değere giderse.

Örnek

kolay

Bu kural bir fonksiyon tanımlar mı?

$A = \{-1, 0, 1, 2\}$ ve $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ kümeleri veriliyor. $f(x) = x^2$ ve $g(x) = x + 3$ kurallarından hangisi $A$ ‘dan $B$ ‘ye bir fonksiyon tanımlar? Fonksiyon olanın görüntü kümesini yaz.

Fonksiyon olmak için $A$ ‘nın her elemanının görüntüsü $B$ ‘de olmalı. Bu yüzden iki kuralı da $A$ ‘nın dört elemanında tek tek dene.

$f$ için: $f(-1) = 1$ , $f(0) = 0$ , $f(1) = 1$ , $f(2) = 4$ . Dört değer de $B$ ‘nin elemanı ve her girdinin tek görüntüsü var; $f$ bir fonksiyondur.

$g$ için: $g(-1) = 2$ , $g(0) = 3$ , $g(1) = 4$ , $g(2) = 5$ . Ama $5 \notin B$ ; $2$ elemanı açıkta kaldığı için $g$ , $A$ ‘dan $B$ ‘ye fonksiyon değildir.

Sonuç

Yalnızca $f$ fonksiyondur; görüntü kümesi $f(A) = \{0, 1, 4\}$ ‘tür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x^2 - 3x

için

f(-2)

kaçtır?

Açıklama

Negatif girdiyi parantezle yaz: $f(-2) = (-2)^2 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$ .

$f(\ldots)$ parantezinin içi

Parantezin içi, makineye giren şeyin tamamıdır. $f(2x - 1)$ yazıyorsa makineye $x$ değil, $2x - 1$ girmiştir.

Örnek

kolay

Parantezin içi x değilse

Her $x$ gerçek sayısı için $f(2x - 1) = 6x + 5$ olduğuna göre $f(3)$ kaçtır?

$f(3)$ için makineye $3$ girmeli; yani parantezin içi $3$ olmalı: $2x - 1 = 3$ , buradan $x = 2$ .

Eşitlik her $x$ için doğru olduğundan $x = 2$ yazabiliriz: $f(2 \cdot 2 - 1) = 6 \cdot 2 + 5$ .

Sağlama için kuralı bul: $t = 2x - 1$ dersen $x = \dfrac{t + 1}{2}$ ve $f(t) = 3(t + 1) + 5 = 3t + 8$ olur. $f(3) = 9 + 8$ aynı sonucu verir.

Sonuç

$f(3) = 17$

Tanım kümesi ve görüntü kümesi

Grafikte tanım kümesi, grafiğin $x$ eksenine düşen izidir: hangi $x$ değerlerinin üstünde ya da altında grafik var? Görüntü kümesi ise grafiğin $y$ eksenine düşen izidir: grafik hangi yükseklikleri alıyor?

f(x) = x^2 - 2

, tanım kümesi

[-1, 2]

. Nokta grafikte gezerken

y

ekseninde

[-2, 2]

aralığını tarar.

Sahnede $f(x) = x^2 - 2$ var. Tanım aralığının uçlarını sürgülerle değiştir; girdiler grafiğe çıkıp $y$ eksenine yağıyor ve görüntü kümesini boyuyor. Aralık $[-1, 2]$ iken uçlardaki değerler $-1$ ve $2$ , ama boyanan aralık $[-2, 2]$ : en küçük değer aralığın içinde, $x = 0$ ‘da alınıyor.

Örnek

kolay

Grafikten tanım ve görüntü kümesi

Aşağıda $f$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. $f$ ‘nin tanım kümesini, görüntü kümesini ve $f(1)$ değerini bul.

Tanım kümesi için grafiği $x$ eksenine izdüşür. Sol parça $x = -3$ ‘ten $x = 1$ ‘e, sağ parça $x = 1$ ‘den $x = 4$ ‘e uzanıyor; arada boşluk yok. Tanım kümesi $[-3, 4]$ .

$x = 1$ hizasında iki uç var: yukarıdaki içi boş, aşağıdaki dolu. İçi boş nokta grafiğe ait değildir; değer dolu noktadan okunur: $f(1) = -1$ .

Görüntü kümesi için grafiği $y$ eksenine izdüşür. Sol parça $1$ ‘den $3$ ‘e çıkar ama $3$ ‘e ulaşmaz: $[1, 3)$ . Sağ parça $-1$ ‘den $2$ ‘ye çıkar: $[-1, 2]$ . İkisinin birleşimi $[-1, 3)$ olur.

Sonuç

Tanım kümesi $[-3, 4]$ , görüntü kümesi $[-1, 3)$ , $f(1) = -1$ .

Tanım kümesi verilmemişse en geniş tanım kümesi kastedilir: kuralın anlamlı olduğu bütün gerçek sayılar. İki engele bak: payda sıfır olamaz, karekökün içi negatif olamaz. Örneğin $f(x) = \sqrt{x - 2}$ için $x - 2 \geq 0$ gerekir; tanım kümesi $[2, \infty)$ olur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 3}

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Tek engel paydadır: $x - 3 = 0$ olursa bölme yapılamaz. $x = 3$ dışındaki her gerçek sayı girdi olabilir.

Grafik ve düşey doğru testi

$f$ fonksiyonunun grafiği, $y = f(x)$ denklemini sağlayan $(x, f(x))$ noktalarının kümesidir. Fonksiyonda her $x$ için tek $y$ olduğundan, grafikte aynı $x$ hizasında iki nokta bulunamaz.

Yana yatmış parabolde

x = 2

doğrusu grafiği iki noktada keser:

2

girdisine hem

2

hem

-2

karşılık gelir.

Sahnede düşey doğruyu grafiğin üzerinde soldan sağa gezdir; sayaç kesişim sayısını gösteriyor. Parabolde sayaç hep $1$ . Düğmeyle çembere ve yana yatmış parabole geç: sayaç $2$ gösterdiği anda o $x$ için iki ayrı $y$ var demektir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Dik koordinat düzlemindeki aşağıdaki grafiklerden hangisi bir fonksiyona ait değildir?

Açıklama

$x = 2$ doğrusunun kendisi düşeydir: $2$ girdisine sonsuz sayıda $y$ değeri karşılık gelir. Test yatay değil, düşey doğrularla yapılır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = 2x - 8

fonksiyonunun grafiği

x

eksenini hangi noktada keser?

Açıklama

$x$ ekseninde $y = 0$ : $2x - 8 = 0$ , $x = 4$ . Nokta $(4, 0)$ .

Orta

Fonksiyon türleri ve grafikleri

Doğrusal, sabit ve birim fonksiyon

Taksimetre kuralı $f(x) = 25x + 40$ idi: her kilometrede aynı miktar artıyor. Değişimi hep aynı hızda olan bu fonksiyonların grafiği bir doğrudur.

Sahnede $f(x) = ax + b$ doğrusu ve iki sürgü var. Önce $b$ ‘yi değiştir: doğru yönünü bozmadan yukarı aşağı kayar, $y$ eksenini hep $(0, b)$ ‘de keser. Sonra $a$ ‘yı değiştir: doğru bu nokta çevresinde döner. $a > 0$ iken sağa doğru yükselir, $a < 0$ iken alçalır, $a = 0$ iken yataydır.

b

sabitken

a

değişirse doğru

(0, b)

çevresinde döner.

x

bir birim artınca

y

tam

a

kadar değişir.

Örnek

orta

Sabit ve birim fonksiyonda katsayılar

$a$ , $b$ , $c$ ve $d$ gerçek sayılar olmak üzere $f(x) = (a - 2)x^2 + (b + 3)x + a \cdot b$ sabit fonksiyon, $g(x) = (a + c)x + b + d$ birim fonksiyondur. $f(5)$ değerini ve $c \cdot d$ çarpımını bul.

Sabit fonksiyonun kuralında $x$ görünmez, çünkü değer $x$ ‘e bağlı değildir. Öyleyse $x^2$ ve $x$ terimlerinin katsayıları sıfır olmalı: $a - 2 = 0$ ve $b + 3 = 0$ . Buradan $a = 2$ , $b = -3$ .

Geriye sabit terim kalır: $f(x) = a \cdot b = -6$ . Sabit fonksiyon her girdiye aynı değeri verdiğinden $f(5) = -6$ .

Birim fonksiyon $g(x) = x$ demektir: $x$ ‘in katsayısı $1$ , sabit terim $0$ olmalı. $a + c = 1$ ise $c = -1$ ; $b + d = 0$ ise $d = 3$ .

Sonuç

$f(5) = -6$ ve $c \cdot d = -3$

Günlük hayatta sabit hızla değişen her büyüklük doğrusal fonksiyonla modellenir. İki ölçüm, doğruyu belirlemeye yeter.

Örnek

orta

Yanan mumun boyu

Bir mumun boyu yandıkça zamanla doğrusal olarak kısalıyor. Mum yakıldıktan $10$ dakika sonra boyu $18$ cm, $30$ dakika sonra $12$ cm ölçülüyor. Mumun yakılmadan önceki boyu kaç cm’dir ve mum yakıldıktan kaç dakika sonra biter?

Doğrusal modelde önce değişim hızını (eğimi) bul, çünkü kuralın $a$ katsayısı odur: $a = \dfrac{12 - 18}{30 - 10} = -0{,}3$ . Mum dakikada $0{,}3$ cm kısalıyor.

$h(t) = -0{,}3t + b$ yaz ve bir ölçümü kullan: $h(10) = 18$ ise $-3 + b = 18$ , $b = 21$ . Bu, $t = 0$ anındaki boydur.

Mum bittiğinde boy sıfırdır; grafiğin $t$ eksenini kestiği yeri arıyoruz: $21 - 0{,}3t = 0$ , $t = 70$ .

Sonuç

Başlangıç boyu $21$ cm; mum $70$ dakikada biter. Model yalnızca $0 \leq t \leq 70$ için anlamlıdır.

Mumun boyu:

h

eksenini kestiği değer başlangıç boyu,

t

eksenini kestiği değer bitiş süresi.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f

doğrusal bir fonksiyondur.

f(1) = 5

f(3) = 11

olduğuna göre

f(0)

kaçtır?

Açıklama

Eğim $\dfrac{11 - 5}{3 - 1} = 3$ . $x$ bir birim azalınca değer $3$ azalır: $f(0) = 5 - 3 = 2$ . Kural $f(x) = 3x + 2$ .

Eşit fonksiyonlar

Eşitlik kuralın yazılışına değil, eşlemeye bakar. $A = \{0, 1\}$ kümesinde $f(x) = x$ ve $g(x) = x^2$ eşittir, çünkü $0 \to 0$ ve $1 \to 1$ eşlemeleri aynıdır. Aynı iki kural gerçek sayılar kümesinde eşit değildir: $f(2) = 2$ ama $g(2) = 4$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

A = \{-1, 0, 1\}

kümesinde tanımlı

f(x) = x^2

fonksiyonu, yine

A

kümesinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine eşittir?

Açıklama

Üç elemanı da dene: $f$ sırasıyla $1, 0, 1$ verir. $|x|$ de $1, 0, 1$ verir; iki fonksiyon $A$ üzerinde eşittir.

Bire bir, örten ve içine fonksiyon

Bir fonksiyonun oklarına iki soru sorabiliriz. Farklı girdiler hep farklı çıktılara mı gidiyor? Değer kümesinde boşta eleman kalıyor mu?

Örnek

orta

Okları say: bire bir mi, örten mi?

$A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ ve $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ olmak üzere $f: A \to B$ , $f(x) = x^2$ ve $g: A \to B$ , $g(x) = x + 2$ fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonlardan her birinin bire bir ve örten olup olmadığını belirle.

Önce görüntüleri listele, çünkü iki özellik de görüntülere bakarak anlaşılır. $f$ için sırasıyla $4, 1, 0, 1, 4$ ; $g$ için sırasıyla $0, 1, 2, 3, 4$ .

$f$ ‘de $-2$ ile $2$ aynı değere ( $4$ ) gidiyor; bire bir değil. Görüntü kümesi $\{0, 1, 4\}$ ; $B$ ‘deki $2$ ve $3$ boşta kaldığından örten de değil, içine fonksiyondur.

$g$ ‘de beş girdi beş farklı değere gidiyor; bire bir. Görüntü kümesi $\{0, 1, 2, 3, 4\} = B$ ; boşta eleman yok, örten.

Sonuç

$f$ bire bir değildir ve içinedir; $g$ hem bire bir hem örtendir.

Bire bir ve örtenliğin grafikte yatay doğrularla nasıl sınandığı ve ters fonksiyonla ilişkisi Bire Bir, Örten, Bileşke ve Ters Fonksiyon sayfasının konusudur.

Parçalı tanımlı fonksiyon

Bazı kurallar her yerde aynı değildir: otoparkta ilk saat bir ücret, sonraki saatler başka ücret. Tanım kümesinin farklı parçalarında farklı kuralla verilen fonksiyona parçalı tanımlı fonksiyon denir.

$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ 4 - x, & x \geq 1 \end{cases}$

Değer hesaplarken önce girdinin hangi koşula uyduğuna bak, sonra yalnızca o satırdaki kuralı kullan.

Sahnede bu fonksiyonun grafiği var. Girdiyi sürükle: hangi koşul sağlanıyorsa o parça parlıyor, öbürü soluyor. $x = 1$ ‘e soldan yaklaşırken değer $2$ ‘ye yaklaşıyor ama içi boş uca varamıyor; tam $x = 1$ olduğunda değer dolu uçtan okunuyor: $3$ .

Örnek

orta

Parçalı fonksiyonda değer ve grafik

Yukarıdaki $f$ fonksiyonu için $f(-2) + f(1) + f(3)$ toplamını bul. Grafiğini çiz ve grafiğin $x$ eksenini kestiği noktaların apsislerini belirle.

Her girdiyi kendi koşuluna yerleştir. $-2 < 1$ olduğundan üst kural: $f(-2) = -1$ . $1 \geq 1$ ve $3 \geq 1$ olduğundan alt kural: $f(1) = 3$ ve $f(3) = 1$ . Toplam $-1 + 3 + 1 = 3$ .

Grafik için her parçayı kendi aralığında çiz. $y = x + 1$ doğrusu $x = 1$ ‘e kadar gelir; $1$ bu parçaya dahil olmadığından $(1, 2)$ ucu içi boş kalır. $y = 4 - x$ doğrusu $(1, 3)$ dolu ucundan başlar.

$x$ eksenini kestiği yerler için her kuralı sıfıra eşitle ve çıkan değerin o parçanın koşuluna uyduğunu denetle. $x + 1 = 0$ ise $x = -1$ ; $-1 < 1$ , geçerli. $4 - x = 0$ ise $x = 4$ ; $4 \geq 1$ , geçerli.

Sonuç

$f(-2) + f(1) + f(3) = 3$ ; grafik $x$ eksenini $-1$ ve $4$ apsisli noktalarda keser.

Parçalı fonksiyonun grafiği:

x = 1

hizasında içi boş uç

(1, 2)

, dolu uç

(1, 3)

. Düşey doğru testi yine sağlanır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x \leq 0

için

f(x) = 2x + 3

x > 0

için

f(x) = x^2 - 1

olduğuna göre

f(0) + f(2)

kaçtır?

Açıklama

$0 \leq 0$ olduğundan $f(0) = 2 \cdot 0 + 3 = 3$ . $2 > 0$ olduğundan $f(2) = 4 - 1 = 3$ . Toplam $6$ .

Tek ve çift fonksiyon

Bazı grafikler katlanınca üst üste gelir. $y = x^2$ parabolünü $y$ ekseni boyunca katla: sol kol sağ kolun üstüne oturur. Bunun cebirdeki karşılığı, $x$ ile $-x$ girdilerinin aynı çıktıyı vermesidir.

Çift fonksiyon:

(x, y)

grafikteyse

(-x, y)

de grafiktedir.

Tek fonksiyon:

(x, y)

grafikteyse

(-x, -y)

de grafiktedir.

Sahnede grafik üzerinde bir $P$ noktası ve $-x$ girdisine karşılık gelen $Q$ noktası var. $P$ ‘yi gezdir: $\dfrac{x^2}{2} - 1$ için $Q$ hep aynı yükseklikte, $y$ ekseninin öbür yanında. $\dfrac{x^3}{4}$ için $Q$ , orijinin tam karşısında. $x + 1$ için ikisi de olmuyor.

Örnek

orta

Tek mi, çift mi, hiçbiri mi?

Gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = x^3 - 4x$ , $g(x) = x^4 - 3x^2 + 1$ ve $h(x) = x^2 + x$ fonksiyonlarını tek, çift ya da hiçbiri olarak sınıflandır.

Yöntem hep aynı: $x$ yerine $-x$ yaz ve sonucu $f(x)$ ile, sonra $-f(x)$ ile karşılaştır. $f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x)$ . Bu $-f(x)$ ‘tir; $f$ tek.

$g(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1$ . Çift kuvvetler işareti yuttuğu için sonuç $g(x)$ ‘in kendisi; $g$ çift.

$h(-x) = x^2 - x$ . Bu ne $h(x) = x^2 + x$ ne de $-h(x) = -x^2 - x$ . Sayıyla da görülür: $h(1) = 2$ ama $h(-1) = 0$ . $h$ ne tek ne çift.

Sonuç

$f$ tek, $g$ çift, $h$ ne tek ne çifttir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Gerçek sayılarda tanımlı

f

tek fonksiyonu için

f(2) = 7

olduğuna göre

f(-2) + f(0)

kaçtır?

Açıklama

Tek fonksiyonda $f(-2) = -f(2) = -7$ . $x = 0$ için $f(0) = -f(0)$ , yani $f(0) = 0$ . Toplam $-7$ . Simetrilerin grafik dönüşümleriyle bağlantısı Fonksiyon Grafiklerinin Yorumu ve Dönüşümleri sayfasında.

İleri

Sınav düzeyi: dört işlem, grafik yorumu ve modeller

Fonksiyonlarda dört işlem

İki fonksiyonu toplamak, aynı girdiye verdikleri çıktıları toplamaktır. Biri $x$ km için yol ücretini, öbürü köprü ücretini veriyorsa toplam fonksiyon ödeyeceğin tutarı verir.

Toplamın grafiği: her

x

hizasında

f(x)

yüksekliğinin üstüne

g(x)

yüksekliği eklenir.

Sahnede $f$ ve $g$ grafikleri ile bir $x$ sürgüsü var. İşlem düğmesinden $+$ , $-$ , $\cdot$ , $\div$ seç: seçtiğin işlemin grafiği noktadan noktaya canlı çiziliyor. Bölmede $g(x) = 0$ olan yerde eğrinin koptuğunu, yani o $x$ değerinin tanım kümesinden çıktığını gör.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Gerçek sayılarda tanımlı

f(x) = x + 1

g(x) = x^2 - 4

fonksiyonları için

\dfrac{f}{g}

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Bölümün tanımlı olması için $g(x) \neq 0$ gerekir. $x^2 - 4 = 0$ ise $x = 2$ ya da $x = -2$ ; bu iki değer çıkarılır.

Örnek

zor

İşlem değerlerinden katsayı bulma

$a$ pozitif, $b$ gerçek sayı olmak üzere gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = ax + 3$ ve $g(x) = x^2 + b$ fonksiyonları için $(f + g)(2) = 12$ ve $(f \cdot g)(1) = 10$ veriliyor. $\left(\dfrac{f}{g}\right)(3)$ kaçtır?

İşlem simgelerini aç; her biri aynı noktadaki iki değerin işlemidir. $(f + g)(2) = f(2) + g(2) = (2a + 3) + (4 + b) = 12$ , yani $b = 5 - 2a$ .

$(f \cdot g)(1) = f(1) \cdot g(1) = (a + 3)(1 + b) = 10$ . $b$ ‘yi yerine yaz: $(a + 3)(6 - 2a) = 10$ . Açınca $18 - 2a^2 = 10$ , $a^2 = 4$ .

$a$ pozitif verildiği için $a = 2$ ; $a = -2$ elenir. O hâlde $b = 5 - 4 = 1$ . Sağlama: $f(2) + g(2) = 7 + 5 = 12$ ve $f(1) \cdot g(1) = 5 \cdot 2 = 10$ .

$f(x) = 2x + 3$ ve $g(x) = x^2 + 1$ ile istenen değeri hesapla: $f(3) = 9$ , $g(3) = 10$ .

Sonuç

$\left(\dfrac{f}{g}\right)(3) = \dfrac{9}{10}$

Tek ve çift fonksiyonla denklem kurma

Bir eşitlik her $x$ için doğruysa $x$ yerine $-x$ yazılmış hâli de doğrudur. Tek ve çift fonksiyon bilgisi bu ikinci eşitliği birinciye bağlar ve iki bilinmeyenli bir sistem verir.

Örnek

zor

Bir toplamı tek ve çift parçasına ayırma

Gerçek sayılarda tanımlı $f$ tek, $g$ çift fonksiyondur. Her $x$ için $f(x) + g(x) = x^3 + 2x^2 - x + 3$ olduğuna göre $f(2)$ kaçtır?

$x = 2$ yaz: $f(2) + g(2) = 8 + 8 - 2 + 3 = 17$ . Tek denklem, iki bilinmeyen; ikinci bir denklem gerek.

İkinci denklem için $x = -2$ yaz: $f(-2) + g(-2) = -8 + 8 + 2 + 3 = 5$ . $f$ tek olduğundan $f(-2) = -f(2)$ , $g$ çift olduğundan $g(-2) = g(2)$ . Denklem $-f(2) + g(2) = 5$ olur.

İki denklemi taraf tarafa çıkar ki $g(2)$ yok olsun: $2 \cdot f(2) = 17 - 5 = 12$ .

Sonuç

$f(2) = 6$ . (Genelde tek kuvvetli terimler $f$ ‘ye, çift kuvvetliler $g$ ‘ye gider: $f(x) = x^3 - x$ , $g(x) = 2x^2 + 3$ .)

Grafikleri birlikte okumak

Aynı düzlemde iki grafik varsa üç şeyi doğrudan okursun. Kesişim noktalarının apsisleri $f(x) = g(x)$ denkleminin çözümleridir. Bir $x$ hizasında hangi grafik üstteyse o fonksiyonun değeri büyüktür. Grafiğin $x$ ekseninin üstünde kaldığı yerde fonksiyon pozitif, altında kaldığı yerde negatiftir.

Sahnede $f(x) = \dfrac{x^2 - 3}{2}$ parabolü ile $g(x) = x$ doğrusu var. $x$ sürgüsünü gezdir: iki grafik arasındaki düşey parça, hangisi üstteyse onun rengine bürünüyor. Renk yalnızca kesişim noktalarında, $x = -1$ ve $x = 3$ ‘te değişiyor. Sıralama soruları bu yüzden kesişimleri bulmakla başlar.

Örnek

zor

Hangi grafik üstte?

Aşağıda $f$ ve $g$ fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir; grafikler apsisi $-1$ ve $3$ olan noktalarda kesişmektedir. $f(x) < g(x)$ eşitsizliğini sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

$f(x) < g(x)$ demek, o $x$ hizasında $f$ grafiğinin $g$ grafiğinin altında kalması demektir. Kuralları bilmene gerek yok; grafikte parabolün doğrunun altında olduğu yeri ara.

Kesintisiz çizilmiş iki grafiğin alt-üst sırası yalnızca kesişim noktalarında değişebilir. Kesişimler $x = -1$ ve $x = 3$ ; bu ikisinin arasında (boyalı bölge) parabol altta, dışında parabol üstte.

Kesişim noktalarında değerler eşittir; eşitsizlik kesin olduğu için $-1$ ve $3$ çözüme girmez. Çözüm $-1 < x < 3$ aralığıdır; içindeki tam sayılar $0$ , $1$ , $2$ .

Sonuç

Toplam $0 + 1 + 2 = 3$ ‘tür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x - 4

g(x) = 2 - x

fonksiyonları için

(f \cdot g)(x) > 0

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Çarpım, iki değer aynı işaretliyken pozitiftir. $f$ yalnızca $x > 4$ için, $g$ yalnızca $x < 2$ için pozitif; ikisi birden pozitif olamaz. İkisi birden negatif: $x < 4$ ve $x > 2$ .

Doğrusal modelleri karşılaştırma

Gerçek hayat sorularında çoğu zaman iki seçenek vardır ve “hangisi ne zaman avantajlı” diye sorulur. Her seçeneği bir fonksiyon olarak yaz; grafiklerin kesiştiği nokta kararın değiştiği yerdir.

Örnek

zor

Hangi kiralama tarifesi?

Bir araç kiralama şirketinin iki ayrı tarifesi var. A tarifesi: günlüğü $900$ TL, kilometre sınırı yok. B tarifesi: günlüğü $500$ TL, ilk $100$ km ücretsiz, sonraki her kilometre için $5$ TL. Günde kaç kilometreden fazla yol yapan biri için A tarifesi daha ucuzdur?

Girdi günlük yol $x$ (km), çıktı ücret (TL). A tarifesi yola bağlı değildir: $A(x) = 900$ , sabit fonksiyon.

B tarifesi iki ayrı kuralla çalışır; parçalı yaz. $100$ km’ye kadar $500$ TL. Sonrasında yalnızca $100$ ‘ü aşan kısım ücretlenir:

$B(x) = \begin{cases} 500, & 0 \leq x \leq 100 \\ 500 + 5(x - 100), & x > 100 \end{cases}$

İlk parçada $B(x) = 500 < 900$ ; burada B ucuz. Kesişim ikinci parçada olmalı: $500 + 5(x - 100) = 900$ , $x - 100 = 80$ , $x = 180$ . Bu değer $x > 100$ koşuluna uyuyor.

$x > 180$ için B doğrusu yükselmeyi sürdürür ve A’nın üstüne çıkar. Sağlama: $x = 200$ için $B = 500 + 500 = 1000 > 900$ .

Sonuç

Günde $180$ km’den fazla yol yapan biri için A tarifesi daha ucuzdur; tam $180$ km’de iki tarife eşittir.

İki tarifenin grafiği:

(180, 900)

noktasının solunda B, sağında A alttadır.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Fonksiyon $f: A \to B$ : $A$ ‘nın her elemanına $B$ ‘den bir ve yalnız bir eleman. $A$ tanım kümesi, $B$ değer kümesi, $f(A)$ görüntü kümesi.
Grafikte tanım kümesi $x$ eksenindeki, görüntü kümesi $y$ eksenindeki izdir. Görüntü kümesi uç değerlerden değil, grafiğin en alçak ve en yüksek noktasından okunur.
Düşey doğru testi: her düşey doğru grafiği en çok bir noktada kesiyorsa grafik fonksiyondur.
Grafik $x$ eksenini $f(x) = 0$ denkleminin çözümlerinde, $y$ eksenini $(0, f(0))$ noktasında keser.
$f(x) = ax + b$ doğrusal: $a$ eğim, $b$ $y$ eksenini kestiği değer. $f(x) = c$ sabit, $f(x) = x$ birim fonksiyon.
Eşit fonksiyon: aynı tanım kümesi, her elemanda aynı değer. Bire bir: farklı girdi, farklı çıktı. Örten: $f(A) = B$ ; değilse içine.
Parçalı fonksiyonda önce koşul, sonra kural. Sınır değeri eşitliğin olduğu parçaya aittir.
Çift: $f(-x) = f(x)$ , $y$ eksenine göre simetri. Tek: $f(-x) = -f(x)$ , orijine göre simetri.
$(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$ , $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ , $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$ ve $g(x) \neq 0$ .
İki grafikte kesişim apsisleri $f(x) = g(x)$ çözümleridir; kesintisiz grafiklerde alt-üst sırası yalnızca kesişimlerde değişir.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

7 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 8

Zor

Doğrusal grafikleri eşleştirme

$f$ , $g$ ve $h$ , $[0, 4]$ kapalı aralığında tanımlı doğrusal fonksiyonlardır. Grafikleri aşağıdaki dik koordinat düzleminde çizilmiştir; hangi grafiğin hangi fonksiyona ait olduğu şekilde yazılmamıştır.

$a$ ve $b$ gerçel sayıları için

$0 < a < b < 4$

$f(a) < f(b) < g(b)$

$g(a) < h(a) < h(b)$

eşitsizlikleri sağlanıyor.

Buna göre $a + b$ toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

İpucu

$a < b$ iken $f(a) < f(b)$ olması $f$ hakkında ne söyler? Önce artan ve azalan grafikleri ayır, sonra kalan iki olasılığı eşitsizliklerle dene.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Artan ve azalanı ayır. $a < b$ iken $f(a) < f(b)$ ve $h(a) < h(b)$ . Doğrusal bir fonksiyonda bu, eğimin pozitif olması demektir: $f$ ve $h$ artandır. Şekildeki iki artan doğru $f$ ile $h$ 'ye, tek azalan doğru $g$ 'ye aittir.

2. Kesişim apsislerini oku. Dik artan doğru azalan doğruyla $x = 2$ 'de, yatık artan doğru azalan doğruyla $x = 3$ 'te kesişir. Artan bir doğru, azalan doğrunun kesişimden önce altında, sonra üstündedir.

3. Birinci olasılık: $f$ dik, $h$ yatık olan. $f(b) < g(b)$ için dik doğru azalanın altında olmalı: $b < 2$ . $g(a) < h(a)$ için azalan doğru yatık olanın altında olmalı: $a > 3$ . Bu, $a < b$ ile çelişir.

4. İkinci olasılık: $f$ yatık, $h$ dik olan. $f(b) < g(b)$ için yatık doğru azalanın altında: $b < 3$ . $g(a) < h(a)$ için azalan doğru dik olanın altında: $a > 2$ . $a < b$ ile birlikte

$2 < a < b < 3$

5. Toplamın aralığı. $4 < a + b < 6$ . Seçeneklerden yalnızca $5$ bu aralıktadır (örneğin $a = 2{,}4$ ve $b = 2{,}6$ ).

Tuzak: $4$ ve $6$ uç değerlerdir; eşitsizlikler kesin olduğu için toplam bu değerleri alamaz.

Cevap: D

2025 AYTSoru 7

Kolay

Fonksiyonlarda toplama ve çıkarma

$a$ ve $b$ gerçel sayılardır. Gerçel sayılar kümesinde

$f(x) = \dfrac{x}{2} + 1$

$g(x) = 2x - 3$

kurallarıyla tanımlanan $f$ ve $g$ fonksiyonları

$(f + g)(a) = f(a)$

$(f - g)(b) = g(b)$

eşitliklerini sağlıyor.

Buna göre $(f \circ g)(a \cdot b)$ değeri kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. İlk eşitliği aç. $f(a) + g(a) = f(a)$ ise $g(a) = 0$ . $2a - 3 = 0$ , $a = \dfrac{3}{2}$ .

2. İkinci eşitliği aç. $f(b) - g(b) = g(b)$ ise $f(b) = 2 \cdot g(b)$ .

$\dfrac{b}{2} + 1 = 4b - 6 \quad\Rightarrow\quad 7 = \dfrac{7b}{2} \quad\Rightarrow\quad b = 2$

3. Girdiyi bul. $a \cdot b = \dfrac{3}{2} \cdot 2 = 3$ .

4. Bileşke: önce $g$ , sonra $f$ . $(f \circ g)(3) = f(g(3))$ . $g(3) = 3$ ve $f(3) = \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{5}{2}$ .

Sağlama: $(f - g)(2) = 2 - 1 = 1 = g(2)$ .

Tuzak: $(f + g)(a) = f(a)$ eşitliğinden " $g = 0$ fonksiyonu" sonucunu çıkarmak. Eşitlik yalnızca $a$ noktasında verilmiş; $g$ 'nin o noktadaki değeri sıfırdır.

Cevap: B

2025 AYTSoru 8

Orta

Toplam ve çarpım grafiğinden işaret okuma

$f$ ve $g$ , $[0, 10]$ kapalı aralığında tanımlı iki fonksiyondur. Aşağıdaki dik koordinat düzleminde $f + g$ ve $f \cdot g$ fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir.

$[0, 10]$ aralığından seçilen $a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları için

$f(a)$ , $f(b)$ ve $g(b)$ değerleri pozitif,
$g(a)$ , $f(c)$ ve $g(c)$ değerleri negatiftir.

Buna göre $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

$f$ ile $g$ 'nin grafikleri yok; toplamın ve çarpımın grafikleri var. Her sayı için önce "bu noktada toplam ve çarpım hangi işarette olur" sorusunu yanıtla.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Verilen işaretleri toplam ve çarpıma çevir.

$b$ : iki değer de pozitif. Çarpım pozitif, toplam pozitif.
$c$ : iki değer de negatif. Çarpım pozitif, toplam negatif.
$a$ : değerler zıt işaretli. Çarpım negatif.

2. Grafiklerden işaret aralıklarını oku. Çarpımın grafiği (parabol biçimli eğri) $x$ eksenini iki kez keser; köklerin dışında pozitif, arasında negatiftir. Toplamın grafiği (doğru) eksenin altından başlar, bir kez keser; kökünün solunda negatif, sağında pozitiftir. Doğrunun kökü, eğrinin iki kökünün arasındadır.

3. Sayıları yerleştir.

$c$ : çarpım pozitif, toplam negatif. Eğrinin ilk kökünün solu.
$a$ : çarpım negatif. Eğrinin iki kökünün arası.
$b$ : çarpım pozitif, toplam pozitif. Eğrinin ikinci kökünün sağı.

$c < a < b$

Tuzak: çarpımın pozitif olduğu iki bölgeyi ayırt etmemek. İki pozitif sayının da iki negatif sayının da çarpımı pozitiftir; ayrımı toplamın işareti yapar.

Cevap: D

2024 AYTSoru 6

Orta

Grafiklerin alt-üst sırası

Aşağıdaki dik koordinat düzleminde, $[0, 1]$ kapalı aralığında tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonlarının grafikleri ile $y = x$ doğrusu çizilmiştir.

$(0, 1)$ açık aralığından seçilen $a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları

$a < f(a) < g(a)$

$g(b) < b < f(b)$

$c < g(c) < f(c)$

eşitsizliklerini sağlıyor.

Buna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

İpucu

Bir $x$ değeri için $x$ , $f(x)$ ve $g(x)$ sayılarının sırası, o hizada $y = x$ doğrusu ile iki eğrinin alttan üste dizilişidir. Bu diziliş yalnızca kesişim noktalarında değişir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Eşitsizlikleri grafiğe çevir. $x$ sayısının kendisi, $y = x$ doğrusunun o hizadaki yüksekliğidir. Örneğin $a < f(a) < g(a)$ demek, $a$ hizasında alttan üste "doğru, $f$ , $g$ " dizilişi var demektir.

2. Kesişimleri soldan sağa sırala. $(0, 1)$ aralığında dört kesişim var: önce $f$ ile $g$ , sonra $g$ ile doğru, sonra $f$ ile doğru, en sağda yine $f$ ile $g$ . Apsislerine sırasıyla $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$ diyelim.

3. Her aralıkta alttan üste dizilişi oku.

$(0, x_1)$ : doğru, $f$ , $g$ . Bu $a$ 'nın koşulu.
$(x_1, x_2)$ : doğru, $g$ , $f$ . Bu $c$ 'nin koşulu.
$(x_2, x_3)$ : $g$ , doğru, $f$ . Bu $b$ 'nin koşulu.
$(x_3, x_4)$ ve $(x_4, 1)$ : doğru en üstte; üç koşuldan hiçbiri sağlanmaz.

4. Aralıklar soldan sağa sıralı olduğundan $a < x_1 < c < x_2 < b$ .

$a < c < b$

Tuzak: eşitsizlikleri fonksiyon kuralı arayarak çözmeye çalışmak. Kural verilmemiş; gereken tek şey grafiklerin birbirine göre konumu.

Cevap: B

2023 AYTSoru 11

Kolay

Fonksiyonlarda toplama ve çıkarma

$a$ ve $b$ gerçel sayılardır. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları

$f(x) = x^2 + ax + b$

$g(x) = ax + 2$

kurallarıyla veriliyor ve

$(f + g)(3) = 4$

$(f - g)(5) = 6$

eşitliklerini sağlıyor.

Buna göre $a - b$ farkı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Önce farkı yaz; $ax$ terimleri birbirini götürür.

$(f - g)(x) = x^2 + ax + b - ax - 2 = x^2 + b - 2$

$(f - g)(5) = 25 + b - 2 = 6$ olduğundan $b = -17$ .

2. Toplamı yaz.

$(f + g)(x) = x^2 + 2ax + b + 2$

$(f + g)(3) = 9 + 6a + b + 2 = 4$ , yani $6a + b = -7$ .

3. $b$ 'yi yerine koy. $6a - 17 = -7$ , $6a = 10$ , $a = \dfrac{5}{3}$ .

$a - b = \dfrac{5}{3} + 17 = \dfrac{56}{3}$

Tuzak: $-g(x)$ açılırken sabit terimin işaretini unutmak; $-(ax + 2) = -ax - 2$ .

Cevap: D

2022 AYTSoru 6

Orta

Fonksiyonlarda çarpma ve bölme

$a$ pozitif bir gerçel sayıdır. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için

$g(x) = x^2 + a$

$\left(\dfrac{f}{g}\right)(1) = 2$

$(f \cdot g)(1) = 18$

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre $(g \circ f)(1)$ değeri kaçtır?

İpucu

Bölüm ve çarpım aynı noktada verilmiş: $f(1)$ ve $g(1)$ iki bilinmeyen, elinde iki denklem var. $a$ 'nın pozitif olması hangi kökü seçeceğini söyler.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Simgeleri aç. $\dfrac{f(1)}{g(1)} = 2$ ve $f(1) \cdot g(1) = 18$ .

2. İki denklemi birleştir. İlkinden $f(1) = 2 \cdot g(1)$ . İkincide yerine yaz: $2 \cdot g(1)^2 = 18$ , $g(1)^2 = 9$ .

3. İşareti seç. $g(1) = 1 + a$ ve $a > 0$ olduğundan $g(1) > 1$ ; yani $g(1) = 3$ , $-3$ olamaz. Buradan $a = 2$ ve $f(1) = 6$ .

4. Bileşkeyi hesapla. $(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(6)$ demektir (önce $f$ , sonra $g$ ; bkz. Bire Bir, Örten, Bileşke ve Ters Fonksiyon).

$g(6) = 6^2 + 2 = 38$

Tuzak: $(f \cdot g)(1)$ çarpımdır, $(g \circ f)(1)$ bileşkedir; simgeler benzer, işlemler farklı.

Cevap: A

2019 AYTSoru 8

Kolay

Fonksiyon eşitliğinden değer bulma

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu, bütün $x$ ve $y$ gerçel sayıları için

$f(x + y) = f(x) + f(y)$

koşulunu sağlıyor.

$f(2) - f(1) = 10$ olarak veriliyor.

Buna göre

$\dfrac{f(3) \cdot f(4)}{f(5)}$

ifadesinin değeri kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Eşitlik her sayı için geçerli; işe yarayan sayıları sen seç. $x = y = 1$ yaz: $f(2) = f(1) + f(1) = 2 \cdot f(1)$ .

2. Verileni kullan. $f(2) - f(1) = 2 \cdot f(1) - f(1) = f(1)$ olduğundan $f(1) = 10$ .

3. Öbür değerleri aynı eşitlikle kur.

$f(2) = 20$
$f(3) = f(2) + f(1) = 30$
$f(4) = f(2) + f(2) = 40$
$f(5) = f(4) + f(1) = 50$

$\dfrac{f(3) \cdot f(4)}{f(5)} = \dfrac{30 \cdot 40}{50} = 24$

Not: bu koşulda pozitif tam sayılar için $f(n) = n \cdot f(1)$ olur; değerler $10$ 'ar $10$ 'ar artar.

Cevap: E

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Görüntü kümesi

$f: [-2, 3] \to \mathbb{R}$ fonksiyonu

$f(x) = x^2 - 1$

kuralıyla tanımlanıyor.

Buna göre $f$ fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

1. Uçlardaki değerler: $f(-2) = 3$ ve $f(3) = 8$ .

2. Aralığın içine bak. $x^2$ en küçük değerini $x = 0$ 'da alır ve $0$ tanım aralığının içindedir: $f(0) = -1$ . Grafik $-2$ 'den $0$ 'a kadar iner, sonra $3$ 'e kadar çıkar.

3. En küçük değer $-1$ , en büyük değer $8$ ; parabol arada kopmadığı için aradaki bütün değerler alınır.

$f([-2, 3]) = [-1, 8]$

Çeldiriciler: $[3, 8]$ yalnızca uç değerlere bakınca, $[0, 9]$ ise $-1$ çıkarılmadan $x^2$ 'nin değerleri yazılınca çıkar.

Cevap: B

Özgün soru2

Orta

Doğrusal fonksiyon

$f$ doğrusal bir fonksiyondur ve her $x$ gerçel sayısı için

$f(x + 2) - f(x) = 6$

eşitliğini sağlamaktadır.

$f(1) = -2$ olduğuna göre $f(5)$ kaçtır?

İpucu

Girdi $2$ arttığında çıktı hep $6$ artıyor. $1$ 'den $5$ 'e kaç adımda gidersin?

Çözüm

Kısa yol. Eşitlik, girdi $2$ arttıkça değerin $6$ arttığını söyler. $1 \to 3 \to 5$ iki adımdır:

$f(5) = f(1) + 6 + 6 = -2 + 12 = 10$

Kuralla sağlama. $f(x) = ax + b$ yaz: $f(x + 2) - f(x) = a(x + 2) + b - ax - b = 2a = 6$ , $a = 3$ . $f(1) = 3 + b = -2$ ise $b = -5$ . $f(x) = 3x - 5$ ve $f(5) = 10$ .

Çeldiriciler: $22$ , eğimi $6$ sanınca çıkar ( $-2 + 6 \cdot 4$ ); $6$ sayısı bir birimlik değil, iki birimlik artışın karşılığıdır. $13$ , $f(1)$ 'i kullanmadan $3 \cdot 5 - 2$ hesaplanınca çıkar.

Cevap: A

Özgün soru3

Kolay

Çift fonksiyon

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı

$f(x) = (a - 2)x^3 + (a + 1)x^2 + (b - 3)x + b$

fonksiyonu çift fonksiyondur.

Buna göre $f(2)$ kaçtır?

Çözüm

1. Çift fonksiyon koşulu. Her $x$ için $f(-x) = f(x)$ olmalı. $x$ yerine $-x$ yazınca tek kuvvetli terimler ( $x^3$ ve $x$ ) işaret değiştirir, çift kuvvetliler değiştirmez. Eşitliğin her $x$ için sağlanması, tek kuvvetli terimlerin katsayılarının sıfır olmasını gerektirir.

$a - 2 = 0 \qquad b - 3 = 0$

2. $a = 2$ , $b = 3$ . Kural $f(x) = 3x^2 + 3$ olur.

3. $f(2) = 3 \cdot 4 + 3 = 15$ .

Sağlama: $f(-2) = 15 = f(2)$ .

Çeldirici: $12$ , sabit terimi eklemeyi unutunca çıkar. Sabit terim $x^0$ katsayısıdır; çift kuvvet sayılır ve kalır.

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

Doğrusal model

Bir matbaada basılan sayfa sayısı $x$ ile toplam maliyet $y$ (TL) arasındaki ilişki doğrusaldır ve grafiği aşağıda verilmiştir. Grafik $y$ eksenini $400$ değerinde kesmekte ve $(200, 520)$ noktasından geçmektedir.

Buna göre $750$ sayfa basmanın toplam maliyeti kaç TL'dir?

İpucu

Grafiğin $y$ eksenini kestiği değer, hiç sayfa basılmadan ödenen sabit giderdir. Sayfa başına maliyeti iki noktadan bul.

Çözüm

1. Sabit gider. $x = 0$ için maliyet $400$ TL; bu, kuraldaki $b$ 'dir.

2. Sayfa başına maliyet (eğim). $(0, 400)$ ve $(200, 520)$ noktalarından

$a = \dfrac{520 - 400}{200 - 0} = \dfrac{120}{200} = 0{,}6$

3. Kural ve istenen değer. $f(x) = 0{,}6x + 400$ .

$f(750) = 0{,}6 \cdot 750 + 400 = 450 + 400 = 850$

Çeldiriciler: $450$ , sabit gideri eklemeyi unutunca çıkar. $1950$ , eğimi $\dfrac{520}{200}$ alıp $(200, 520)$ noktasını orijinle birleştirince çıkar; doğru orijinden geçmiyor.

Cevap: C

Özgün soru5

Zor

Grafikten işaret inceleme

Aşağıdaki dik koordinat düzleminde $[-4, 3]$ kapalı aralığında tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. $f$ 'nin grafiği $x$ eksenini $-3$ ve $1$ apsisli noktalarda, $g$ 'nin grafiği $2$ apsisli noktada kesmektedir.

Buna göre

$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) \leq 0$

eşitsizliğini sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

İpucu

Bölüm, pay ile payda zıt işaretliyken negatiftir. Eşitlik durumunu ayrıca düşün: bölüm ne zaman sıfır olur, ne zaman tanımsızdır?

Çözüm

1. İşaretleri grafikten oku. Grafik eksenin üstündeyse değer pozitif, altındaysa negatiftir.

$f$ : $-3$ ile $1$ arasında negatif; $[-4, -3)$ ve $(1, 3]$ aralıklarında pozitif; $-3$ ve $1$ 'de sıfır.
$g$ : $2$ 'nin solunda pozitif, sağında negatif; $2$ 'de sıfır.

2. Bölümün negatif olduğu yerler. Pay ile payda zıt işaretli olmalı.

$f$ negatif, $g$ pozitif: $-3 < x < 1$ .
$f$ pozitif, $g$ negatif: $2 < x \leq 3$ .

3. Eşitlik. Bölüm, pay sıfırken sıfırdır: $x = -3$ ve $x = 1$ çözüme girer. Payda sıfırken bölüm tanımsızdır: $x = 2$ çözüme giremez.

4. Çözüm kümesi $[-3, 1] \cup (2, 3]$ . Tam sayılar: $-3, -2, -1, 0, 1, 3$ .

$-3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 3 = -2$

Tuzak: $x = 2$ 'yi de almak ya da $-3$ ile $1$ 'i dışarıda bırakmak; iki hata da toplamı $0$ yapar. $[-4, -3)$ aralığında iki değer de pozitiftir, bölüm pozitif çıkar.

Cevap: C

Özgün soru6

Zor

Fonksiyon eşitliğinden değer bulma

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu her $x$ gerçel sayısı için

$f(x) + 2 \cdot f(1 - x) = 3x^2$

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre $f(2)$ kaçtır?

İpucu

$x = 2$ yazınca $f(2)$ 'nin yanında başka bir değer daha çıkar. O değeri parantezin içine getiren $x$ ile ikinci bir denklem kur.

Çözüm

1. $x = 2$ yaz. $1 - 2 = -1$ olduğundan

$f(2) + 2 \cdot f(-1) = 12$

Tek denklemde iki bilinmeyen var: $f(2)$ ve $f(-1)$ .

2. $x = -1$ yaz. $1 - (-1) = 2$ olduğundan aynı iki bilinmeyen geri gelir:

$f(-1) + 2 \cdot f(2) = 3$

3. Sistemi çöz. İkinciden $f(-1) = 3 - 2 \cdot f(2)$ . Birincide yerine yaz:

$f(2) + 6 - 4 \cdot f(2) = 12 \quad\Rightarrow\quad -3 \cdot f(2) = 6 \quad\Rightarrow\quad f(2) = -2$

Sağlama: $f(-1) = 3 + 4 = 7$ ; $-2 + 2 \cdot 7 = 12$ ve $7 + 2 \cdot (-2) = 3$ .

Tuzak: $f(1 - x)$ ifadesini $f(1) - f(x)$ diye açmak. Parantezin içi girdinin tamamıdır; fonksiyon parantezi dağıtılmaz.

Cevap: B

Fonksiyon nedir?

Bu kural bir fonksiyon tanımlar mı?

f(…)f(\ldots)f(…) parantezinin içi

Parantezin içi x değilse

Tanım kümesi ve görüntü kümesi

Grafikten tanım ve görüntü kümesi

Grafik ve düşey doğru testi

Doğrusal, sabit ve birim fonksiyon

Sabit ve birim fonksiyonda katsayılar

Yanan mumun boyu

Eşit fonksiyonlar

Bire bir, örten ve içine fonksiyon

Okları say: bire bir mi, örten mi?

Parçalı tanımlı fonksiyon

Parçalı fonksiyonda değer ve grafik

Tek ve çift fonksiyon

Tek mi, çift mi, hiçbiri mi?

Fonksiyonlarda dört işlem

İşlem değerlerinden katsayı bulma

Tek ve çift fonksiyonla denklem kurma

Bir toplamı tek ve çift parçasına ayırma

Grafikleri birlikte okumak

Hangi grafik üstte?

Doğrusal modelleri karşılaştırma

Hangi kiralama tarifesi?

Özgün sorular

$f(\ldots)$ parantezinin içi