20Konu 20 / 49
Trigonometri

Yönlü Açılar, Birim Çember ve Trigonometrik Fonksiyonlar

Dik üçgendeki oranlardan birim çembere geçiyoruz. Yönlü açı, derece, radyan ve esas ölçü; sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant, kosekant; bölgelere göre işaretler, temel özdeşlikler, indirgeme ve sıralama.

9 ve 11. sınıf
AYT sıklığı
75 dk

LevhaYönlü Açılar, Birim Çember ve Trigonometrik FonksiyonlarYönlü Açılar, Birim Çember ve Trigonometrik Fonksiyonlar

Bir dönme dolaba bindin. Kabin dönerken yerden yüksekliğin bir artıyor, bir azalıyor; 25 dakika sonra tam olarak kaç metre yüksekte olursun? Bu soruyu yanıtlamak için tek bir şeye ihtiyacın var: yarıçapı 1 olan bir çember üzerinde dönen bir noktanın koordinatları. Trigonometrinin tamamı bu noktanın apsisi ile ordinatından ibarettir.

Isınma

Başlamadan önce

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Dik kenarları 3 birim ve 4 birim olan dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

Açıklama

Pisagor bağıntısı: $3^2 + 4^2 = 25$ olduğundan hipotenüs $\sqrt{25} = 5$ birimdir. Ayrıntısı Dik Üçgen sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Kenarları 3, 4 ve 5 birim olan dik üçgenin bütün kenarları 2 katına çıkarılıyor. Kısa dik kenarın hipotenüse oranı ne olur?

Açıklama

Yeni kenarlar 6, 8 ve 10 olur: $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ . Benzer üçgenlerde kenar oranları değişmez; trigonometrik oranlar bu yüzden üçgenin büyüklüğüne değil yalnızca açıya bağlıdır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Yarıçapı 1 birim olan bir çemberin çevresi kaç birimdir?

Açıklama

Çevre $2\pi r = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$ birimdir. Bu sayı birazdan “tam tur” açısının radyan ölçüsü olarak karşına çıkacak.

Temel

Dik üçgenden birim çembere

Dik üçgende trigonometrik oranlar

Bir dik üçgeni büyütüp küçülttüğünde kenarlar değişir ama kenarların birbirine oranı değişmez; çünkü ortaya çıkan üçgenler benzerdir. Demek ki bu oranlar yalnızca açıya bağlıdır. Sahnede üçgeni büyüt: uzunluklar değişirken oranların sabit kaldığını izle.

Bir dar açıya göre kenarları adlandıralım: açının karşısındaki dik kenar karşı, açının kolu olan dik kenar komşu, dik açının karşısındaki kenar hipotenüs.

\alpha

açısına göre karşı dik kenar, komşu dik kenar ve hipotenüs

Örnek

kolay

Kenarlardan oranları okumak

Dik kenarları 5 birim ve 12 birim olan bir dik üçgende en küçük açı $\alpha$ olduğuna göre $\sin\alpha + \cos\alpha$ toplamı kaçtır?

Önce hipotenüsü bul, çünkü sinüs ve kosinüsün paydası hipotenüstür: $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$ .

Bir üçgende en küçük açı en kısa kenarın karşısındadır. Öyleyse $\alpha$ açısının karşısı 5, komşusu 12 birimdir.

Tanımları uygula: $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$ ve $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$ .

Sonuç

$\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{5}{13} + \dfrac{12}{13} = \dfrac{17}{13}$

30°, 45° ve 60° açıları

Bu üç açının oranlarını ezberlemek zorunda değilsin; iki özel üçgenden okunur. Kareyi köşegeniyle ikiye bölersen 45°-45°-90° üçgenini, eşkenar üçgeni yüksekliğiyle ikiye bölersen 30°-60°-90° üçgenini elde edersin.

Özel üçgenler: kenarlar

1, 1, \sqrt{2}

1, \sqrt{3}, 2

Açı	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$
$30^\circ$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$45^\circ$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
$60^\circ$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Tabloda bir düzen var: $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ$ ve $\tan 30^\circ = \cot 60^\circ$ . Aynı üçgende bir açının karşısı, öbür dar açının komşusudur; toplamı $90^\circ$ olan (tümler) açılarda sinüs ile kosinüs, tanjant ile kotanjant yer değiştirir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\sin 30^\circ + \tan 45^\circ

toplamı kaçtır?

Açıklama

$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ ve $\tan 45^\circ = 1$ olduğundan toplam $\dfrac{3}{2}$ olur.

Örnek

kolay

Duvara dayalı merdiven

6 metre uzunluğundaki bir merdiven, yerle $60^\circ$ açı yapacak biçimde düz bir duvara dayanmıştır. Merdivenin duvara değdiği nokta yerden kaç metre yüksektedir?

Merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüstür (6 m); aranan yükseklik $60^\circ$ açının karşısındaki kenardır.

Karşı kenar ile hipotenüsü birbirine bağlayan oran sinüstür: $\sin 60^\circ = \dfrac{h}{6}$ .

$\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ yazıp $h$ değerini çek: $h = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Sonuç

$h = 3\sqrt{3}$ metre (yaklaşık $5{,}2$ metre)

Yönlü açı

Dik üçgendeki açı $0^\circ$ ile $90^\circ$ arasında kalır. Oysa dönen bir tekerlek $200^\circ$ da döner, üç tam tur da atar, ters yöne de döner. Bunları anlatmak için açıya bir yön veriyoruz. Sahnede ışını iki yöne de çevir ve tam turu aşınca ne olduğuna bak.

Örneğin bir saatin yelkovanı 15 dakikada $90^\circ$ döner; dönme saat yönünde olduğu için yönlü açının ölçüsü $-90^\circ$ olur.

Derece, dakika, saniye

Tam tur $360$ eş parçaya bölündüğünde her parça $1$ derecedir. Derecenin alt birimleri dakika ve saniyedir:

1^\circ = 60' \qquad 1' = 60''

Örnek

kolay

Derece ve dakikayla toplama

$35^\circ\, 48' + 24^\circ\, 27'$ toplamı kaçtır?

Aynı birimleri topla: dereceler $35 + 24 = 59$ , dakikalar $48 + 27 = 75$ .

Dakika 60’ı aşamaz, çünkü $60' = 1^\circ$ eder. $75' = 60' + 15' = 1^\circ\, 15'$ yaz ve $1^\circ$ ‘yi derecelere ekle.

Sonuç

$35^\circ\, 48' + 24^\circ\, 27' = 60^\circ\, 15'$

Radyan

Dereceyi insanlar seçmiştir; 360 sayısının özel bir yanı yok. Radyan ise çemberin kendisinden çıkar: yarıçapı alıp çemberin üzerine yatırırsın. Sahnede yarıçap uzunluğundaki ipi yaya sar; tam tura kaç tane sığdığını say.

Yay uzunluğu yarıçapa eşitse merkez açı 1 radyandır (yaklaşık

57{,}3^\circ

)

Sık kullanacakların: $30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ , $45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ , $60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ , $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ , $270^\circ = \dfrac{3\pi}{2}$ . Birim yazılmamışsa ölçü radyandır: $\sin 2$ ifadesindeki 2, iki radyandır.

Örnek

kolay

Derece ile radyan arasında geçiş

$150^\circ$ kaç radyandır? $\dfrac{7\pi}{4}$ radyan kaç derecedir?

$\dfrac{D}{180} = \dfrac{R}{\pi}$ eşitliğinde $D = 150$ yaz: $R = \dfrac{150\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$ .

Radyandan dereceye geçerken en kısa yol $\pi$ yerine $180^\circ$ yazmaktır, çünkü $\pi$ radyan $180^\circ$ eder: $\dfrac{7 \cdot 180^\circ}{4} = 315^\circ$ .

Sonuç

$150^\circ = \dfrac{5\pi}{6}$ radyan ve $\dfrac{7\pi}{4}$ radyan $= 315^\circ$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\dfrac{2\pi}{3}

radyan kaç derecedir?

Açıklama

$\pi$ yerine $180^\circ$ yaz: $\dfrac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 120^\circ$ .

Esas ölçü

$30^\circ$ , $390^\circ$ ve $-330^\circ$ ölçülü açıların bitim kenarı aynıdır; aralarında yalnızca tam turlar vardır. Bitim kenarı aynı olan açıların trigonometrik değerleri de aynıdır, bu yüzden hepsini tek bir temsilciyle göstermek işimizi kolaylaştırır.

Örnek

kolay

Üç farklı esas ölçü

Ölçüleri $1000^\circ$ , $-130^\circ$ ve $\dfrac{29\pi}{4}$ radyan olan açıların esas ölçülerini bul.

$1000^\circ$ : içindeki tam turları at. $1000 = 2 \cdot 360 + 280$ olduğundan esas ölçü $280^\circ$ ‘dir.

$-130^\circ$ : esas ölçü negatif olamaz, bu yüzden bir tam tur ekle: $-130^\circ + 360^\circ = 230^\circ$ .

$\dfrac{29\pi}{4}$ : tam tur $2\pi = \dfrac{8\pi}{4}$ ‘tür. $29 = 3 \cdot 8 + 5$ olduğundan üç tam tur atılır: $\dfrac{29\pi}{4} - 6\pi = \dfrac{5\pi}{4}$ .

Sonuç

Esas ölçüler sırasıyla $280^\circ$ , $230^\circ$ ve $\dfrac{5\pi}{4}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

-400^\circ

ölçülü açının esas ölçüsü kaç derecedir?

Açıklama

$-400^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 320^\circ$ ve $0^\circ \le 320^\circ < 360^\circ$ .

Birim çember

Dik üçgende hipotenüsü 1 seçersen karşı kenar doğrudan $\sin\alpha$ , komşu kenar doğrudan $\cos\alpha$ olur. Bu üçgeni koordinat düzlemine, hipotenüsü orijinden çıkacak biçimde yerleştir: hipotenüsün ucu yarıçapı 1 olan bir çember çizer. Sahnede noktayı sürükle; koordinatlarının nasıl değiştiğini izle.

P

dönerken apsisi

\cos\theta

, ordinatı

\sin\theta

değerini verir

Bu tanım dar açıda dik üçgen tanımıyla aynı sonucu verir, ama artık her açı için geçerlidir. Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları $-1$ ile $1$ arasında kaldığından her $\theta$ için

-1 \le \sin\theta \le 1 \qquad -1 \le \cos\theta \le 1

Eksenler üzerindeki noktalardan şu değerler okunur:

Açı	$0^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$	$270^\circ$
Nokta	$(1, 0)$	$(0, 1)$	$(-1, 0)$	$(0, -1)$
$\sin$	$0$	$1$	$0$	$-1$
$\cos$	$1$	$0$	$-1$	$0$

Örnek

kolay

Geniş açının sinüsü ve kosinüsü

Birim çemberden yararlanarak $\sin 120^\circ$ ve $\cos 120^\circ$ değerlerini bul.

$120^\circ$ açısının bitim kenarı ikinci bölgededir ve $x$ ekseninin negatif tarafıyla $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ açı yapar.

$P$ noktasından $x$ eksenine dikme in. Hipotenüsü 1, bir açısı $60^\circ$ olan dik üçgen oluşur: yatay kenar $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$ , düşey kenar $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Uzunlukları koordinata çevirirken yöne bak: $P$ noktası $y$ ekseninin solunda, $x$ ekseninin üstündedir. Apsis negatif, ordinat pozitiftir: $P = \left(-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Sonuç

$\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ve $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\cos 180^\circ + \sin 90^\circ

toplamı kaçtır?

Açıklama

$180^\circ$ açısının noktası $(-1, 0)$ , $90^\circ$ açısının noktası $(0, 1)$ ‘dir: $\cos 180^\circ + \sin 90^\circ = -1 + 1 = 0$ .

Orta

İşaretler, özdeşlikler ve indirgeme

Bölgelere göre işaretler

$\cos\theta$ bir apsis, $\sin\theta$ bir ordinat olduğuna göre işaretlerini bulmak için formül gerekmez: noktanın hangi bölgede olduğuna bakman yeter. Sahnede noktayı dört bölgede gezdir; hangi değerin ne zaman işaret değiştirdiğini izle.

Eksenler düzlemi dört bölgeye ayırır: $0^\circ$ ile $90^\circ$ arası I. bölge, $90^\circ$ ile $180^\circ$ arası II. bölge, $180^\circ$ ile $270^\circ$ arası III. bölge, $270^\circ$ ile $360^\circ$ arası IV. bölgedir. Sinüs ordinat olduğu için $x$ ekseninin üstünde (I ve II), kosinüs apsis olduğu için $y$ ekseninin sağında (I ve IV) pozitiftir.

Her bölgede pozitif olan trigonometrik fonksiyonlar

Örnek

orta

Bir çarpımın işareti

$\sin 200^\circ \cdot \cos 310^\circ \cdot \tan 100^\circ$ çarpımının işareti nedir?

Değer hesaplamaya gerek yok; yalnızca bölgeleri bul. $200^\circ$ III. bölgede, $310^\circ$ IV. bölgede, $100^\circ$ II. bölgededir.

III. bölgede ordinat negatiftir: $\sin 200^\circ$ negatif. IV. bölgede apsis pozitiftir: $\cos 310^\circ$ pozitif.

Tanjant, ordinatın apsise oranıdır. II. bölgede ordinat pozitif, apsis negatiftir; oran negatif çıkar: $\tan 100^\circ$ negatif.

Sonuç

$(-) \cdot (+) \cdot (-) = (+)$ ; çarpım pozitiftir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\sin\theta

negatif ve

\tan\theta

pozitif ise

\theta

açısının bitim kenarı hangi bölgededir?

Açıklama

Sinüs III ve IV. bölgelerde negatiftir. Tanjant I ve III. bölgelerde pozitiftir. İkisini birden sağlayan III. bölgedir.

Tanjant, kotanjant, sekant, kosekant

Sinüs ve kosinüs çemberin içindeki iki uzunluktu. Bitim kenarını çemberin dışına, $x = 1$ teğet doğrusuna kadar uzatırsan iki uzunluk daha ortaya çıkar: tanjant ve sekant. Sahnede açıyı $90^\circ$ ‘ye yaklaştır; tanjantın nasıl sınırsız büyüdüğünü gör.

OHP

OAT

benzer dik üçgenlerdir:

|AT| = \tan\theta

|OT| = \sec\theta

Şekildeki iki dik üçgenin açıları aynıdır, yani benzerdirler. $|OA| = 1$ olduğundan $\dfrac{|AT|}{|OA|} = \dfrac{|HP|}{|OH|}$ eşitliği $|AT| = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$ verir. Aynı benzerlikten $\dfrac{|OT|}{|OP|} = \dfrac{|OA|}{|OH|}$ , yani $|OT| = \dfrac{1}{\cos\theta} = \sec\theta$ çıkar. $x = 1$ doğrusuna bu yüzden tanjant ekseni denir; benzer biçimde $y = 1$ doğrusu kotanjant eksenidir.

Bu çizim yeni değil: 10. yüzyılda Ebu’l Vefa trigonometrik oranları yarıçapı 1 olan çember üzerinde ele almış ve tanjantı ayrı bir fonksiyon olarak incelemiş, 15. yüzyılda Gıyaseddin Cemşid $\sin 1^\circ$ değerini çok sayıda basamağa kadar doğru hesaplamıştır.

Temel özdeşlikler

Hepsi Pisagor bağıntısıdır. Birincisi $OHP$ üçgeninde ( $\cos\theta$ , $\sin\theta$ , 1), üçüncüsü $OAT$ üçgeninde (1, $\tan\theta$ , $\sec\theta$ ) yazılmıştır. Dördüncüsü, birinci özdeşliğin iki yanı $\sin^2\theta$ ile bölünerek de bulunur. $\sin^2\theta$ yazımı $(\sin\theta)^2$ demektir.

Örnek

orta

Bir değerden diğerlerini bulmak

$\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$ ve $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ olduğuna göre $\cos\theta$ ve $\tan\theta$ değerleri kaçtır?

Sinüs ile kosinüsü bağlayan özdeşliği kullan: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$ .

Karekök alınca iki aday çıkar: $\cos\theta = \dfrac{4}{5}$ ya da $\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$ . Hangisi olduğunu bölge söyler: $\theta$ II. bölgededir, apsis negatiftir. Öyleyse $\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$ .

Tanjant sinüsün kosinüse oranıdır: $\tan\theta = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}$ .

Sonuç

$\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$ ve $\tan\theta = -\dfrac{3}{4}$

Örnek

orta

Rampanın yüksekliği

Bir otoparkın 26 metre uzunluğundaki rampası yatayla $\theta$ açısı yapmaktadır ve $\tan\theta = \dfrac{5}{12}$ ‘dir. Rampanın üst ucu, alt ucundan kaç metre yüksektedir?

Rampa hipotenüs, yükseklik $\theta$ açısının karşısındaki kenardır. Bu ikisini bağlayan oran sinüstür; elimizde ise tanjant var. Önce $\sin\theta$ değerini bulmalıyız.

$\tan\theta = \dfrac{5}{12}$ için karşısı $5k$ , komşusu $12k$ olan yardımcı dik üçgeni düşün. Hipotenüsü $\sqrt{25k^2 + 144k^2} = 13k$ olur; $\theta$ dar açı olduğundan $\sin\theta = \dfrac{5}{13}$ .

Gerçek üçgende hipotenüs 26 metredir: $h = 26 \cdot \sin\theta = 26 \cdot \dfrac{5}{13}$ .

Sonuç

$h = 10$ metre

Örnek

orta

Özdeşlikle sadeleştirme

$\dfrac{\sin x}{1 + \cos x} + \dfrac{1 + \cos x}{\sin x}$ ifadesinin en sade biçimi nedir?

İki kesri toplamak için payda eşitle. Ortak payda $\sin x \cdot (1 + \cos x)$ olur:

\dfrac{\sin^2 x + (1 + \cos x)^2}{\sin x \cdot (1 + \cos x)}

Payı aç: $\sin^2 x + 1 + 2\cos x + \cos^2 x$ . Burada $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ olduğu için pay $2 + 2\cos x = 2(1 + \cos x)$ olur.

$(1 + \cos x)$ çarpanı sadeleşir: $\dfrac{2(1 + \cos x)}{\sin x \cdot (1 + \cos x)} = \dfrac{2}{\sin x}$ .

Sonuç

$\dfrac{2}{\sin x} = 2\cosec x$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}

olduğuna göre

\sin x \cdot \cos x

çarpımı kaçtır?

Açıklama

İki yanın karesini al: $\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \dfrac{1}{4}$ . $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ olduğundan $2\sin x\cos x = -\dfrac{3}{4}$ ve $\sin x\cos x = -\dfrac{3}{8}$ .

İndirgeme: her açıyı dar açıya taşımak

$\sin 150^\circ$ değerini bulmak için yeni bir tablo gerekmez. $150^\circ$ açısının noktası, $30^\circ$ açısının noktasının $y$ eksenine göre yansımasıdır; ordinatları aynıdır. Sahnede $\theta$ açısını değiştir ve dört noktanın birlikte nasıl hareket ettiğini izle.

\theta

\pi - \theta

\pi + \theta

2\pi - \theta

açılarının noktaları: koordinatlar aynı, yalnızca işaretler değişir

Dört noktanın koordinatları yalnızca işaretle ayrılır. Örneğin $\pi - \theta$ açısının noktası $(-a, b)$ olduğundan $\sin(\pi - \theta) = b = \sin\theta$ ve $\cos(\pi - \theta) = -a = -\cos\theta$ olur. $2\pi - \theta$ ile $-\theta$ açılarının bitim kenarı aynıdır; bu yüzden $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ ve $\cos(-\theta) = \cos\theta$ .

Tümler açılarda ise koordinatlar yer değiştirir:

\theta

\dfrac{\pi}{2} - \theta

açılarının noktaları

y = x

doğrusuna göre simetriktir

$\dfrac{\pi}{2} - \theta$ açısının noktası $(b, a)$ olduğundan $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = a = \cos\theta$ ve $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = b = \sin\theta$ olur. İsim değişiminin nedeni budur.

En sık kullanılanlar:

Açı	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$\dfrac{\pi}{2} - \theta$	$\cos\theta$	$\sin\theta$	$\cot\theta$
$\dfrac{\pi}{2} + \theta$	$\cos\theta$	$-\sin\theta$	$-\cot\theta$
$\pi - \theta$	$\sin\theta$	$-\cos\theta$	$-\tan\theta$
$\pi + \theta$	$-\sin\theta$	$-\cos\theta$	$\tan\theta$
$\dfrac{3\pi}{2} - \theta$	$-\cos\theta$	$-\sin\theta$	$\cot\theta$
$\dfrac{3\pi}{2} + \theta$	$-\cos\theta$	$\sin\theta$	$-\cot\theta$
$2\pi - \theta$	$-\sin\theta$	$\cos\theta$	$-\tan\theta$

Tabloyu ezberleme; her satırı iki adımlı kuralla kendin üretebilmelisin. Kural, $\theta$ dar açı olmasa da doğru sonucu verir; dar açı kabulü yalnızca işareti kolay bulmak içindir.

Örnek

orta

Üç açıyı dar açıya indirgemek

$\sin 150^\circ + \cos 240^\circ + \tan 315^\circ$ toplamı kaçtır?

$150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$ : II. bölge, sinüs pozitif, $k$ çift olduğundan ad aynı. $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ .

$240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$ : III. bölge, kosinüs negatif, ad aynı. $\cos 240^\circ = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$ .

$315^\circ = 360^\circ - 45^\circ$ : IV. bölge, tanjant negatif, ad aynı. $\tan 315^\circ = -\tan 45^\circ = -1$ .

Sonuç

$\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} - 1 = -1$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right)

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Açıklama

$\dfrac{3\pi}{2} - \theta$ III. bölgededir, sinüs orada negatiftir. $k = 3$ tek olduğundan ad değişir: $-\cos\theta$ .

Sahnede dene

Sahnede $\theta = 30^\circ$ seç ve dört noktanın ordinatlarını oku. Hangi iki açının sinüsü $\dfrac{1}{2}$ , hangi ikisinin $-\dfrac{1}{2}$ ?

İleri

Sıralama ve birleşik sorular

Trigonometrik değerleri sıralamak

Sınavda değerlerin kendisi değil, sırası sorulur: hangisi büyük? Yanıt birim çemberdeki uzunlukları karşılaştırmaktan geçer. Sahnede açıyı $0^\circ$ ‘den $90^\circ$ ‘ye götür; sinüs, kosinüs ve tanjant çubuklarının boylarını ve $45^\circ$ ‘de olanı izle.

I. bölgede açı büyüdükçe nokta yukarı ve sola kayar: sinüs ve tanjant artar, kosinüs ve kotanjant azalır. $45^\circ$ dönüm noktasıdır; orada $\sin = \cos$ ve $\tan = \cot = 1$ olur.

Son satırın nedeni: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ifadesinde payda 1’den küçük olduğu için sonuç $\sin\theta$ ‘dan büyüktür; $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$ ifadesinde ise pay 1, yani $\sin\theta$ ‘dan büyüktür. Farklı bölgelerdeki açıları sıralarken önce işaretlere bak, sonra hepsini indirgemeyle I. bölgeye taşı.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

0^\circ < \theta < 45^\circ

olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Açıklama

$45^\circ$ ‘den küçük dar açılarda nokta $y = x$ doğrusunun altındadır: ordinat ( $\sin\theta$ ) apsisten ( $\cos\theta$ ) küçüktür.

Örnek

zor

Farklı bölgelerden üç değer

$a = \sin 110^\circ$ , $b = \cos 200^\circ$ ve $c = \tan 250^\circ$ sayılarını küçükten büyüğe sırala.

Önce işaretler. $110^\circ$ II. bölgede: sinüs pozitif. $200^\circ$ III. bölgede: kosinüs negatif. $250^\circ$ III. bölgede: tanjant pozitif. Tek negatif sayı $b$ olduğundan en küçük odur.

Kalan ikisini I. bölgeye indir: $a = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ$ ve $c = \tan(180^\circ + 70^\circ) = \tan 70^\circ$ .

Aynı dar açıda sinüs tanjanttan küçüktür; ayrıca $\sin 70^\circ < 1 < \tan 70^\circ$ . Öyleyse $a < c$ .

Sonuç

$b < a < c$

Örnek

zor

Dönme dolap

Yarıçapı 20 metre olan bir dönme dolabın merkezi yerden 22 metre yüksektedir. Dolap saat yönünün tersine, sabit hızla dönmekte ve bir turunu 12 dakikada tamamlamaktadır. Bir kabin, merkezle aynı yükseklikte ve merkezin sağında olduğu anda harekete başlıyor. Bu kabin 25 dakika sonra yerden kaç metre yüksekte olur?

Kabinin başlangıç konumunu $0^\circ$ kabul et; saat yönünün tersine döndüğü için açı pozitif yönde büyür. 12 dakikada $360^\circ$ dönen kabin dakikada $30^\circ$ döner; 25 dakikada $25 \cdot 30^\circ = 750^\circ$ .

Konumu belirleyen esas ölçüdür, çünkü tam turlar kabini aynı yere getirir: $750^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 30^\circ$ .

Birim çemberde ordinat $\sin 30^\circ$ ‘dir. Yarıçap 20 metre olduğundan kabin, merkezin $20 \cdot \sin 30^\circ = 10$ metre üstündedir.

Merkez yerden 22 metre yüksekte olduğundan yüksekliği yere göre yaz: $22 + 10$ .

Sonuç

Kabin yerden $32$ metre yüksektedir.

Örnek

zor

Toplamdan çarpıma

$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ ve $\tan x + \cot x = 4$ olduğuna göre $\sin x + \cos x$ toplamı kaçtır?

Her şeyi sinüs ve kosinüs cinsinden yaz; karmaşık ifadelerde en güvenli yol budur:

\tan x + \cot x = \dfrac{\sin x}{\cos x} + \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \dfrac{1}{\sin x \cos x}

Bu ifade 4’e eşit olduğundan $\sin x \cos x = \dfrac{1}{4}$ .

Toplam ile çarpımı bağlayan köprü tam karedir: $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ .

Karekök alırken işareti aralık belirler: $x$ I. bölgede olduğundan $\sin x$ ve $\cos x$ pozitiftir, toplamları da pozitiftir.

Sonuç

$\sin x + \cos x = \sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$

Buradan sonrası ayrı sayfalardadır: Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri, Trigonometrik Denklemler, grafikler ve periyot için Trigonometrik Fonksiyon Grafikleri.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Dik üçgen: $\sin = \dfrac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}}$ , $\cos = \dfrac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}}$ , $\tan = \dfrac{\text{karşı}}{\text{komşu}}$ , $\cot = \dfrac{\text{komşu}}{\text{karşı}}$ . $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ değerleri özel üçgenlerden okunur.
Yönlü açı: saat yönünün tersi pozitif, saat yönü negatif. $1^\circ = 60'$ , $1' = 60''$ .
Radyan: $180^\circ = \pi$ radyan; $\dfrac{D}{180} = \dfrac{R}{\pi}$ .
Esas ölçü: tam turlar atılır ya da eklenir; sonuç $[0^\circ, 360^\circ)$ aralığındadır.
Birim çember: $P = (\cos\theta, \sin\theta)$ ; $-1 \le \sin\theta, \cos\theta \le 1$ .
İşaretler: I. bölgede hepsi, II. bölgede $\sin$ ve $\cosec$ , III. bölgede $\tan$ ve $\cot$ , IV. bölgede $\cos$ ve $\sec$ pozitiftir.
Özdeşlikler: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ , $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$ , $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ , $1 + \cot^2\theta = \cosec^2\theta$ .
İndirgeme: önce asıl fonksiyonun bölgedeki işareti; $\pi$ ve $2\pi$ çevresinde ad aynı, $\dfrac{\pi}{2}$ ve $\dfrac{3\pi}{2}$ çevresinde ad değişir.
Sıralama: I. bölgede $\sin$ ve $\tan$ artar, $\cos$ ve $\cot$ azalır; dar açıda $\sin\theta < \tan\theta < \sec\theta$ .

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

9 çıkmış soru7 özgün soru

2025 AYTSoru 28

Orta

İndirgeme ve sıralama

$x$ , $y$ ve $z$ sayıları $\left\{ \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4} \right\}$ kümesinin birbirinden farklı elemanlarıdır ve

\sin x < \tan y < \sec z

eşitsizliği sağlanmaktadır.

Buna göre $x$ , $y$ ve $z$ sayılarının sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

Üç açının sinüs, tanjant ve sekant değerlerini bir tabloya yaz. Eşitsizliğin en sağındaki $\sec z$ hangi değeri alabilir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

Açılar $45^\circ$ , $135^\circ$ ve $225^\circ$ 'dir; sırasıyla I, II ve III. bölgededir. İndirgemeyle değerleri yaz:

$\dfrac{\pi}{4}$ için: $\sin = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan = 1$ , $\sec = \sqrt{2}$
$\dfrac{3\pi}{4}$ için: $\sin = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan = -1$ , $\sec = -\sqrt{2}$
$\dfrac{5\pi}{4}$ için: $\sin = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan = 1$ , $\sec = -\sqrt{2}$

$z$ : Bu üç açıda $\tan y$ en az $-1$ 'dir. $\sec z = -\sqrt{2}$ olsaydı $\tan y < -\sqrt{2}$ gerekirdi; bu olamaz. Öyleyse $\sec z = \sqrt{2}$ , yani $z = \dfrac{\pi}{4}$ .

$x$ ve $y$ : kalan iki açı $\dfrac{3\pi}{4}$ ve $\dfrac{5\pi}{4}$ 'tür.

$y = \dfrac{3\pi}{4}$ , $x = \dfrac{5\pi}{4}$ olsaydı $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} < -1$ gerekirdi; yanlış.
$y = \dfrac{5\pi}{4}$ , $x = \dfrac{3\pi}{4}$ için $\dfrac{\sqrt{2}}{2} < 1 < \sqrt{2}$ ; doğru.

$z = \dfrac{\pi}{4}$ , $x = \dfrac{3\pi}{4}$ , $y = \dfrac{5\pi}{4}$ olduğundan $z < x < y$ .

Tuzak: soru trigonometrik değerlerin değil, açıların sırasını istiyor.

Cevap: D

2024 AYTSoru 27

Kolay

Sıralama

a = \sin(40^\circ) \qquad b = \sec(40^\circ) \qquad c = \tan(40^\circ)

sayıları veriliyor. Buna göre $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

$40^\circ$ dar açıdır: $0 < \sin 40^\circ < 1$ ve $0 < \cos 40^\circ < 1$ .

$a$ ile $c$ : $\tan 40^\circ = \dfrac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}$ . Pozitif bir sayıyı 1'den küçük pozitif bir sayıya bölmek onu büyütür; $\sin 40^\circ < \tan 40^\circ$ , yani $a < c$ .

$c$ ile $b$ : $\sec 40^\circ = \dfrac{1}{\cos 40^\circ}$ . Paydalar aynı, paylarda $\sin 40^\circ < 1$ olduğundan $\tan 40^\circ < \sec 40^\circ$ , yani $c < b$ .

Sıralama: $a < c < b$ .

Birim çember yorumu: $OAT$ dik üçgeninde dik kenarlar 1 ve $\tan 40^\circ$ , hipotenüs $\sec 40^\circ$ 'dir; hipotenüs en uzun kenardır. Yaklaşık değerler: $0{,}64 < 0{,}84 < 1{,}31$ .

Cevap: B

2023 AYTSoru 27

Kolay

Bölgelere göre işaretler

$a$ sayısı $\left( \dfrac{3\pi}{4}, \pi \right)$ aralığındadır.

x = \sin(2a) \cdot \tan(a)

y = \cos(2a) \cdot \cot(2a)

z = \sin(a) \cdot \cot(2a)

Buna göre $x$ , $y$ ve $z$ sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

İki açı var: $a$ ve $2a$ . Bölgelerini bul.

$a \in \left( \dfrac{3\pi}{4}, \pi \right)$ , yani $135^\circ$ ile $180^\circ$ arası: II. bölge. $\sin a > 0$ ve $\tan a < 0$ .
$2a \in \left( \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi \right)$ , yani $270^\circ$ ile $360^\circ$ arası: IV. bölge. $\sin 2a < 0$ , $\cos 2a > 0$ ve $\cot 2a < 0$ .

İşaretleri yerine koy:

$x = \sin(2a) \cdot \tan(a)$ : $(-) \cdot (-) = (+)$
$y = \cos(2a) \cdot \cot(2a)$ : $(+) \cdot (-) = (-)$
$z = \sin(a) \cdot \cot(2a)$ : $(+) \cdot (-) = (-)$

İşaretler sırasıyla $+, -, -$ olur. Tuzak: $a$ ile $2a$ farklı bölgelerdedir; her çarpanda hangi açının yazdığına dikkat et.

Cevap: B

2022 AYTSoru 28

Kolay

Bölgelere göre işaretler

$a$ sayısı $\left( \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3} \right)$ aralığındadır.

x = \cos(2a) \cdot \cot(2a)

y = \cos(4a) \cdot \cot(4a)

z = \cos(6a) \cdot \cot(6a)

Buna göre $x$ , $y$ ve $z$ sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

Dereceye çevir: $45^\circ < a < 60^\circ$ . Her açının bölgesini bul.

$2a \in (90^\circ, 120^\circ)$ : II. bölge. Kosinüs negatif, kotanjant negatif; çarpım pozitif. $x > 0$ .
$4a \in (180^\circ, 240^\circ)$ : III. bölge. Kosinüs negatif, kotanjant pozitif; çarpım negatif. $y < 0$ .
$6a \in (270^\circ, 360^\circ)$ : IV. bölge. Kosinüs pozitif, kotanjant negatif; çarpım negatif. $z < 0$ .

İşaretler sırasıyla $+$ , $-$ , $-$ olur.

Kısa yol: $\cos t \cdot \cot t = \dfrac{\cos^2 t}{\sin t}$ olduğundan her ifadenin işareti $\sin t$ ile aynıdır; sinüs II. bölgede pozitif, III ve IV. bölgelerde negatiftir.

Cevap: C

2021 AYTSoru 27

Kolay

Sıralama

$a$ sayısı $\left( \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4} \right)$ aralığındadır.

x = \tan a \qquad y = \tan(2a) \qquad z = \tan(3a)

Buna göre $x$ , $y$ ve $z$ sayılarının sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

Dereceye çevir: $30^\circ < a < 45^\circ$ . Her açının aralığını ayrı ayrı bul.

$a \in (30^\circ, 45^\circ)$ : I. bölge ve $45^\circ$ 'den küçük, bu yüzden $0 < \tan a < 1$ .
$2a \in (60^\circ, 90^\circ)$ : I. bölge ve $45^\circ$ 'den büyük, bu yüzden $\tan(2a) > 1$ .
$3a \in (90^\circ, 135^\circ)$ : II. bölge; tanjant negatiftir, $\tan(3a) < 0$ .

Öyleyse $z < 0 < x < 1 < y$ , yani $z < x < y$ .

Tuzak: "açı büyüdükçe tanjant büyür" kuralı yalnızca aynı bölge içinde geçerlidir; $90^\circ$ aşılınca tanjant negatife düşer.

Cevap: D

2020 AYTSoru 28

Orta

İndirgeme ve sıralama

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin iç açılarının derece cinsinden ölçüleri $x$ , $y$ ve $z$ 'dir ve $x > y > z$ olduğu bilinmektedir.

a = \sin(x + y) \qquad b = \sin(x + z) \qquad c = \sin(y + z)

Buna göre $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

Üçgende iki açının toplamı, $180^\circ$ eksi üçüncü açıdır. $\sin(180^\circ - \theta)$ neye eşittir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

Üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan

x + y = 180^\circ - z, \qquad x + z = 180^\circ - y, \qquad y + z = 180^\circ - x

$\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$ indirgemesiyle

a = \sin z, \qquad b = \sin y, \qquad c = \sin x

Üçgen dar açılı olduğundan $x$ , $y$ ve $z$ açılarının üçü de $0^\circ$ ile $90^\circ$ arasındadır; bu aralıkta sinüs artandır. $z < y < x$ olduğundan $\sin z < \sin y < \sin x$ , yani $a < b < c$ .

Tuzak: $x + y$ en büyük toplam diye $a$ 'yı en büyük sanmak. Toplamlar geniş açıdır; II. bölgede açı büyüdükçe sinüs küçülür.

Cevap: A

2019 AYTSoru 31

Kolay

Sıralama

$a$ sayısı $\left( \dfrac{\pi}{12}, \dfrac{\pi}{6} \right)$ aralığındadır.

x = \sin(3a) \qquad y = \cos(3a) \qquad z = \tan(3a)

Buna göre $x$ , $y$ ve $z$ sayılarının sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

Önce $3a$ açısının aralığını bul. $\dfrac{\pi}{12} < a < \dfrac{\pi}{6}$ eşitsizliğinin her yanını 3 ile çarp:

\dfrac{\pi}{4} < 3a < \dfrac{\pi}{2}

Yani $3a$ , $45^\circ$ ile $90^\circ$ arasında bir dar açıdır.

Bu aralıkta nokta $y = x$ doğrusunun üstündedir: $0 < \cos(3a) < \sin(3a) < 1$ . Ayrıca $45^\circ$ 'den büyük dar açılarda tanjant 1'den büyüktür: $\tan(3a) > 1$ .

Öyleyse $\cos(3a) < \sin(3a) < 1 < \tan(3a)$ , yani $y < x < z$ .

Tuzak: aralığı $a$ için değil $3a$ için kullanmak gerekir; $a$ 'nın kendisi $45^\circ$ 'den küçüktür ve orada sıra tersine döner.

Cevap: C

2019 AYTSoru 32

Orta

Temel özdeşlikler

$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ olmak üzere

\sec x \cdot \tan x \cdot (1 - \sin x) = \dfrac{1}{4}

eşitliği sağlanıyor. Buna göre $\cosec x$ kaçtır?

İpucu

Her şeyi $\sin x$ ve $\cos x$ cinsinden yaz. Paydada oluşan $\cos^2 x$ ifadesini $1 - \sin^2 x$ olarak çarpanlarına ayır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

$\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ ve $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ yaz:

\dfrac{\sin x \cdot (1 - \sin x)}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{4}

Paydayı iki kare farkı olarak ayır: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$ . Verilen aralıkta $\sin x \neq 1$ olduğundan $(1 - \sin x)$ sadeleşir:

\dfrac{\sin x}{1 + \sin x} = \dfrac{1}{4}

İçler dışlar çarpımı: $4\sin x = 1 + \sin x$ , yani $\sin x = \dfrac{1}{3}$ .

$\cosec x = \dfrac{1}{\sin x} = 3$ .

Kontrol: $\sin x = \dfrac{1}{3}$ için $\cos^2 x = \dfrac{8}{9}$ ve sol taraf $\dfrac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \dfrac{1}{4}$ olur.

Cevap: E

2018 AYTSoru 29

Orta

Birim çemberde uzunluklar

Şekilde $O$ merkezli, yarıçapı 1 birim olan bir yarım çember ile $OAB$ ve $ODC$ dik üçgenleri çizilmiştir. $A$ ve $C$ noktaları hem $OAB$ üçgeninin hem de yarım çemberin üzerindedir; $m(\widehat{AOC}) = x$ 'tir.

Buna göre

\dfrac{|AB| + |BC|}{|CD| + |DA|}

oranı $x$ cinsinden aşağıdakilerden hangisine eşittir?

İpucu

$|OA| = |OC| = 1$ . Dört uzunluğun her birini $\sin x$ , $\cos x$ , $\tan x$ ve $\sec x$ cinsinden yaz; $ODC$ ile $OAB$ üçgenlerinin benzer olduğuna dikkat et.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

$A$ ve $C$ yarım çember üzerinde olduğundan $|OA| = |OC| = 1$ .

Küçük üçgen ( $ODC$ , dik açı $D$ 'de): hipotenüs 1 olduğundan $|CD| = \sin x$ ve $|OD| = \cos x$ . Buradan $|DA| = |OA| - |OD| = 1 - \cos x$ .

Büyük üçgen ( $OAB$ , dik açı $A$ 'da): $|OA| = 1$ olduğundan $|AB| = \tan x$ ve $|OB| = \sec x$ . Buradan $|BC| = |OB| - |OC| = \sec x - 1$ .

Pay: $\tan x + \sec x - 1 = \dfrac{\sin x + 1 - \cos x}{\cos x}$ .

Payda: $\sin x + 1 - \cos x$ .

\dfrac{|AB| + |BC|}{|CD| + |DA|} = \dfrac{1}{\cos x} = \sec x

Kısa yol: $ODC$ ve $OAB$ üçgenleri benzerdir, benzerlik oranı $\dfrac{|OA|}{|OD|} = \dfrac{1}{\cos x}$ 'tir. $OAB$ üçgenindeki her uzunluk, $ODC$ üçgenindeki karşılığının $\sec x$ katıdır; $|BC|$ ile $|DA|$ da bu oranı korur. Tuzak: $|BC|$ ve $|DA|$ üçgen kenarı değil, iki uzunluğun farkıdır.

Cevap: E

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Radyan ve derece

Ölçüsü $\dfrac{2\pi}{5}$ radyan olan bir açının bütünleri kaç derecedir?

Çözüm

$\pi$ radyan $180^\circ$ olduğundan $\dfrac{2\pi}{5}$ radyan $= \dfrac{2 \cdot 180^\circ}{5} = 72^\circ$ .

Bütünler açıların toplamı $180^\circ$ 'dir: $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .

Tuzak: $72$ açının kendisidir; soru bütünlerini istiyor. Kontrol: $108^\circ = \dfrac{3\pi}{5}$ ve $\dfrac{2\pi}{5} + \dfrac{3\pi}{5} = \pi$ .

Cevap: C

Özgün soru2

Kolay

Esas ölçü

Ölçüsü $-\dfrac{43\pi}{6}$ radyan olan açının esas ölçüsü kaç radyandır?

Çözüm

Esas ölçü $[0, 2\pi)$ aralığında olmalıdır. Tam tur $2\pi = \dfrac{12\pi}{6}$ 'dır; açı negatif olduğu için sonuç pozitif olana kadar tam tur eklenir.

$-\dfrac{43\pi}{6}$ sayısına 4 tam tur ( $8\pi = \dfrac{48\pi}{6}$ ) ekle:

-\dfrac{43\pi}{6} + \dfrac{48\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}

$0 \le \dfrac{5\pi}{6} < 2\pi$ olduğundan esas ölçü $\dfrac{5\pi}{6}$ 'dır.

Tuzak: eksi işaretini atıp $\dfrac{43\pi}{6} - 6\pi = \dfrac{7\pi}{6}$ bulmak. $\dfrac{7\pi}{6}$ , pozitif yönlü $\dfrac{43\pi}{6}$ açısının esas ölçüsüdür.

Cevap: B

Özgün soru3

Kolay

İndirgeme

\sin 210^\circ \cdot \cos 300^\circ + \tan 135^\circ

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm

Her açıyı dar açıya indir; önce işaret, sonra ad.

$210^\circ = 180^\circ + 30^\circ$ : III. bölge, sinüs negatif. $\sin 210^\circ = -\sin 30^\circ = -\dfrac{1}{2}$ .
$300^\circ = 360^\circ - 60^\circ$ : IV. bölge, kosinüs pozitif. $\cos 300^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$ .
$135^\circ = 180^\circ - 45^\circ$ : II. bölge, tanjant negatif. $\tan 135^\circ = -\tan 45^\circ = -1$ .

\left(-\dfrac{1}{2}\right) \cdot \dfrac{1}{2} + (-1) = -\dfrac{1}{4} - 1 = -\dfrac{5}{4}

Tuzak: $\tan 135^\circ$ değerini $+1$ almak $\dfrac{3}{4}$ , $\sin 210^\circ$ değerini pozitif almak $-\dfrac{3}{4}$ sonucuna götürür.

Cevap: A

Özgün soru4

Orta

İndirgeme

$x$ bir dar açı olmak üzere

\dfrac{\sin(\pi - x) \cdot \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) - \cos(\pi + x) \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)}{\tan\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) \cdot \cot(\pi - x)}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

Altı ifadeyi tek tek indir: önce verilen fonksiyonun bölgedeki işareti, sonra ad ( $\dfrac{\pi}{2}$ ve $\dfrac{3\pi}{2}$ çevresinde ad değişir). Payda tanıdık bir özdeşlik çıkacak.

Çözüm

Pay.

$\sin(\pi - x) = \sin x$ (II. bölge, sinüs pozitif, ad aynı)
$\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$ (IV. bölge, kosinüs pozitif, ad değişir)
$\cos(\pi + x) = -\cos x$ (III. bölge, kosinüs negatif, ad aynı)
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ (I. bölge, sinüs pozitif, ad değişir)

Pay: $\sin x \cdot \sin x - (-\cos x) \cdot \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$ .

Payda.

$\tan\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\cot x$ (II. bölge, tanjant negatif, ad değişir)
$\cot(\pi - x) = -\cot x$ (II. bölge, kotanjant negatif, ad aynı)

Payda: $(-\cot x) \cdot (-\cot x) = \cot^2 x$ .

\dfrac{1}{\cot^2 x} = \tan^2 x

Kontrol ( $x = 45^\circ$ ): pay $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$ , payda $\tan 135^\circ \cdot \cot 135^\circ = (-1)(-1) = 1$ ; sonuç $1 = \tan^2 45^\circ$ . Bu değer B seçeneğiyle de uyuşur; $x = 30^\circ$ ile ayırt edilir: payda $\tan 120^\circ \cdot \cot 150^\circ = (-\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = 3$ , sonuç $\dfrac{1}{3} = \tan^2 30^\circ$ .

Cevap: C

Özgün soru5

Orta

Yönlü açı ve birim çember

Bir duvar saatinin yelkovanı 12 cm uzunluğundadır ve saatin merkezi etrafında dönmektedir. Saat tam 3'ü gösterirken yelkovanın ucu en üst noktadadır.

Buna göre saat 3'ü 40 dakika geçtiğinde yelkovanın ucu, saatin merkezinden geçen yatay doğruya göre nerededir?

İpucu

Yelkovan saat yönünde döner; bu, negatif yönlü bir açıdır. Başlangıç konumu (en üst nokta) standart konumda kaç derecedir?

Çözüm

Saatin merkezini orijin al. En üst nokta, standart konumda $90^\circ$ açısına karşılık gelir.

Yelkovan 60 dakikada $360^\circ$ , yani dakikada $6^\circ$ döner. 40 dakikada $240^\circ$ döner; dönme saat yönünde olduğundan yönlü açı $-240^\circ$ 'dir.

Yelkovanın yeni konumu: $90^\circ - 240^\circ = -150^\circ$ ; esas ölçüsü $-150^\circ + 360^\circ = 210^\circ$ .

Yarıçapı 12 cm olan çemberde ucun ordinatı

12 \cdot \sin 210^\circ = 12 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -6

olur. Ordinat negatif olduğundan uç, yatay doğrunun 6 cm aşağısındadır.

Kontrol: 40. dakikada yelkovan 8 rakamını gösterir; 8 rakamı kadranın sol alt bölümündedir. Tuzak: açıyı pozitif yönde almak ( $90^\circ + 240^\circ = 330^\circ$ ) yine $-6$ verir ama ucu yanlışlıkla sağ alta koyar; apsis sorulsaydı sonuç değişirdi.

Cevap: B

Özgün soru6

Zor

Temel özdeşlikler

$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ olmak üzere

\sin x - \cos x = \dfrac{1}{5}

olduğuna göre $\tan x$ kaçtır?

İpucu

Eşitliğin karesini alarak $\sin x \cdot \cos x$ çarpımını bul. Ardından $(\sin x + \cos x)^2$ ifadesini hesapla; fark ile toplamı bilirsen iki değeri de bulursun.

Çözüm

İki yanın karesini al:

\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \dfrac{1}{25} \quad\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x = 1 - \dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{25}

Toplamın karesi:

(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x = \dfrac{49}{25}

$x$ I. bölgede olduğundan toplam pozitiftir: $\sin x + \cos x = \dfrac{7}{5}$ .

Toplam ve farkı alt alta yaz:

\sin x + \cos x = \dfrac{7}{5}, \qquad \sin x - \cos x = \dfrac{1}{5}

Taraf tarafa toplanırsa $2\sin x = \dfrac{8}{5}$ , yani $\sin x = \dfrac{4}{5}$ ve $\cos x = \dfrac{3}{5}$ bulunur.

$\tan x = \dfrac{4/5}{3/5} = \dfrac{4}{3}$ .

Kontrol: $\dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{5}$ ve $\dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25} = 1$ . Tuzak: $\dfrac{3}{4}$ seçeneği sinüs ile kosinüsün yerini karıştıranlar içindir; fark pozitif olduğundan sinüs büyük olandır.

Cevap: B

Özgün soru7

Zor

Sıralama

Açı ölçüleri radyan cinsinden olmak üzere

a = \sin 1 \qquad b = \sin 2 \qquad c = \sin 3

sayıları veriliyor. Buna göre $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

$\pi \approx 3{,}14$ olduğundan $\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ 'dir. 2 ve 3 radyanlık açılar hangi bölgededir? $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ ile hepsini I. bölgeye taşı.

Çözüm

$\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ ve $\pi \approx 3{,}14$ olduğundan 1 radyan I. bölgede, 2 ve 3 radyan II. bölgededir. Üç sinüs de pozitiftir; işaretle ayıramayız, I. bölgeye indirmeliyiz.

$\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ kullan:

b = \sin 2 = \sin(\pi - 2) \approx \sin 1{,}14 \qquad c = \sin 3 = \sin(\pi - 3) \approx \sin 0{,}14

Şimdi üç açı da I. bölgededir: $0{,}14 < 1 < 1{,}14 < \dfrac{\pi}{2}$ . I. bölgede sinüs artan olduğundan

\sin 0{,}14 < \sin 1 < \sin 1{,}14

yani $c < a < b$ .

Tuzak: "açı büyüdükçe sinüs büyür" diyerek $a < b < c$ yazmak; bu yalnızca I. bölgede doğrudur. Yaklaşık değerler: $c \approx 0{,}14$ , $a \approx 0{,}84$ , $b \approx 0{,}91$ .

Cevap: D