6Konu 6 / 49
Temel Kavramlar

Oran, Orantı ve Problemler

Oranı, doğru ve ters orantıyı kurup sözel bir durumu denkleme, tabloya ve grafiğe çeviriyoruz; yüzde, kâr-zarar, karışım, hız ve iş problemlerini tek bir bakışla, "değişmeyen ne?" sorusuyla çözüyoruz.

9. sınıf
AYT sıklığı
65 dk

LevhaOran, Orantı ve ProblemlerOran, Orantı ve Problemler

Odanın duvarı için aradığın yeşili buldun: $2$ kutu mavi ile $3$ kutu sarı boya karışınca tam o renk çıkıyor. Bütün duvar için toplam $20$ kutu boya gerekiyor. “Yarı yarıya olsun, $10$ mavi $10$ sarı” dersen renk tutmaz. Rengi tutturan şey kutuların sayısı değil, birbirine oranıdır. Kaç kutu mavi alacaksın?

Isınma

Başlamadan: kesir, yüzde ve denklem

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir sayının

\dfrac{3}{4}

‘ü

18

ise bu sayı kaçtır?

Açıklama

$\dfrac{3x}{4} = 18$ ise $3x = 72$ ve $x = 24$ . Kısaca: üç parça $18$ ise bir parça $6$ , dört parça $24$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

2(x - 3) = x + 5

denklemini sağlayan

x

kaçtır?

Açıklama

$2x - 6 = x + 5$ olur. $x$ ‘leri sola, sayıları sağa topla: $x = 11$ . Ayrıntısı Denklemler ve Eşitsizlikler sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\dfrac{3}{5}

kesri yüzde kaça eşittir?

Açıklama

Yüzde, paydası $100$ olan kesirdir: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{60}{100} = \%60$ .

Temel

Oran, orantı ve denklem kurma

Oran

İki çokluğu karşılaştırmanın iki yolu var: farkına bakmak ya da birini diğerine bölmek. Boya örneğinde işe yarayan ikincisi: mavi, sarının $\dfrac{2}{3}$ ‘ü kadar.

Oran bir kesir gibi sadeleşir ve genişler. $2 : 3$ oranı, $4 : 6$ ya da $8 : 12$ ile aynıdır. Bu yüzden “mavinin sarıya oranı $\dfrac{2}{3}$ ” cümlesi miktarları değil, miktarların biçimini verir: mavi $2k$ , sarı $3k$ .

Oran

2 : 3

ise mavi

2k

, sarı

3k

kutudur. Toplam

20

kutu olduğundan

k = 4

Kancadaki sorunun yanıtı şeritte: $5k = 20$ , $k = 4$ . Mavi $2k = 8$ kutu, sarı $3k = 12$ kutu.

Örnek

kolay

Orandan miktara: k ile yazmak

Bir sınıftaki kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı $\dfrac{3}{5}$ ‘tir. Sınıfta $32$ öğrenci olduğuna göre erkek öğrenci sayısı kaçtır?

Oran yalnızca biçimi verir; miktarları bir $k$ sayısıyla yaz, çünkü $\dfrac{3k}{5k} = \dfrac{3}{5}$ her $k$ için doğrudur. Kız $3k$ , erkek $5k$ .

Elindeki tek miktar bilgisi toplam: $3k + 5k = 32$ . Buradan $8k = 32$ ve $k = 4$ .

İstenen erkek sayısı: $5k = 5 \cdot 4$ . Sağlama: kız $12$ , erkek $20$ ; $\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$ ve $12 + 20 = 32$ .

Sonuç

Sınıfta $20$ erkek öğrenci vardır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir boya karışımında mavinin sarıya oranı

\dfrac{2}{3}

‘tür.

15

kutu sarı boya için kaç kutu mavi boya gerekir?

Açıklama

Sarı $3k = 15$ ise $k = 5$ ; mavi $2k = 10$ kutu.

Orantı

Küçük kovada $2$ mavi $3$ sarı, büyük kovada $8$ mavi $12$ sarı var. İki kovada renk aynı, çünkü iki oran eşit. İki oranın eşitliğine orantı denir.

Son özellik nereden geliyor? $a = bk$ ve $c = dk$ yazınca $a + c = k(b + d)$ olur. Aynı nedenle $\dfrac{2a + 3c}{2b + 3d}$ de $k$ ‘ye eşittir.

Örnek

kolay

Üçlü orantıda k yöntemi

$\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{5}$ ve $2a + b - c = 15$ olduğuna göre $a + b + c$ kaçtır?

Üç oranın ortak değerine $k$ de. Böylece üç bilinmeyen tek bilinmeyene iner: $a = 3k$ , $b = 4k$ , $c = 5k$ .

Verilen eşitliğe yerleştir: $2 \cdot 3k + 4k - 5k = 15$ . Sol taraf $5k$ olduğundan $k = 3$ .

İstenen toplam $3k + 4k + 5k = 12k$ ‘dir. $k = 3$ için $36$ . Sağlama: $a = 9$ , $b = 12$ , $c = 15$ ve $18 + 12 - 15 = 15$ .

Sonuç

$a + b + c = 36$

Doğru orantı

Mavi kutu sayısını iki katına çıkarırsan sarı da iki katına çıkmalı. Biri hangi sayıyla çarpılırsa diğeri de aynı sayıyla çarpılıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır.

Sahnede yatay eksen mavi, düşey eksen sarı kutu sayısı. Noktayı doğru üzerinde sürükle: $(2, 3)$ , $(4, 6)$ , $(6, 9)$ … Göstergedeki $\dfrac{y}{x}$ değeri hiç değişmiyor. $k$ sürgüsüyle tarifi değiştirdiğinde doğru orijin çevresinde dönüyor ama orijinden hiç ayrılmıyor.

Doğru orantının grafiği orijinden geçen bir doğrudur; eğimi orantı sabitidir.

Günlük örnekler: aynı üründen alınan miktar ile ödenen tutar, sabit hızla gidilen süre ile alınan yol, bir haritadaki uzunluk ile gerçek uzunluk.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdakilerin hangisinde

y

x

ile doğru orantılıdır?

Açıklama

Doğru orantının ölçütü birlikte artmak değil, $\dfrac{y}{x}$ oranının sabit kalmasıdır. Yalnızca $y = 4x$ için $\dfrac{y}{x} = 4$ her zaman aynıdır.

Ters orantı

Bir işi daha çok işçi yaparsa iş daha kısa sürede biter. İşçi sayısı iki katına çıkınca süre yarıya iniyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır.

Sahnede $24$ işçi-günlük bir iş var: yatay kenar işçi sayısı, düşey kenar gün sayısı. Dikdörtgenin köşesini sürükle: $2$ işçi $12$ gün, $4$ işçi $6$ gün, $8$ işçi $3$ gün. Dikdörtgen uzuyor ya da basıklaşıyor ama alanı hep $24$ ; köşe bir eğri çiziyor.

Ters orantıda çarpım sabittir: köşesi

y = \dfrac{24}{x}

eğrisinde gezen dikdörtgenin alanı hep

24

Örnek

kolay

İşçi sayısı ve süre

Aynı hızda çalışan $6$ işçi bir bahçeyi $12$ günde düzenliyor. Aynı bahçeyi, aynı hızda çalışan $9$ işçi kaç günde düzenler?

Önce orantının türünü belirle. İşçi artınca gün azalır ve iş aynı kalır; bu ters orantıdır, yani işçi sayısı ile gün sayısının çarpımı sabittir.

Sabit çarpımı hesapla: $6 \cdot 12 = 72$ . Bu sayı işin büyüklüğüdür: $72$ işçi-gün.

Aynı iş $9$ işçiye paylaştırılır: $9 \cdot x = 72$ , $x = 8$ . İşçi sayısı $\dfrac{3}{2}$ katına çıktı, süre $\dfrac{2}{3}$ katına indi.

Sonuç

$9$ işçi bahçeyi $8$ günde düzenler.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x

ile

y

ters orantılıdır.

x = 4

iken

y = 9

olduğuna göre

x = 6

iken

y

kaçtır?

Açıklama

$x \cdot y = 4 \cdot 9 = 36$ sabittir. $x = 6$ için $y = \dfrac{36}{6} = 6$ .

Altın oran

Bir doğru parçasını öyle iki parçaya böl ki bütünün büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşit olsun. Bu özel orana altın oran denir; değeri yaklaşık $1{,}618$ ‘dir.

Altın dikdörtgenden bir kare ayırınca kalan küçük dikdörtgen, büyüğünün küçültülmüş hâlidir.

Düzgün beşgende köşegenin kenara oranı altın orandır. $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$ biçiminde süren Fibonacci dizisinde ardışık terimlerin oranı da bu sayıya yaklaşır: $\dfrac{13}{8} = 1{,}625$ ve $\dfrac{21}{13} \approx 1{,}615$ . Ayçiçeğinin tohum sarmallarını saydığında çoğunlukla bu dizinin ardışık iki terimini bulursun. Programda altın oran yalnızca tanıtılır; onunla hesap yapman beklenmez.

Sözel ifadeden denkleme

Problem çözmenin ilk adımı Türkçeyi cebire çevirmektir: bilinmeyene bir harf ver, cümleyi sırasıyla işleme dök. Sözcüklerin sırası işlemlerin sırasını belirler.

Sözel ifade	Cebirsel ifade
Bir sayının $2$ katının $5$ eksiği	$2x - 5$
Bir sayının $5$ eksiğinin $2$ katı	$2(x - 5)$
Bir sayının yarısının $4$ fazlası	$\dfrac{x}{2} + 4$
Yaşı $x$ olan birinin $3$ yıl önceki yaşı	$x - 3$
Bir paranın $\dfrac{1}{3}$ ‘ü harcanınca kalan	$\dfrac{2x}{3}$

Örnek

kolay

Kalanın kesri

Elif harçlığının önce $\dfrac{1}{3}$ ‘ünü kitaba, sonra kalan parasının $\dfrac{1}{4}$ ‘ünü yemeğe harcıyor. Geriye $60$ TL kaldığına göre Elif’in harçlığı kaç TL’dir?

Harçlığa $x$ de. $\dfrac{1}{3}$ ‘ü harcanınca geriye $\dfrac{2}{3}$ ‘ü kalır: $\dfrac{2x}{3}$ .

İkinci harcama harçlığın değil, kalanın $\dfrac{1}{4}$ ‘üdür. Kalanın $\dfrac{3}{4}$ ‘ü elde kalır:

$\dfrac{2x}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{x}{2}$

Elde kalan para $60$ TL’dir: $\dfrac{x}{2} = 60$ , $x = 120$ . Sağlama: $120$ ‘nin $\dfrac{1}{3}$ ‘ü $40$ , kalan $80$ ; $80$ ‘in $\dfrac{1}{4}$ ‘ü $20$ , kalan $60$ .

Sonuç

Elif’in harçlığı $120$ TL’dir.

Aynı durum üç dille anlatılabilir: denklemle (cebirsel), tabloyla (sayısal) ve grafikle. İki internet tarifesini karşılaştıralım. A tarifesi: aylık $40$ TL sabit ücret ve kullanılan her GB için $6$ TL. B tarifesi: $100$ TL sabit ücret ve her GB için $2$ TL. $x$ GB kullanan biri A’da $40 + 6x$ , B’de $100 + 2x$ TL öder.

Kullanım (GB)	$5$	$10$	$15$	$20$
A tarifesi (TL)	$70$	$100$	$130$	$160$
B tarifesi (TL)	$110$	$120$	$130$	$140$

Sahnede iki tarifenin doğrusu var. $x$ sürgüsünü gezdir: düşey çizgi iki doğruyu kestiği yerlerde iki faturayı okuyor. $15$ GB’de faturalar eşit; solunda A doğrusu altta, sağında B doğrusu altta. Sabit ücret doğrunun başladığı yüksekliği, GB ücreti dikliğini belirliyor.

İki tarife

15

GB'de aynı faturayı verir:

130

TL. Daha fazla kullanımda B daha ucuzdur.

Örnek

kolay

Hangi tarife ne zaman ucuz: eşitsizlik kurmak

Yukarıdaki tarifelerde, ayda tam sayı GB kullanan biri için B tarifesinin A tarifesinden daha ucuz olması için kullanım en az kaç GB olmalıdır?

“Daha ucuz” sözü bir eşitsizliktir: B’nin faturası A’nınkinden küçük olmalı.

$100 + 2x < 40 + 6x$

$x$ ‘leri bir yana topla: $60 < 4x$ , yani $x > 15$ . Tam $15$ GB’de faturalar eşittir; “daha ucuz” koşulunu sağlamaz.

$15$ ‘ten büyük en küçük tam sayı $16$ ‘dır. Sağlama: $16$ GB için A $136$ TL, B $132$ TL.

Sonuç

Kullanım en az $16$ GB olmalıdır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir anne

42

, kızı

12

yaşındadır. Kaç yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının

3

katı olur?

Açıklama

$x$ yıl sonra ikisi de $x$ yaş büyür: $42 + x = 3(12 + x)$ . Buradan $42 + x = 36 + 3x$ , $x = 3$ . Sağlama: $45 = 3 \cdot 15$ .

Orta

Yüzde, karışım, hız ve iş problemleri

Yüzde: toplamak yok, çarpmak var

Yüzde, paydası $100$ olan orandır. Bir çokluğun $\%20$ artması, onun $\dfrac{120}{100}$ katına çıkması demektir. Yüzde değişimlerini çarpan olarak düşünmek hesabı tek adıma indirir.

Sahnede $100$ birimlik bir fiyat sütunu var. Zam sürgüsünü $\%20$ ‘ye getir: sütun $120$ oluyor. Şimdi indirim sürgüsünü de $\%20$ yap: indirim, büyümüş sütunun beşte birini kesiyor ve geriye $96$ kalıyor. İki yüzde aynı ama uygulandıkları tutar farklı.

\%20

zam, ardından

\%20

indirim:

100 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 96

Örnek

orta

Zammı geri alan indirim

Bir ürünün fiyatına $\%25$ zam yapılıyor. Ürünün zamlı fiyatı üzerinden yüzde kaç indirim yapılırsa fiyat zamdan önceki değerine döner?

İlk fiyat verilmemiş; gerek de yok, çünkü çarpanlar fiyattan bağımsızdır. İlk fiyata $x$ de. Zamdan sonra $1{,}25x$ olur.

İndirim çarpanına $c$ de. Fiyatın başa dönmesi $1{,}25x \cdot c = x$ demektir. Neden çarpanı arıyoruz? Çünkü indirim $1{,}25x$ üzerinden hesaplanır, $x$ üzerinden değil.

$c = \dfrac{1}{1{,}25} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$ . Çarpanın $0{,}8$ olması, fiyatın $\%20$ azalması demektir.

Sonuç

Zamlı fiyat üzerinden $\%20$ indirim yapılmalıdır ( $\%25$ değil).

Kâr ve zarar

Alım-satım problemlerinde üç tutar vardır: malın satıcıya maliyeti (alış fiyatı), üzerine yazılan etiket fiyatı ve müşterinin ödediği satış fiyatı.

Örnek

orta

Etiket, indirim ve gerçek kâr

Bir mağaza, maliyeti $800$ TL olan bir montun etiket fiyatını $\%50$ kâr edecek biçimde belirliyor. Sezon sonunda mont, etiket fiyatı üzerinden $\%30$ indirimle satılıyor. Mağaza bu satıştan yüzde kaç kâr etmiştir?

Etiket fiyatı maliyetin $1{,}5$ katıdır, çünkü kâr maliyet üzerinden hesaplanır: $800 \cdot 1{,}5 = 1200$ TL.

İndirim etiket üzerinden yapılır; taban artık $1200$ ‘dür: $1200 \cdot 0{,}7 = 840$ TL. Bu, satış fiyatıdır.

Kâr $840 - 800 = 40$ TL’dir. Yüzdesi için yeniden maliyete dön: $\dfrac{40}{800} = \dfrac{5}{100}$ . Kısa yol: $1{,}5 \cdot 0{,}7 = 1{,}05$ .

Sonuç

Mağaza $\%5$ kâr etmiştir ( $50 - 30 = 20$ değil).

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Maliyeti

200

TL olan bir ürün

250

TL’ye satılıyor. Kâr yüzdesi kaçtır?

Açıklama

Kâr $50$ TL, maliyet $200$ TL: $\dfrac{50}{200} = \dfrac{25}{100} = \%25$ .

Karışım

Tuzlu su, şerbet, alaşım: hepsinde bir madde bir karışımın içinde dağılmıştır. ” $\%10$ tuzlu su” demek, karışımın her $100$ gramında $10$ gram tuz var demektir.

Sahnede iki kap var: $\%10$ tuzlu $300$ gram ve $\%40$ tuzlu $200$ gram su; tuz tanecikleri kaplarda yüzüyor. “Karıştır” düğmesine bas: tanecikler tek kapta toplanıyor ve gösterge $\%22$ yazıyor. Miktar sürgülerini oynat: karışımın yüzdesi her zaman $10$ ile $40$ arasında kalıyor ve miktarı çok olan kaba daha yakın duruyor.

Örnek

orta

İki tuzlu suyu karıştırmak

Tuz oranı $\%10$ olan $300$ gram tuzlu su ile tuz oranı $\%40$ olan $200$ gram tuzlu su karıştırılıyor. Yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

Yüzdelerle değil gramlarla çalış, çünkü karıştırınca toplanan şey tuzun kendisidir. Birinci kapta $300 \cdot \dfrac{10}{100} = 30$ gram, ikinci kapta $200 \cdot \dfrac{40}{100} = 80$ gram tuz var.

Toplamları al: tuz $30 + 80 = 110$ gram, karışım $300 + 200 = 500$ gram.

Yeni oran, toplam tuzun toplam karışıma oranıdır: $\dfrac{110}{500} = \dfrac{22}{100}$ . Sonuç $10$ ile $40$ arasında ve miktarı çok olan $\%10$ ‘luk karışıma daha yakın; beklenen de bu.

Sonuç

Yeni karışımın tuz oranı $\%22$ ‘dir ( $\%25$ ya da $\%50$ değil).

Karışımın yüzdesi bir denge noktasıdır:

300 \cdot (22 - 10) = 200 \cdot (40 - 22)

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Şeker oranı

\%30

olan

200

gram şerbete

100

gram su ekleniyor. Yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?

Açıklama

Şeker $200 \cdot \dfrac{30}{100} = 60$ gramdır ve değişmez. Karışım $300$ gram olur: $\dfrac{60}{300} = \%20$ .

Hız ve hareket

Hız, birim zamanda alınan yoldur. Hızı değişmeyen bir hareketli için alınan yol, geçen süreyle doğru orantılıdır.

Birim dönüşümü bir orandır: $1$ km $= 1000$ m ve $1$ saat $= 3600$ saniye olduğundan

$1\ \text{km/sa} = \dfrac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{sn}} = \dfrac{5}{18}\ \text{m/sn}$

Örneğin $72$ km/sa $= 72 \cdot \dfrac{5}{18} = 20$ m/sn. Tersine giderken $\dfrac{18}{5}$ ile çarp: $10$ m/sn $= 36$ km/sa.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

90

km/sa kaç m/sn’dir?

Açıklama

$90 \cdot \dfrac{5}{18} = 25$ m/sn. Denetle: saniyede $25$ metre, saatte $25 \cdot 3600 = 90\,000$ metre eder.

Sahnede üstte bir yol şeridi, altta yol-zaman grafiği var. A kentinden çıkan araç saatte $70$ km, $360$ km ötedeki B kentinden çıkan araç saatte $50$ km hızla birbirine doğru geliyor. “Oynat” düğmesine bas: araçlar şeritte ilerlerken grafikte iki doğru çiziliyor. Araçların karşılaştığı an, doğruların kesiştiği andır. Hız sürgülerini değiştir; doğruların dikliği ve kesişim yeri değişiyor.

Yol-zaman grafiğinde doğrunun dikliği hızdır; kesişim noktası buluşma anını ve yerini verir.

Örnek

orta

Karşılıklı yola çıkan iki araç

Aralarında $360$ km yol bulunan A ve B kentlerinden iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. A’dan çıkan aracın hızı $70$ km/sa, B’den çıkanın hızı $50$ km/sa’tir. Araçlar kaç saat sonra, A kentinden kaç km uzakta karşılaşır?

Araçlar birbirine doğru geldiği için aradaki uzaklık her saat $70 + 50 = 120$ km azalır. Tek tek konum hesaplamak yerine bu yaklaşma hızını kullanmak işi tek bölmeye indirir.

Kapanacak uzaklık $360$ km’dir: $t = \dfrac{360}{120} = 3$ saat.

A’dan çıkan araç bu sürede $70 \cdot 3 = 210$ km gider. Sağlama: diğeri $50 \cdot 3 = 150$ km gider ve $210 + 150 = 360$ .

Sonuç

Araçlar $3$ saat sonra, A kentinden $210$ km uzakta karşılaşır.

İş problemleri

Bir işi $6$ günde bitiren usta, her gün işin $\dfrac{1}{6}$ ‘sını yapar. İş problemlerinde hız budur: birim zamanda yapılan iş. İşin tamamı $1$ alınır.

Sahnede bir iş çubuğu var. Ali her gün çubuğun $\dfrac{1}{6}$ ‘sını, Berk $\dfrac{1}{3}$ ‘ünü dolduruyor. “Gün” sürgüsünü ilerlet: birlikte çalışırken her gün çubuğun yarısı doluyor ve iş $2$ günde bitiyor. Düğmelerle birini çıkar; tek başına kalanın çubuğu ne kadar yavaş doldurduğunu izle.

Örnek

orta

Sonradan katılan usta

Bir duvarı Ali tek başına $12$ günde, Berk tek başına $6$ günde örebiliyor. İşe Ali başlıyor; $3$ gün tek başına çalıştıktan sonra Berk de katılıyor ve duvarı birlikte bitiriyorlar. Duvarın tamamı kaç günde örülmüştür?

Günlük işleri yaz: Ali günde duvarın $\dfrac{1}{12}$ ‘sini, Berk $\dfrac{1}{6}$ ‘sını örer.

Ali’nin tek başına geçirdiği $3$ günde biten kısım $3 \cdot \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{4}$ ‘tür. Geriye duvarın $\dfrac{3}{4}$ ‘ü kalır.

Birlikte günde $\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ kadar iş yaparlar. Kalan $\dfrac{3}{4}$ için gereken süre $\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{4} = 3$ gündür.

Sonuç

Duvar toplam $3 + 3 = 6$ günde örülmüştür.

İleri

Sınav düzeyi: ortalama hız, birleşik durumlar, rutin olmayan problemler

Ortalama hız

Yolun bir bölümünü yavaş, bir bölümünü hızlı gittiysen yolculuğun tek bir sayıyla özetlenen hızı ortalama hızdır. Bu sayı, aynı yolu aynı sürede sabit hızla giden hayali bir aracın hızıdır.

Sahnede bir araç $180$ km’lik yolu saatte $60$ km hızla gidiyor, saatte $90$ km hızla dönüyor. Grafikte alınan toplam yol zamana karşı çiziliyor: önce yatık, sonra dik bir parça. Kesikli doğru başlangıcı bitişe bağlıyor; eğimi $72$ . Dönüş hızı sürgüsünü artır: kesikli doğru dikleşiyor ama $75$ ‘e ulaşması için dönüş hızının $100$ olması gerekiyor.

Örnek

zor

Gidiş 60, dönüş 90

Bir sürücü iki kent arasındaki yolu $60$ km/sa sabit hızla gidip aynı yoldan $90$ km/sa sabit hızla dönüyor. Sürücünün bütün yolculuktaki ortalama hızı kaç km/sa’tir?

Yolun uzunluğu verilmemiş; ona $x$ km de. Ortalama hız için toplam yol ve toplam süre gerekir. Toplam yol $2x$ ‘tir.

Süreleri ayrı ayrı yaz, çünkü iki yönde hız farklı: gidiş $\dfrac{x}{60}$ saat, dönüş $\dfrac{x}{90}$ saat.

$\dfrac{x}{60} + \dfrac{x}{90} = \dfrac{3x + 2x}{180} = \dfrac{x}{36}$

Toplam yolu toplam süreye böl: $2x : \dfrac{x}{36} = 72$ . Görüldüğü gibi $x$ sadeleşti; sonuç yolun uzunluğuna bağlı değil.

Sayıyla sağlama: yol $180$ km olsun. Gidiş $3$ saat, dönüş $2$ saat; $\dfrac{360}{5} = 72$ .

Sonuç

Ortalama hız $72$ km/sa’tir ( $75$ değil).

Araç yavaş gittiği bölümde daha uzun süre kalır; bu yüzden ortalama hız, hızların ortalamasından küçüktür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir araç

2

saat

50

km/sa, ardından

3

saat

80

km/sa hızla gidiyor. Bu

5

saatteki ortalama hızı kaç km/sa’tir?

Açıklama

Toplam yol $2 \cdot 50 + 3 \cdot 80 = 340$ km, toplam süre $5$ saat: $\dfrac{340}{5} = 68$ km/sa.

Birden çok çokluk aynı anda değişirse

İşçi sayısı, günlük çalışma saati ve gün sayısı birlikte değişiyorsa oranları tek tek kurmak yerine “birim iş” düşün. Yapılan iş, işçi sayısı ile toplam çalışma süresinin çarpımıyla doğru orantılıdır.

Örnek

zor

İşçi, saat, gün ve iş birlikte

Aynı hızda çalışan $8$ işçi günde $6$ saat çalışarak $15$ günde $240$ metre yol döşüyor. Aynı hızda çalışan $10$ işçi günde $8$ saat çalışarak $320$ metre yolu kaç günde döşer?

Harcanan emeği tek bir sayıyla ölç: işçi $\cdot$ saat $\cdot$ gün. İlk durumda $8 \cdot 6 \cdot 15 = 720$ işçi-saat harcanmış.

Emek, döşenen yolla doğru orantılıdır. $240$ metre için $720$ işçi-saat gerekiyorsa $1$ metre için $3$ işçi-saat gerekir; $320$ metre için $320 \cdot 3 = 960$ işçi-saat.

İkinci ekip günde $10 \cdot 8 = 80$ işçi-saat çalışır. Gün sayısı: $\dfrac{960}{80} = 12$ .

Akıl yürüterek denetle: iş $\dfrac{4}{3}$ katına çıktı (süreyi uzatır), günlük emek $48$ ‘den $80$ ‘e, yani $\dfrac{5}{3}$ katına çıktı (süreyi kısaltır). $15 \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = 12$ .

Sonuç

$10$ işçi yolu $12$ günde döşer.

Değişmeyeni bul

Karışık görünen problemlerde çoğu zaman bir çokluk değişmez: buharlaşmada tuz miktarı, yaş problemlerinde yaş farkı, paylaşımda toplam. Denklemi o çokluk üzerine kur.

Örnek

zor

Laboratuvarda buharlaştırma

Bir laboratuvarda tuz oranı $\%20$ olan $400$ gram tuzlu su ısıtılıyor. Tuz oranının $\%32$ olması için karışımdan kaç gram su buharlaştırılmalıdır?

Buharlaşan yalnızca sudur; tuz kapta kalır. Değişmeyen çokluk tuz miktarıdır: $400 \cdot \dfrac{20}{100} = 80$ gram.

$x$ gram su buharlaşırsa karışım $400 - x$ gram olur. Aynı $80$ gram tuz bu kez karışımın $\%32$ ‘sidir:

$\dfrac{80}{400 - x} = \dfrac{32}{100}$

İçler dışlar çarpımı: $32(400 - x) = 8000$ , $400 - x = 250$ , $x = 150$ . Sağlama: $\dfrac{80}{250} = \dfrac{32}{100}$ .

Sonuç

$150$ gram su buharlaştırılmalıdır.

Rutin olmayan problemler

Bazı sorular hiçbir kalıba uymaz; hazır formül yoktur. İşe yarayan stratejiler: değişmeyen bir toplam ya da fark bulmak, en kısıtlı koşuldan başlamak, olasılıkları düzenli biçimde sıralayıp elemek, sondan başa doğru gitmek.

Örnek

zor

Kutulu işlemde gizli toplam

$1, 2, 3, 4, 5$ ve $6$ sayılarının her biri aşağıdaki kutulara birer kez yazılıyor ve işlemin sonucu $3$ çıkıyor.

$\square + \square + \square - \square - \square - \square = 3$

Buna göre çıkarılan üç sayının çarpımı en çok kaç olabilir?

Deneme yanılmaya girmeden önce değişmeyeni bul: hangi sayı hangi kutuya gelirse gelsin altı sayının toplamı $1 + 2 + \dots + 6 = 21$ ‘dir.

Çıkarılan üç sayının toplamına $s$ de. Toplanan üç sayının toplamı $21 - s$ olur. İşlemin sonucu: $(21 - s) - s = 3$ , buradan $s = 9$ .

Toplamı $9$ olan farklı üç sayıyı düzenli sırala: en küçüğü $1$ ise $\{1, 2, 6\}$ ve $\{1, 3, 5\}$ ; en küçüğü $2$ ise $\{2, 3, 4\}$ . En küçüğü $3$ olursa toplam en az $3 + 4 + 5 = 12$ eder; başka seçenek yok.

Çarpımlar: $1 \cdot 2 \cdot 6 = 12$ , $1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$ , $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ . Sağlama: $1 + 5 + 6 - 2 - 3 - 4 = 3$ .

Sonuç

Çarpım en çok $24$ olabilir.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Oran $\dfrac{a}{b}$ miktarı değil biçimi verir: $a = 2k$ , $b = 3k$ diye yaz. Orantı iki oranın eşitliğidir; $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k$ ise $ad = bc$ ve $\dfrac{a + c}{b + d} = k$ .
Doğru orantı: $y = kx$ , oran sabit, grafik orijinden geçen doğru. Ters orantı: $x \cdot y = k$ , çarpım sabit.
Sözel ifadeyi denkleme çevirirken sözcük sırasını izle; “daha ucuz, en az, en çok” bir eşitsizliktir.
Yüzde: $\%p$ artış $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$ , azalış $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$ çarpanıdır; art arda değişimler çarpılır. Kâr ve zarar yüzdesi maliyet üzerinden hesaplanır.
Karışım: madde miktarları toplanır, yüzdeler toplanmaz; yeni yüzde iki yüzdenin arasında kalır.
Hız: $x = v \cdot t$ ; $1$ km/sa $= \dfrac{5}{18}$ m/sn. Karşılıklı harekette hızlar toplanır, aynı yönde çıkarılır. Ortalama hız $= \dfrac{\text{toplam yol}}{\text{toplam süre}}$ .
İş: $a$ günde biten işin günlüğü $\dfrac{1}{a}$ ; birlikte çalışanların günlük işleri toplanır.
Kalıba uymayan soruda değişmeyeni ara: toplam, fark, madde miktarı.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

2 çıkmış soru7 özgün soru

2025 AYTSoru 1

Kolay

Rutin olmayan problem

Şekildeki kutulara $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ ve $9$ sayıları, her kutuya farklı bir sayı gelecek biçimde yazıldığında bütün eşitlikler sağlanıyor.

Buna göre $A + B$ toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

En az seçeneği olan satırlardan başla.

1. Çarpma ve bölme satırları. Çarpımı $12$ olan ikililer $\{2, 6\}$ ve $\{3, 4\}$ 'tür. Bölümü $2$ olan (bölünen, bölen) ikilileri $(4, 2)$ , $(6, 3)$ ve $(8, 4)$ 'tür.

Çarpma satırına $3$ ile $4$ yazılırsa bölme ikililerinin üçü de $3$ ya da $4$ 'ü yeniden kullanır; olamaz. Öyleyse çarpma satırı $2$ ile $6$ 'dır. Bu durumda bölme satırı için yalnızca $8 \div 4 = 2$ kalır: $A = 8$ .

2. Kalan sayılar. Geriye $3, 5, 7, 9$ kalır. Toplamı $12$ olan ikili $\{3, 9\}$ ya da $\{5, 7\}$ 'dir. $\{5, 7\}$ toplama satırına yazılırsa çıkarma satırına $9$ ile $3$ kalır; farkları $6$ 'dır, uymaz. Demek ki toplama satırı $3 + 9$ , çıkarma satırı $7 - 5 = 2$ 'dir: $B = 7$ .

$A + B = 8 + 7 = 15$

Sağlama: $2 \cdot 6 = 12$ , $8 \div 4 = 2$ , $3 + 9 = 12$ , $7 - 5 = 2$ ; sekiz sayının hepsi birer kez kullanıldı.

Cevap: C

2019 AYTSoru 2

Kolay

Denklem kurma

$1, 2, 3, 4, 5, 6$ ve $7$ sayılarının hepsi, aralarında toplama ya da çıkarma işareti bulunan şekildeki $7$ kutuya, her kutuya bir sayı gelecek biçimde yazılıyor. Elde edilen işlemin sonucu $4$ oluyor.

Buna göre $A \cdot B$ çarpımı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Değişmeyeni bul. Sayılar hangi kutuya yazılırsa yazılsın yedisinin toplamı $1 + 2 + \dots + 7 = 28$ 'dir.

2. Denklemi kur. Çıkarılan iki sayının toplamı $A + B = s$ olsun. Toplanan beş sayının toplamı $28 - s$ olur ve işlemin sonucu

$(28 - s) - s = 4$

eşitliğini verir. Buradan $2s = 24$ , $s = 12$ .

3. Sayıları belirle. $1$ 'den $7$ 'ye kadar olan sayılardan toplamı $12$ eden farklı iki sayı yalnızca $5$ ve $7$ 'dir ( $6 + 6$ olamaz, sayılar birer kez kullanılır).

$A \cdot B = 5 \cdot 7 = 35$

Sağlama: $1 + 2 + 3 + 4 + 6 - 5 - 7 = 4$ .

Tuzak: kutulara tek tek sayı denemek. Hangi sayının hangi boş kutuya geldiği sorulmuyor; yalnızca çıkarılanların toplamı gerekiyor.

Cevap: E

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Orantının özellikleri

$a$ , $b$ ve $c$ pozitif gerçek sayıları için

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4} \qquad \dfrac{b}{c} = \dfrac{2}{5}$

ve $a + b + c = 68$ veriliyor.

Buna göre $c$ kaçtır?

Çözüm

İki oranda ortak olan terim $b$ 'dir; önce $b$ 'yi iki oranda aynı sayıyla göster.

$a : b = 3 : 4$ ve $b : c = 2 : 5 = 4 : 10$ . Artık $b$ iki oranda da $4$ parçadır:

$a : b : c = 3 : 4 : 10$

$a = 3k$ , $b = 4k$ , $c = 10k$ yazılır. $3k + 4k + 10k = 68$ olduğundan $17k = 68$ , $k = 4$ ve $c = 10k = 40$ .

Sağlama: $a = 12$ , $b = 16$ , $c = 40$ ; $\dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}$ , $\dfrac{16}{40} = \dfrac{2}{5}$ ve toplam $68$ .

Çeldiriciler: $12$ ve $16$ sırasıyla $a$ ve $b$ 'nin değerleridir; istenen $c$ 'dir.

Cevap: D

Özgün soru2

Kolay

Sabit hız ve birim dönüşümü

Bir araç $54$ km/sa sabit hızla ilerlemektedir.

Buna göre bu araç $40$ saniyede kaç metre yol alır?

Çözüm

Süre saniye, istenen yol metre cinsindendir; önce hızı m/sn'ye çevir.

$54\ \text{km/sa} = 54 \cdot \dfrac{5}{18} = 15\ \text{m/sn}$

Sabit hızda yol $=$ hız $\cdot$ zaman: $15 \cdot 40 = 600$ metre.

Başka yoldan: araç $1$ saatte ( $3600$ sn) $54\,000$ m gider. $40$ saniye, saatin $\dfrac{40}{3600} = \dfrac{1}{90}$ 'ıdır; $\dfrac{54\,000}{90} = 600$ m.

Çeldiriciler: $2160$ birim çevirmeden $54 \cdot 40$ çarpılınca, $1350$ ise $54\,000$ doğrudan $40$ 'a bölününce çıkar.

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Kâr ve zarar

Bir manav aldığı çileğin $\dfrac{2}{5}$ 'ini $\%30$ kârla, kalanını $\%10$ zararla satıyor.

Buna göre manav çileklerin tamamının satışından yüzde kaç kâr etmiştir?

İpucu

Çileklerin toplam maliyetine kolay bölünen bir değer ver (örneğin $100$ TL) ve iki bölümün satış gelirini ayrı ayrı hesapla.

Çözüm

Kâr ve zarar yüzdeleri maliyet üzerinden hesaplanır. Çileklerin toplam maliyeti $100$ TL olsun.

1. Birinci bölüm. Maliyeti $100 \cdot \dfrac{2}{5} = 40$ TL. $\%30$ kârla satış: $40 \cdot 1{,}3 = 52$ TL.

2. İkinci bölüm. Maliyeti $60$ TL. $\%10$ zararla satış: $60 \cdot 0{,}9 = 54$ TL.

3. Toplam. Gelir $52 + 54 = 106$ TL, maliyet $100$ TL. Kâr $6$ TL, yani $\%6$ .

Başka yoldan: kâr $40 \cdot 0{,}3 = 12$ TL, zarar $60 \cdot 0{,}1 = 6$ TL; net kâr $12 - 6 = 6$ TL.

Çeldiriciler: $\%20$ yüzdeleri doğrudan çıkarınca ( $30 - 10$ ), $\%10$ bu farkı ikiye bölünce çıkar. İki bölümün maliyeti eşit değildir; yüzdeler kendi tabanlarıyla çarpılmalıdır.

Cevap: B

Özgün soru4

Orta

Grafik yorumlama ve hareket

Aynı yerden aynı yöne doğru sabit hızlarla giden $K$ ve $L$ araçlarının yol-zaman grafikleri şekilde verilmiştir. Yatay eksen $K$ aracının yola çıkışından sonra geçen süreyi saat olarak ( $t$ ), düşey eksen araçların başlangıç noktasına uzaklığını kilometre olarak ( $y$ ) göstermektedir. $L$ aracı, $K$ aracından $1$ saat sonra yola çıkmıştır.

$K$ 'nin grafiği $(2, 120)$ , $L$ 'nin grafiği $(2, 80)$ noktasından geçmektedir.

Buna göre $L$ aracı $K$ aracına yetiştiğinde araçlar başlangıç noktasından kaç km uzaktadır?

İpucu

Her doğrunun eğimi o aracın hızıdır. $L$ yola çıktığı anda $K$ ne kadar öndedir ve aradaki uzaklık saatte kaç km kapanır?

Çözüm

1. Hızları grafikten oku. $K$ aracı $2$ saatte $120$ km gitmiştir: hızı $60$ km/sa. $L$ aracı $t = 1$ 'de çıkmış, $t = 2$ 'de $80$ km'dedir; $1$ saatte $80$ km gitmiştir: hızı $80$ km/sa.

2. Aradaki uzaklık. $L$ yola çıktığında $K$ $60$ km öndedir. Aynı yönde gittikleri için uzaklık her saat $80 - 60 = 20$ km kapanır: $\dfrac{60}{20} = 3$ saat.

3. Yetişme yeri. $L$ bu $3$ saatte $80 \cdot 3 = 240$ km gider.

Denklemle sağlama: $60t = 80(t - 1)$ , $20t = 80$ , $t = 4$ ve $60 \cdot 4 = 240$ km.

Çeldiriciler: $180$ , $K$ 'nin yalnızca son $3$ saatte aldığı yoldur ( $60 \cdot 3$ ); $320$ ise $L$ 'nin hızı $4$ saatle çarpılınca çıkar, oysa $L$ $3$ saat yol almıştır.

Cevap: C

Özgün soru5

Zor

Ortalama hız

Bir sürücü iki kent arasındaki yolun ilk yarısını $40$ km/sa sabit hızla gitmiştir. Sürücü, yolun tamamındaki ortalama hızının $60$ km/sa olmasını istemektedir.

Buna göre sürücü yolun ikinci yarısını kaç km/sa sabit hızla gitmelidir?

İpucu

Ortalama hız, hızların ortalaması değildir. Yolun yarısına bir harf ver; toplam yolu ve toplam süreyi bu harfle yaz.

Çözüm

Yolun yarısı $d$ km, aranan hız $v$ km/sa olsun.

1. Toplam süreyi iki yoldan yaz. Ortalama hız $60$ km/sa olacaksa $2d$ km'lik yol $\dfrac{2d}{60} = \dfrac{d}{30}$ saat sürmelidir. Öte yandan süre, iki yarının sürelerinin toplamıdır: $\dfrac{d}{40} + \dfrac{d}{v}$ .

2. Eşitle. $d$ sadeleşir:

$\dfrac{1}{40} + \dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{30} \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{v} = \dfrac{4 - 3}{120} = \dfrac{1}{120}$

$v = 120$ km/sa.

Sayıyla sağlama: yolun yarısı $120$ km olsun. İlk yarı $3$ saat, ikinci yarı $1$ saat sürer; $\dfrac{240}{4} = 60$ km/sa.

Tuzak: $\dfrac{40 + v}{2} = 60$ yazıp $80$ bulmak. Bu ancak iki bölümün süreleri eşitken doğru olurdu; burada eşit olan yollardır ve sürücü yavaş bölümde daha uzun süre kalmıştır.

Cevap: D

Özgün soru6

Zor

İş problemleri

Bir işi Ayla tek başına $20$ günde, Ayla ile Banu birlikte $12$ günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte işe başlıyor; $4$ gün birlikte çalıştıktan sonra Ayla işten ayrılıyor.

Buna göre Banu kalan işi tek başına kaç günde bitirir?

İpucu

Önce Banu'nun bir günde yaptığı işi bul: birlikte yapılan günlük işten Ayla'nınkini çıkar. Sonra $4$ günde işin ne kadarının bittiğine bak.

Çözüm

İşin tamamı $1$ olsun.

1. Banu'nun günlük işi. Birlikte günde işin $\dfrac{1}{12}$ 'sini, Ayla tek başına $\dfrac{1}{20}$ 'sini yapar. Fark Banu'nundur:

$\dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{5 - 3}{60} = \dfrac{1}{30}$

2. Birlikte geçen 4 gün. $4 \cdot \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{3}$ iş biter; geriye $\dfrac{2}{3}$ kalır.

3. Kalan iş. Banu günde $\dfrac{1}{30}$ yapar: $\dfrac{2}{3} : \dfrac{1}{30} = 20$ gün.

Sağlama: $4 \cdot \dfrac{1}{12} + 20 \cdot \dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1$ .

Çeldiriciler: $8$ , kalan gün sayısını birlikte çalışma süresinden bulunca çıkar ( $12 - 4$ ); ancak Ayla ayrıldığı için iş yavaşlar. $24$ ise $12$ günün iki katı alınınca çıkar; Banu'nun hızı ikisinin hızının yarısı değildir.

Cevap: D

Özgün soru7

Orta

Karışım

Şeker oranı $\%40$ olan $150$ gram şerbet ile şeker oranı $\%x$ olan $250$ gram şerbet karıştırıldığında şeker oranı $\%25$ olan bir karışım elde ediliyor.

Buna göre $x$ kaçtır?

İpucu

Yüzdeleri değil şeker miktarlarını (gram) topla. Karışımın toplam miktarı ve şeker oranı belli; içindeki şekeri hesaplayabilirsin.

Çözüm

Karıştırınca toplanan şey şeker miktarıdır.

1. Karışımdaki toplam şeker. Karışım $150 + 250 = 400$ gramdır ve $\%25$ 'i şekerdir: $400 \cdot \dfrac{25}{100} = 100$ gram.

2. Birinci şerbetteki şeker. $150 \cdot \dfrac{40}{100} = 60$ gram.

3. İkinci şerbetteki şeker. $100 - 60 = 40$ gram. Bu, $250$ gramın $\%x$ 'idir:

$250 \cdot \dfrac{x}{100} = 40 \quad\Longrightarrow\quad x = 16$

Denge yoluyla sağlama: $150 \cdot (40 - 25) = 2250$ ve $250 \cdot (25 - 16) = 2250$ .

Çeldirici: $10$ , yüzdelerin düz ortalaması alınınca çıkar ( $\dfrac{40 + x}{2} = 25$ ). Miktarlar eşit olmadığı için ortalama, miktarı çok olan şerbete daha yakındır.

Cevap: C