1Konu 1 / 49
Temel Kavramlar

Mantık

Önermeyi ve doğruluk değerini, ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak bağlaçlarını, De Morgan kurallarını, koşullu önermenin karşıt tersini ve niceleyicileri kuruyoruz; bileşik önermenin doğru ya da yanlış olmasından bileşenleri bulmayı öğreniyoruz.

9. sınıf
AYT sıklığı
50 dk

LevhaMantıkMantık

Baban söz verdi: “Sınavı kazanırsan sana telefon alacağım.” Sınavı kazanamadın ama telefon yine de geldi. Baban sözünü bozmuş mu oldu? Bu sözle ilgili dört durum var ve yalnızca birinde “söz bozuldu” diyebilirsin. Sahnedeki “Sınavı kazandın” ve “Telefon alındı” düğmeleriyle dört durumu gez ve hangisinde lambanın söndüğünü bul; bu sayfa o tek karonun mantığını kuruyor.

Isınma

Başlamadan: sayılar ve kümeler

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdaki sayılardan hangisi asal değildir?

Açıklama

$51 = 3 \cdot 17$ olduğundan asal değildir (rakamları toplamı $6$ , yani $3$ ile bölünür). Tek olması bir sayıyı asal yapmaz.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

A = \{1, 2, 3\}

B = \{3, 4\}

kümeleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Açıklama

$A \cap B = \{3\}$ ve $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$ . Kesişim “ikisinde de”, birleşim “en az birinde” demektir; bu iki sözcük birazdan “ve” ile “veya” olarak karşına çıkacak.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

a

b

gerçek sayıları için

a < 0

a + b = 0

ise

b

için ne söylenir?

Açıklama

$a + b = 0$ ise $b = -a$ . Negatif bir sayının ters işaretlisi pozitiftir.

Temel

Önerme, değil, ve, veya, ya da

Önerme ve doğruluk değeri

Bir cümle için “doğru mu, yanlış mı?” diye sorabiliyorsan ve yanıt kişiden kişiye değişmiyorsa o cümle bir önermedir. “Kapıyı kapat” ya da “Ne güzel bir gün!” için bu soru sorulamaz.

Örneğin $p$ : " $2 + 3 = 5$ " için $p \equiv 1$ ; $q$ : “Bir hafta $8$ gündür” için $q \equiv 0$ . Bir önerme aynı anda hem doğru hem yanlış olamaz.

Örnek

kolay

Hangisi önerme?

Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi önermedir?

I. İstanbul, Türkiye’nin başkentidir.
II. Bugün hava ne güzel!
III. $3 + 4 < 5$
IV. $x + 2 = 7$
V. Bir yılda $12$ ay vardır.

Her ifade için “kesin olarak doğru ya da yanlış denebilir mi?” diye sor. I yanlıştır (başkent Ankara), V doğrudur; ikisi de kesin hüküm bildirdiği için önermedir. Yanlış olmak önerme olmaya engel değildir.

III de önermedir: $7 < 5$ kesin olarak yanlıştır, doğruluk değeri $0$ .

II bir duygu bildirir; doğru ya da yanlış denemez. IV ise $x$ bilinmeden değerlendirilemez: $x = 5$ için doğru, $x = 1$ için yanlış olur. Bu yüzden ikisi de önerme değildir.

Sonuç

I, III ve V önermedir: $3$ tane.

Sahnede iki lamba var: soldaki $p$ , sağdaki $p'$ . $p$ düğmesine her bastığında lambalardan biri yanıp öteki sönüyor; ikisi hiçbir zaman aynı anda yanmıyor. “Değilini al” düğmesine iki kez bas: başladığın yere dönersin, çünkü $(p')' \equiv p$ .

Denklik anlam benzerliği değildir, yalnızca doğruluk değerine bakar: " $2 + 2 = 4$ " ile “Bir gün $24$ saattir” önermeleri denktir, çünkü ikisi de doğrudur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

p

: "

2 + 2 = 5

" önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$p \equiv 0$ . Seçeneklerden yalnızca " $3^2 = 6$ " yanlıştır ( $3^2 = 9$ ). İki önerme de $0$ değerini aldığı için denktir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

p

: "

7 < 4

" önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

” $7$ , $4$ ‘ten küçüktür” hükmünün olumsuzu ” $7$ , $4$ ‘ten küçük değildir”, yani $7 \geq 4$ . Burada $p \equiv 0$ ve $p' \equiv 1$ .

Bileşik önerme: ve, veya, ya da

Günlük dilde cümleleri bağlaçlarla birleştirirsin: “Hem ödevimi yaptım hem kitap okudum.” Mantıkta da önermeler bağlaçlarla birleşir ve yeni önermenin doğruluk değeri yalnızca bileşenlerin değerlerine bağlıdır.

Bir bileşik önermenin bütün durumlardaki değerini gösteren tabloya doğruluk tablosu denir.

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \veebar q$
$1$	$1$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Aynı dört durum, üç bağlaç:

\land

tek karoyu,

\lor

üç karoyu,

\veebar

iki karoyu doğru yapar.

Sahnedeki pano bu tablonun kendisi: satırlar $p$ , sütunlar $q$ . Bağlacı “ve”, “veya”, “ya da” arasında değiştir ve yanan karoları say: $1$ , $3$ , $2$ . Sonra $p$ ve $q$ düğmeleriyle işaretçiyi gezdir; işaretçinin durduğu karo, o durumda bileşik önermenin değerini gösterir.

Tabloda neden dört satır var? Her önerme için iki olasılık vardır; her yeni önerme durum sayısını ikiye katlar.

n

önerme için

2^n

durum: iki önermede

4

, üç önermede

8

satır.

Örnek

kolay

Bileşik önermenin doğruluk değeri

$p$ : ” $17$ asal sayıdır.”, $q$ : " $2^5 = 10$ ", $r$ : “Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı $180^\circ$ ‘dir.”

Buna göre $(p \land q') \veebar r$ önermesinin doğruluk değeri kaçtır?

Önce bileşenlerin değerlerini bul, çünkü bileşik önerme yalnızca bunlara bakar. $17$ asaldır: $p \equiv 1$ . $2^5 = 32$ olduğundan $q \equiv 0$ . Üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ ‘dir: $r \equiv 1$ .

Parantezin içinden başla. $q \equiv 0$ ise $q' \equiv 1$ olur; $p \land q' \equiv 1 \land 1 \equiv 1$ .

Geriye $1 \veebar r \equiv 1 \veebar 1$ kaldı. “Ya da” yalnızca biri doğruyken doğrudur; burada ikisi de doğru.

Sonuç

$(p \land q') \veebar r \equiv 0$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

p \equiv 1

q \equiv 0

olduğuna göre aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur?

Açıklama

$p \veebar q \equiv 1 \veebar 0 \equiv 1$ : yalnızca biri doğru. Ötekiler sırasıyla $1 \land 0$ , $0 \lor 0$ ve $0 \land 1$ olduğundan yanlıştır.

Şimdi tabloyu tersinden oku: bileşik önermenin değeri verilirse bileşenler bulunabilir mi? “Ve” doğruysa evet, çünkü tabloda doğru olan tek satır vardır.

Örnek

kolay

Sonuçtan bileşenlere: ilk adım

$p \land q'$ önermesi doğru olduğuna göre $p \veebar q$ ve $p' \lor q$ önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla kaçtır?

“Ve” ile kurulan önerme yalnızca iki bileşeni de doğruyken doğrudur. Demek ki $p \equiv 1$ ve $q' \equiv 1$ .

$q' \equiv 1$ ise $q \equiv 0$ . Artık iki önermenin de değeri belli: $p \equiv 1$ , $q \equiv 0$ .

Yerine yaz: $p \veebar q \equiv 1 \veebar 0 \equiv 1$ (yalnızca biri doğru). $p' \lor q \equiv 0 \lor 0 \equiv 0$ (ikisi de yanlış).

Sonuç

Sırasıyla $1$ ve $0$ .

Orta

Kurallar: De Morgan, ise, ancak ve ancak

Bağlaçların özellikleri

Doğruluk tablolarını her seferinde yeniden yazmak yerine, tablodan bir kez okunan kuralları kullanırsın. Aşağıdakilerin her biri iki tarafın tablosu karşılaştırılarak doğrulanır.

Kural

Ve, veya, ya da bağlaçlarının özellikleri

Tek kuvvet: $p \land p \equiv p$ , $p \lor p \equiv p$
Değişme: $p \land q \equiv q \land p$ , $p \lor q \equiv q \lor p$ , $p \veebar q \equiv q \veebar p$
Birleşme: $(p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r)$ ; $\lor$ için de aynı
Dağılma: $p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)$ ve $p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$
Sabitlerle: $p \land 1 \equiv p$ , $p \land 0 \equiv 0$ , $p \lor 1 \equiv 1$ , $p \lor 0 \equiv p$
Değille: $p \land p' \equiv 0$ , $p \lor p' \equiv 1$ , $p \veebar p \equiv 0$ , $p \veebar p' \equiv 1$

Neden $p \land 0 \equiv 0$ ? “Ve” iki bileşenin de doğru olmasını ister; biri kesin yanlışsa $p$ ne olursa olsun sonuç yanlıştır. Neden $p \lor p' \equiv 1$ ? $p$ ile $p'$ önermelerinden biri mutlaka doğrudur.

De Morgan kuralları

“Ali hem çalışkan hem dürüsttür” cümlesine itiraz etmek için ikisini birden çürütmen gerekmez; birinin yanlış olması yeter. Değil, parantezin içine girerken bağlacı çevirir.

İlk kuralın doğruluk tablosu: üçüncü ve son sütun her satırda aynıdır.

$p$	$q$	$(p \land q)'$	$p'$	$q'$	$p' \lor q'$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$

p \land q

panosunun tersi ile

p' \lor q'

panosu aynı üç karoda doğrudur.

Sahnede iki pano yan yana: solda $(p \land q)'$ , sağda $p' \lor q'$ . “Değilini al” düğmesine bas; soldaki panoda karolar ters dönüyor ve iki pano birebir aynı oluyor. Kuralı “veya” tarafına çevir: bu kez $(p \lor q)'$ ile $p' \land q'$ aynı tek karoda yanar.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

”Deniz kitap okur ve müzik dinler.” önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$(p \land q)' \equiv p' \lor q'$ . İkisini birlikte yapmadığını söylemek için birini yapmaması yeter.

Örnek

orta

Dağılma ve De Morgan ile sadeleştirme

$[\,p \lor (p' \land q)\,]'$ önermesinin en sade biçimi nedir?

Değili hemen içeri dağıtmak yerine önce köşeli parantezin içini sadeleştir; içeride $p$ ile $p'$ var ve dağılma bunları yan yana getirir. $\lor$ bağlacını $\land$ üzerine dağıt:

$p \lor (p' \land q) \equiv (p \lor p') \land (p \lor q)$

$p \lor p' \equiv 1$ ve $1 \land (p \lor q) \equiv p \lor q$ . Köşeli parantezin içi $p \lor q$ önermesine denktir.

Şimdi değili al. De Morgan: $(p \lor q)' \equiv p' \land q'$ .

Sonuç

$[\,p \lor (p' \land q)\,]' \equiv p' \land q'$

Koşullu önerme

Kancadaki söze dönelim. $p$ : “Sınavı kazanırsın”, $q$ : “Telefon alınır”. Söz, ” $p$ ise $q$ ” biçimindedir ve yalnızca sınavı kazandığın hâlde telefon alınmazsa bozulur.

Söz yalnızca bir durumda bozulur: koşul gerçekleşti ama sonuç gelmedi.

Sınavı kazanamadıysan baban sözünün koşulunu yerine getirmek zorunda kalmamıştır; telefon alsa da almasa da söz bozulmaz. Bu yüzden $0 \Rightarrow 1$ ve $0 \Rightarrow 0$ doğrudur.

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$p'$	$p' \lor q$
$1$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$

Üçüncü ve beşinci sütun aynı. İkinci eşitlik bundan De Morgan ile çıkar: $(p' \lor q)' \equiv p \land q'$ . Yani “söz bozuldu” demek “kazandın ve telefon alınmadı” demektir.

Sahnede $p \Rightarrow q$ panosu ile $p' \lor q$ panosu yan yana. $p$ ve $q$ düğmeleriyle dört durumu gez: iki pano hep aynı karoda aynı rengi gösteriyor ve yalnızca ” $p \equiv 1$ , $q \equiv 0$ ” karosu sönük. $p$ düğmesini kapalı tut: $q$ ne olursa olsun karo yanıyor.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdaki koşullu önermelerden hangisi yanlıştır?

Açıklama

Yanlış olan tek durum $1 \Rightarrow 0$ : ” $2$ asal” doğru, ” $4$ asal” yanlış. Ötekiler sırasıyla $0 \Rightarrow 1$ , $1 \Rightarrow 1$ ve $0 \Rightarrow 0$ olduğundan doğrudur.

Örnek

orta

Yanlış bir koşullu önerme ne söyler?

$a$ ve $b$ sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere

$p: a \cdot b > 0 \qquad q: a + b > 0$

önermeleri veriliyor. $p \Rightarrow q$ önermesi yanlış olduğuna göre $a$ ve $b$ sayılarının işaretleri nedir?

“Yanlış” bilgisi çok değerlidir, çünkü koşullu önermenin yanlış olduğu tek durum vardır: $p \equiv 1$ ve $q \equiv 0$ . Doğru olsaydı üç durumu ayrı ayrı düşünmek gerekirdi.

$p \equiv 1$ : $a \cdot b > 0$ , yani $a$ ile $b$ aynı işaretlidir (ikisi de pozitif ya da ikisi de negatif).

$q \equiv 0$ : $a + b > 0$ yanlıştır, yani $a + b \leq 0$ . İkisi de pozitif olsaydı toplam pozitif olurdu; bu durum elenir.

Sonuç

$a$ ve $b$ sayılarının ikisi de negatiftir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(p \Rightarrow q)'

önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?

Açıklama

$p \Rightarrow q \equiv p' \lor q$ olduğundan De Morgan ile $(p' \lor q)' \equiv p \land q'$ . Koşullu önermenin değili bir koşullu önerme değil, bir “ve” önermesidir.

Karşıt, ters, karşıt ters

Bir koşullu önermeden, bileşenlerin yerini değiştirerek ya da değillerini alarak üç yeni koşullu önerme kurulur.

Çaprazdakiler denktir: koşullu önerme ile karşıt tersi, karşıtı ile tersi.

Sahnede dört pano var: koşullu önerme, karşıtı, tersi ve karşıt tersi. Listeden birini seç; onunla aynı karoları yakan pano birlikte parlar. $p \Rightarrow q$ ile $q' \Rightarrow p'$ aynı deseni verir; karşıt ile ters de kendi aralarında aynıdır. Ama $p \Rightarrow q$ ile $q \Rightarrow p$ desenleri farklıdır.

Örnek

orta

Bir teoremin karşıtı, tersi, karşıt tersi

“Bir üçgen eşkenar ise ikizkenardır.” önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yaz; hangilerinin doğru olduğunu belirle.

Bileşenleri adlandır: $p$ : “Üçgen eşkenardır”, $q$ : “Üçgen ikizkenardır”. Verilen önerme $p \Rightarrow q$ biçimindedir ve doğrudur, çünkü üç kenarı eş olan üçgenin en az iki kenarı eştir.

Karşıt tersi $q' \Rightarrow p'$ : “Bir üçgen ikizkenar değilse eşkenar değildir.” Koşullu önermeye denk olduğu için ayrıca düşünmeden doğrudur.

Karşıtı $q \Rightarrow p$ : “Bir üçgen ikizkenar ise eşkenardır.” Kenarları $5$ , $5$ , $6$ olan üçgen ikizkenardır ama eşkenar değildir; karşıt yanlıştır.

Tersi $p' \Rightarrow q'$ : “Bir üçgen eşkenar değilse ikizkenar değildir.” Ters, karşıta denktir; aynı $5$ , $5$ , $6$ üçgeni bunu da çürütür.

Sonuç

Önermenin kendisi ve karşıt tersi doğru; karşıtı ve tersi yanlıştır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

p' \Rightarrow q

önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Yer değiştir ve ikisinin de değilini al: öncül $q'$ olur, sonuç $(p')' \equiv p$ olur.

İki yönlü koşullu önerme

“Bir sayı çifttir ancak ve ancak $2$ ile bölünür” cümlesi iki söz birden verir: çiftse bölünür, bölünüyorsa çifttir. Hem $p \Rightarrow q$ hem $q \Rightarrow p$ aynı anda söylenmiştir.

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$q \Rightarrow p$	$(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$	$p \Leftrightarrow q$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$

İki koşullu önermenin ikisinde de doğru olan karolar

p \Leftrightarrow q

panosunu verir.

Sahnede $p \Rightarrow q$ ve $q \Rightarrow p$ panoları saydam iki katman olarak üst üste iniyor. “Katmanları birleştir” sürgüsünü çek: yalnızca iki katmanda da yanan karolar parlak kalıyor. Kalan desen köşegendir: $p$ ile $q$ aynı değerdeyken doğru. “Ya da” panosunu aç; tam ters deseni görürsün.

Son gözlem bir kural verir: $p \Leftrightarrow q$ değerler aynıyken, $p \veebar q$ değerler farklıyken doğrudur; yani $(p \Leftrightarrow q)' \equiv p \veebar q$ .

Örnek

orta

İki koşullu önermeyi birlikte sadeleştirme

$(p \Rightarrow q) \land (p \Rightarrow q')$ önermesinin en sade biçimi nedir?

“İse” bağlacıyla doğrudan işlem yapılamaz; önce iki koşullu önermeyi de “veya” ile yaz: $p \Rightarrow q \equiv p' \lor q$ ve $p \Rightarrow q' \equiv p' \lor q'$ .

İki parantezde de $p'$ ortak. Dağılma özelliğini tersinden kullan:

$(p' \lor q) \land (p' \lor q') \equiv p' \lor (q \land q')$

$q \land q' \equiv 0$ , çünkü bir önerme ile değili aynı anda doğru olamaz. $p' \lor 0 \equiv p'$ .

Sonuç

$(p \Rightarrow q) \land (p \Rightarrow q') \equiv p'$ . Bir önerme hem $q$ önermesini hem değilini gerektiriyorsa o önerme yanlıştır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

p \Leftrightarrow q

önermesi yanlış ve

q \equiv 1

olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Açıklama

$p \Leftrightarrow q \equiv 0$ ise değerler farklıdır: $q \equiv 1$ , $p \equiv 0$ . O hâlde $q \Rightarrow p \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0$ .

İleri

Sınav kalıpları, niceleyiciler, teorem ve ispat

Bileşik önermeden bileşenlere

Sınav sorusu sana üç önerme ve bunlardan kurulmuş tek bir bileşik önerme verir; “doğru” ya da “yanlış” olduğunu söyler. İşin, $8$ durumdan hangisinde olduğunu bulmaktır.

Üç önermede durumlar bir küpün $8$ küçük küpüne yerleşir: eksenler $p$ , $q$ , $r$ . Listeden bir bileşik önerme seç; doğru olduğu küpler yanar. $(p \land q) \Rightarrow r$ için tek bir küp sönük kalıyor: $p \equiv 1$ , $q \equiv 1$ , $r \equiv 0$ . “Yanlış olduğuna göre” diyen soru, o tek küpü tarif eder. Küpü döndürüp öteki önermeleri de dene.

Örnek

zor

Üç dairenin ışıkları

Bir apartmanın $1$ , $2$ ve $3$ numaralı daireleri için şu önermeler veriliyor:

$p$ : ” $1$ numaralı dairenin ışığı yanıyor.”
$q$ : ” $2$ numaralı dairenin ışığı yanıyor.”
$r$ : ” $3$ numaralı dairenin ışığı yanıyor.”

$(p' \Rightarrow q) \lor (r \Rightarrow p)$ önermesi yanlış olduğuna göre hangi dairelerin ışığı yanıyor?

En dıştaki bağlaç “veya” ve önerme yanlış. “Veya” yalnızca iki bileşeni de yanlışken yanlıştır: $p' \Rightarrow q \equiv 0$ ve $r \Rightarrow p \equiv 0$ .

$p' \Rightarrow q \equiv 0$ ise öncül doğru, sonuç yanlıştır: $p' \equiv 1$ ve $q \equiv 0$ . Yani $p \equiv 0$ , $q \equiv 0$ .

$r \Rightarrow p \equiv 0$ ise $r \equiv 1$ ve $p \equiv 0$ . Bu, önceki adımda bulduğumuz $p \equiv 0$ ile uyumlu; çelişki yok.

Sözel dile çevir: $p \equiv 0$ ve $q \equiv 0$ olduğundan $1$ ve $2$ numaralı dairelerin ışığı yanmıyor; $r \equiv 1$ olduğundan $3$ numaralı dairenin ışığı yanıyor.

Sonuç

Yalnızca $3$ numaralı dairenin ışığı yanıyor.

Örnek

zor

Önermelerden iki basamaklı sayıya

İki basamaklı bir $AB$ doğal sayısı için

$p$ : ” $AB$ sayısı $5$ ile tam bölünür.”
$q$ : " $A > B$ "
$r$ : " $A + B = 9$ "

önermeleri veriliyor. $(p \land q') \Rightarrow r'$ önermesi yanlış olduğuna göre $AB$ sayısı kaçtır?

Koşullu önerme yanlış: öncül doğru, sonuç yanlış. $p \land q' \equiv 1$ ve $r' \equiv 0$ .

“Ve” doğruysa iki bileşeni de doğrudur: $p \equiv 1$ ve $q' \equiv 1$ , yani $q \equiv 0$ . Ayrıca $r' \equiv 0$ olduğundan $r \equiv 1$ . Değil işaretlerini bu adımda tek tek çözmek, en sık yapılan hatayı önler.

Önermeleri sayı diline çevir. $p$ doğru: $B = 0$ ya da $B = 5$ . $r$ doğru: $A + B = 9$ ; buradan $AB$ sayısı $90$ ya da $45$ olur.

$q$ yanlış: " $A > B$ " sağlanmamalı, yani $A \leq B$ . $90$ için $9 > 0$ olduğundan $q$ doğru çıkar; elenir. $45$ için $4 \leq 5$ ; uygundur.

Sonuç

$AB = 45$

Niceleyiciler: her ve bazı

Çözümlü ilk örnekte " $x + 2 = 7$ " ifadesi önerme değildi, çünkü doğruluğu $x$ sayısına bağlıydı. İçinde değişken bulunan ve değişkenin değerine göre doğru ya da yanlış olan böyle ifadelere açık önerme denir; $p(x)$ ile gösterilir. Başına “her $x$ için” ya da “bazı $x$ için” gelince artık kesin bir hüküm bildirir, yani önerme olur.

Sözel ile sembolik arasında gidip gelmek bu konunun asıl becerisidir:

Sözel	Sembolik	Değer
Her gerçek sayının karesi negatif değildir.	$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$	$1$
Karesi $2$ olan en az bir rasyonel sayı vardır.	$\exists x \in \mathbb{Q},\ x^2 = 2$	$0$
Bazı tam sayıların karesi kendisine eşittir.	$\exists x \in \mathbb{Z},\ x^2 = x$	$1$
Her doğal sayı kendisinin iki katından küçüktür.	$\forall x \in \mathbb{N},\ x < 2x$	$0$

Son satır neden yanlış? $x = 0$ için $0 < 0$ sağlanmaz. “Her” ile başlayan bir önermeyi çürütmek için tek bir eleman yeter; bu elemana aksine örnek denir.

Sahnede $1$ ‘den $20$ ‘ye kadar sayılar birer karo. Bir açık önerme seç (” $x$ asaldır”, " $x^2 \geq x$ ", " $x > 20$ "); onu doğru yapan karolar yanar. Üstteki $\forall$ lambası yalnızca bütün karolar yanınca, $\exists$ lambası en az bir karo yanınca yanar. Sönük kalan tek bir karo bile $\forall$ lambasını söndürür: o karo aksine örnektir.

'Her asal sayı tektir' önermesini tek bir sayı çürütür:

2

asaldır ve çifttir.

Örnek

zor

Kulüp üyeliği: sözelden sembole

Bir sınıftaki öğrencilerin kümesi $K$ ve $p(x)$ : ” $x$ öğrencisi en az bir kulübe üyedir” olsun. Sınıftaki $24$ öğrenciden $23$ ‘ü bir kulübe üyedir.

“Sınıftaki her öğrenci en az bir kulübe üyedir.” önermesini ve değilini sembolik olarak yaz; değilini sözel olarak ifade et ve doğruluk değerlerini bul.

“Her öğrenci” evrensel niceleyicidir ve öğrenciler $K$ kümesinden seçilir: $\forall x \in K,\ p(x)$ .

Değilini alırken iki şey değişir: $\forall$ yerine $\exists$ gelir ve $p(x)$ yerine $p'(x)$ yazılır: $\exists x \in K,\ p'(x)$ .

Sözel karşılığı: “Sınıfta hiçbir kulübe üye olmayan en az bir öğrenci vardır.” Buradaki “hiçbir” sözcüğü $p'(x)$ ifadesine aittir (“en az bir kulübe üyedir”in değili); niceleyici ise “en az bir öğrenci”dir.

$24$ öğrenciden biri üye değil. Bu öğrenci ilk önerme için aksine örnektir: $\forall x \in K,\ p(x) \equiv 0$ . Aynı öğrenci değili doğru yapar: $\exists x \in K,\ p'(x) \equiv 1$ .

Sonuç

Önerme: $\forall x \in K,\ p(x)$ (yanlış). Değili: $\exists x \in K,\ p'(x)$ (doğru).

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 > 0

" önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Açıklama

$x = 0$ için $0^2 > 0$ sağlanmaz. Değili olan " $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 \leq 0$ " önermesi doğrudur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

”Bazı öğrenciler ödevini yapmıştır.” önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$[\exists x,\ p(x)]' \equiv \forall x,\ p'(x)$ : “Her öğrenci ödevini yapmamıştır”, yani “Hiçbir öğrenci ödevini yapmamıştır.”

Tanım, aksiyom, teorem, ispat

Matematikte her cümlenin bir görevi vardır. Kimi bir sözcüğün ne demek olduğunu söyler, kimi kanıtlanmadan kabul edilir, kimi kanıtlanması gerekir.

Teoremler çoğunlukla $p \Rightarrow q$ biçimindedir. Verilen kısım olan $p$ önermesine hipotez, gösterilecek kısım olan $q$ önermesine hüküm denir. “Bir üçgen ikizkenar ise taban açıları eştir” teoreminde hipotez “üçgenin ikizkenar olması”, hüküm “taban açılarının eş olması”dır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

”Bir dörtgen dikdörtgen ise köşegenlerinin uzunlukları eşittir.” teoreminin hipotezi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

“İse” bağlacından önceki kısım hipotez ( $p$ ), sonraki kısım hükümdür ( $q$ ).

Örnek

zor

Örnek vermek ispat mıdır?

Selin, “Her $n$ doğal sayısı için $n^2 + n + 41$ sayısı asaldır.” önermesini sınıyor. $n = 0, 1, 2, 3$ için $41$ , $43$ , $47$ , $53$ buluyor; hepsi asal. “Önermeyi ispatladım.” diyor.

Selin haklı mı? Önerme doğru mu?

Önerme “her” ile başlıyor: $\forall n \in \mathbb{N}$ . Dört (ya da dört yüz) doğal sayıda tutması, bütün doğal sayılarda tutacağını göstermez. Örnek vermek ispat değildir; Selin haklı değil.

Önermeyi çürütmek içinse tek bir aksine örnek yeter. İfadeyi $41$ çarpanı çıkacak biçimde yazmayı dene: $n^2 + n + 41 = n(n + 1) + 41$ . $n + 1 = 41$ olursa iki terimde de $41$ bulunur.

$n = 40$ için: $40 \cdot 41 + 41 = 41 \cdot (40 + 1) = 41 \cdot 41 = 1681$ . Bu sayı $41$ ile bölünür ve $41$ ‘den büyüktür; asal değildir.

Sonuç

Önerme yanlıştır; $n = 40$ bir aksine örnektir. Değili doğrudur: $\exists n \in \mathbb{N}$ , $n^2 + n + 41$ asal değildir.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Önerme: doğru ( $1$ ) ya da yanlış ( $0$ ) kesin hüküm. Değil: $p'$ ; $(p')' \equiv p$ . Denk: doğruluk değerleri aynı.
$p \land q$ yalnızca $1 \land 1$ iken doğru; $p \lor q$ yalnızca $0 \lor 0$ iken yanlış; $p \veebar q$ değerler farklıyken doğru. $n$ önerme için $2^n$ durum.
De Morgan: $(p \land q)' \equiv p' \lor q'$ , $(p \lor q)' \equiv p' \land q'$ .
Koşullu önerme: $p \Rightarrow q$ yalnızca $1 \Rightarrow 0$ iken yanlış. $p \Rightarrow q \equiv p' \lor q \equiv q' \Rightarrow p'$ ; $(p \Rightarrow q)' \equiv p \land q'$ .
Karşıt $q \Rightarrow p$ , ters $p' \Rightarrow q'$ , karşıt ters $q' \Rightarrow p'$ . Karşıt, önermenin kendisine denk değildir.
$p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$ : değerler aynıyken doğru.
Geriye doğru okuma: “ve” doğruysa, “veya” yanlışsa, “ise” yanlışsa tek durum kalır.
$[\forall x,\ p(x)]' \equiv \exists x,\ p'(x)$ ve $[\exists x,\ p(x)]' \equiv \forall x,\ p'(x)$ . “Her” önermesini tek aksine örnek çürütür.
Teorem $p \Rightarrow q$ : $p$ hipotez, $q$ hüküm. Aksiyom ispatsız kabul edilir; örnek vermek ispat değildir.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

9 çıkmış soru7 özgün soru

2026 AYTSoru 10

Orta

Veya bağlacının yanlış olması

$a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları için şu üç önerme tanımlanıyor:

$p$ : $a$ sayısı bir irrasyonel sayıdır.
$q$ : $a \cdot b$ sayısı bir rasyonel sayıdır.
$r$ : $\dfrac{c}{b}$ sayısı bir tam sayıdır.

$(p' \Rightarrow q) \lor r'$ önermesi yanlış olduğuna göre $a$ , $b$ ve $c$ sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir?

İpucu

"Veya" yanlışsa iki parça da yanlıştır. Üç değil işaretini tek tek çöz ve üç koşulu sözel olarak yaz; sonra seçenekleri sırayla ele.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. "Veya" yanlış. $(p' \Rightarrow q) \equiv 0$ ve $r' \equiv 0$ .

2. Bileşenler. $p' \Rightarrow q$ yanlışsa $p' \equiv 1$ ve $q \equiv 0$ ; yani $p \equiv 0$ , $q \equiv 0$ . $r' \equiv 0$ ise $r \equiv 1$ .

3. Sözel koşullar. $a$ irrasyonel değildir (rasyoneldir); $a \cdot b$ rasyonel değildir (irrasyoneldir); $\dfrac{c}{b}$ tam sayıdır.

4. Seçenekleri ele.

A ve E: $a$ irrasyoneldir ( $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ ); elenir.
B: $a \cdot b = 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ rasyoneldir; elenir.
C: $a \cdot b = 4\sqrt{27} = 12\sqrt{3}$ irrasyoneldir, ama $\dfrac{c}{b} = \dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{27}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \dfrac{5}{3}$ tam sayı değildir; elenir.
D: $a = \dfrac{1}{2}$ rasyonel, $a \cdot b = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$ irrasyonel, $\dfrac{c}{b} = \sqrt{\dfrac{54}{6}} = \sqrt{9} = 3$ tam sayı. Üç koşul da sağlanır.

Tuzak: $p'$ öncüldür; doğru olması $p$ önermesinin yanlış olması demektir. $p$ önermesini doğru alırsan A ve E seçeneklerine yönelirsin.

Cevap: D

2025 AYTSoru 9

Orta

Koşullu önermenin değili

$A$ , $B$ ve $C$ doğal sayılar kümesinin alt kümeleridir. Bu kümeler için

$p: 9 \in A \cup B \qquad q: 9 \in A \cap C \qquad r: 9 \notin C$

önermeleri tanımlanıyor. $(p \Rightarrow q)' \land r'$ önermesinin doğru olduğu biliniyor.

I. $9 \in A$
II. $9 \in B$
III. $9 \in C$

Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

İpucu

$(p \Rightarrow q)'$ doğruysa $p \Rightarrow q$ yanlıştır; bu da tek bir duruma karşılık gelir. $r$ önermesinin kendisi olumsuz bir cümledir, değilini alırken dikkat et.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. "Ve" doğru. $(p \Rightarrow q)' \equiv 1$ ve $r' \equiv 1$ .

2. $r' \equiv 1$ ise $r \equiv 0$ . " $9 \notin C$ " yanlıştır, yani $9 \in C$ . III doğru.

3. $(p \Rightarrow q)' \equiv 1$ ise $p \Rightarrow q \equiv 0$ . Bu yalnızca $p \equiv 1$ ve $q \equiv 0$ iken olur. Kısa yol: $(p \Rightarrow q)' \equiv p \land q'$ .

4. $q$ yanlış. $9 \notin A \cap C$ . $9$ sayısı $C$ kümesinde olduğuna göre $A$ kümesinde olamaz: $9 \notin A$ . I yanlış.

5. $p$ doğru. $9 \in A \cup B$ ve $9 \notin A$ olduğundan $9 \in B$ . II doğru.

Doğru olanlar II ve III.

Tuzak: $q$ yanlış diye $9$ sayısını hem $A$ hem $C$ kümesinin dışında saymak. Kesişimde olmamak için birinde olmaması yeter (De Morgan); hangisi olduğunu $r$ belirler.

Cevap: D

2024 AYTSoru 9

Orta

Veya bağlacının yanlış olması

$A$ ve $B$ kümeleri için şu üç önerme tanımlanıyor:

$p: s(B \setminus A) = 1 \qquad q: s(A) \geq s(B) \qquad r: s(A \cup B) = 8$

$(p \Rightarrow r') \lor (q \land p)$

önermesinin yanlış olduğu biliniyor.

Buna göre $A \cap B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

İpucu

"Veya" yanlışsa iki parça da yanlıştır. Önce $p \Rightarrow r'$ parçasından $p$ ve $r$ değerlerini bul; $q$ değeri ikinci parçadan çıkar.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. "Veya" yanlış. İki bileşen de yanlıştır: $(p \Rightarrow r') \equiv 0$ ve $(q \land p) \equiv 0$ .

2. $p \Rightarrow r'$ yanlış. $p \equiv 1$ ve $r' \equiv 0$ , yani $r \equiv 1$ .

3. $q \land p$ yanlış. $p$ doğru olduğuna göre yanlış olan $q$ olmalıdır: $q \equiv 0$ , yani $s(A) < s(B)$ .

4. Küme diline çevir. $A \cup B$ kümesi, $A$ ile $B \setminus A$ kümelerinin ayrık birleşimidir:

$s(A) = s(A \cup B) - s(B \setminus A) = 8 - 1 = 7$

5. $s(B)$ değerini bul. $B \subseteq A \cup B$ olduğundan $s(B) \leq 8$ ; $q$ yanlış olduğundan $s(B) > 7$ . O hâlde $s(B) = 8$ .

$s(A \cap B) = s(B) - s(B \setminus A) = 8 - 1 = 7$

Kümelerle ilgili ayrıntı için Kümeler sayfasına bak.

Tuzak: $r'$ yanlış demek $r$ doğru demektir; değil işaretini atlayıp $s(A \cup B) \neq 8$ almak soruyu çözümsüz bırakır.

Cevap: B

2023 AYTSoru 10

Orta

Koşullu önermenin yanlış olması

$AB$ iki basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayı için

$p: A + B = 5 \qquad q: A \cdot B = 6$

önermeleri tanımlanıyor.

$(p \lor q) \Rightarrow (p \land q)$ önermesi yanlış olduğuna göre $AB$ sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

İpucu

" $p \lor q$ doğru ama $p \land q$ yanlış" ne demek? İki önermeden en az biri doğru, ama ikisi birden doğru değil.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Koşullu önerme yanlış. Öncül doğru, sonuç yanlış: $p \lor q \equiv 1$ ve $p \land q \equiv 0$ . En az biri doğru ama ikisi birden değil; yani $p$ ile $q$ önermelerinden tam biri doğrudur.

2. $p$ önermesini doğru yapan sayılar. $A + B = 5$ ve $A \neq 0$ : $14, 23, 32, 41, 50$ .

3. $q$ önermesini doğru yapan sayılar. $A \cdot B = 6$ : $16, 23, 32, 61$ .

4. İkisini birden sağlayanları çıkar. $23$ ve $32$ iki listede de var; bunlarda $p \land q$ doğru olur, atılır. Kalanlar: $14, 41, 50, 16, 61$ .

$14 + 41 + 50 + 16 + 61 = 182$

Tuzak: $50$ sayısını unutmak ( $B = 0$ olabilir) ya da $23$ ile $32$ sayılarını toplamda bırakmak. İkincisi $182 + 55 = 237$ verir; seçeneklerde yoktur, bu da bir uyarıdır.

Cevap: E

2022 AYTSoru 8

Orta

İç içe koşullu önerme

$AB$ iki basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayı için

$p$ : $AB$ sayısı $3$ 'e tam bölünür.
$q$ : $A + B$ toplamı $5$ 'e tam bölünür.
$r$ : $A \cdot B$ çarpımı $7$ 'ye tam bölünür.

önermeleri tanımlanıyor.

$q \Rightarrow (p \Rightarrow r)$

önermesinin yanlış olduğu biliniyor.

Buna göre $A \cdot B$ çarpımı kaçtır?

İpucu

Yanlış bir koşullu önermede öncül doğru, sonuç yanlıştır. Sonuç da bir koşullu önerme olduğundan aynı kuralı ikinci kez uygula.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Dıştaki koşullu önerme yanlış. $q \equiv 1$ ve $(p \Rightarrow r) \equiv 0$ .

2. İçteki koşullu önerme de yanlış. $p \equiv 1$ ve $r \equiv 0$ .

3. $p$ ile $q$ birlikte. $AB$ sayısı $3$ 'e bölünüyorsa rakamları toplamı $A + B$ de $3$ 'e bölünür. $q$ doğru olduğundan $A + B$ ayrıca $5$ 'e bölünür. Demek ki $A + B$ , $15$ 'in katıdır. İki rakamın toplamı en çok $18$ olabildiğinden $A + B = 15$ .

4. Adaylar. $(A, B)$ çiftleri $(6, 9)$ , $(7, 8)$ , $(8, 7)$ , $(9, 6)$ ; çarpımlar $54$ ya da $56$ .

5. $r$ yanlış. $A \cdot B$ çarpımı $7$ 'ye bölünmemeli. $56 = 7 \cdot 8$ elenir; $54$ kalır.

$A \cdot B = 54$ ( $AB$ sayısı $69$ ya da $96$ ).

Tuzak: E seçeneğindeki $56$ , $r$ önermesini doğru sayanların cevabıdır. $r$ en içteki sonuçtur ve yanlıştır.

Cevap: D

2021 AYTSoru 8

Orta

Koşullu önerme ve "ve" bağlacı

$AB$ iki basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayı için

$p$ : $AB$ sayısı çifttir.
$q$ : $AB$ sayısı asaldır.
$r$ : $A + B = 11$

önermeleri tanımlanıyor.

$(p \Rightarrow q) \land (q' \land r)$

önermesinin doğru olduğu biliniyor.

Buna göre $A \cdot B$ çarpımı kaçtır?

İpucu

"Ve" ile bağlanan her parça doğru olmalı. Önce $q' \land r$ parçasından $q$ ve $r$ değerlerini bul; $p$ değeri koşullu önermeden çıkar.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Bütün "ve" bileşenleri doğrudur. $p \Rightarrow q \equiv 1$ , $q' \equiv 1$ ve $r \equiv 1$ . Buradan $q \equiv 0$ .

2. $p$ değerini bul. $p \Rightarrow q$ doğru ve $q$ yanlış. $p$ doğru olsaydı $1 \Rightarrow 0$ yanlış olurdu; o hâlde $p \equiv 0$ .

3. Sayı diline çevir. $AB$ sayısı tektir ( $p$ yanlış), asal değildir ( $q$ yanlış) ve rakamları toplamı $11$ 'dir ( $r$ doğru).

4. Adayları yaz. Rakamları toplamı $11$ olan iki basamaklı sayılar: $29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92$ . Tek olanlar $29, 47, 65, 83$ . Bunlardan $29$ , $47$ ve $83$ asaldır; $65 = 5 \cdot 13$ asal değildir.

$AB = 65$ ve $A \cdot B = 6 \cdot 5 = 30$ .

Tuzak: " $p \Rightarrow q$ doğru" bilgisinden $p$ doğru sonucu çıkmaz. Sonuç yanlışken koşullu önermenin doğru kalması için öncül de yanlış olmalıdır.

Cevap: E

2019 AYTSoru 6

Kolay

Ve, veya, değil

Masadaki üç bilyeden biri kırmızı, biri mavi, biri sarıdır. Bilyeler A, B ve C torbalarına, her torbaya bir bilye düşecek biçimde yerleştiriliyor. Bu yerleşimle ilgili önermeler şunlardır:

$p$ : "A torbasında kırmızı bilye yoktur."
$q$ : "B torbasında mavi bilye vardır."
$r$ : "C torbasında sarı bilye yoktur."

$p \land (q \lor r)'$

önermesinin doğru olduğu biliniyor.

Buna göre A, B ve C torbalarındaki bilyelerin renkleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. "Ve" doğruysa iki bileşen de doğrudur. $p \equiv 1$ ve $(q \lor r)' \equiv 1$ .

2. De Morgan. $(q \lor r)' \equiv q' \land r'$ olduğundan $q \equiv 0$ ve $r \equiv 0$ .

3. Sözel dile çevir.

$r$ yanlış: "C torbasında sarı yoktur" yanlış, yani sarı bilye C torbasındadır.
$q$ yanlış: B torbasında mavi yoktur. Sarı C torbasında olduğuna göre B torbasında kırmızı vardır.
Geriye mavi kalır; A torbasındadır. Bu, $p$ önermesiyle (A torbasında kırmızı yok) uyumludur.

Sıra: Mavi - Kırmızı - Sarı.

Tuzak: $p$ ve $r$ önermeleri "yoktur" diye kurulmuştur. $r$ yanlış demek "sarı vardır" demektir; olumsuz önermenin yanlış olması olumlu bilgi verir.

Cevap: B

2018 AYTSoru 5

Orta

Koşullu önermenin yanlış olması

Sıfırdan farklı $a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları için şu üç önerme tanımlanıyor:

$p: a + b = 0 \qquad q: a + c < 0 \qquad r: c < 0$

$(p \land q) \Rightarrow r$

önermesinin yanlış olduğu biliniyor.

Buna göre $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

Koşullu önermenin yanlış olduğu tek durum vardır: öncül doğru, sonuç yanlış. Önce $r$ önermesinden $c$ sayısının işaretini bul.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Doğruluk değerlerini bul. Koşullu önerme yalnızca öncülü doğru, sonucu yanlışken yanlıştır: $p \land q \equiv 1$ ve $r \equiv 0$ . "Ve" doğru olduğundan $p \equiv 1$ ve $q \equiv 1$ .

2. $r$ yanlış. " $c < 0$ " yanlışsa $c \geq 0$ olur. $c \neq 0$ verildiğinden $c > 0$ .

3. $q$ doğru. $a + c < 0$ ve $c > 0$ olduğundan $a < -c < 0$ ; $a$ negatiftir.

4. $p$ doğru. $a + b = 0$ ise $b = -a$ ; $a$ negatif olduğundan $b$ pozitiftir.

İşaretler sırasıyla $-$ , $+$ , $+$ .

Tuzak: " $c < 0$ " önermesinin değili " $c > 0$ " değil, " $c \geq 0$ " önermesidir. Sıfırı eleyen şey, soru kökündeki "sıfırdan farklı" koşuludur.

Cevap: A

2018 AYTSoru 6

Kolay

Aksine örnek

$a$ ve $b$ tam sayıları için $a \mid b$ yazımı, $a$ sayısının $b$ sayısını tam böldüğü anlamına gelir.

Bir öğrenci, " $a$ , $b$ ve $c$ tam sayıları için $a \mid c$ ve $b \mid c$ ise $(a + b) \mid c$ olur." önermesinin yanlış olduğunu bir aksine örnek vererek göstermek istiyor.

Buna göre öğrencinin verdiği örnek aşağıdakilerden hangisi olabilir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Aksine örnek ne demek? Önerme "hipotez ise hüküm" biçimindedir. Onu çürüten örnek hipotezi sağlar ama hükmü sağlamaz: $a \mid c$ ve $b \mid c$ doğru, $(a + b) \mid c$ yanlış olmalıdır. Bu, koşullu önermenin yanlış olduğu $1 \Rightarrow 0$ durumudur.

2. Seçenekleri dene. Hepsinde $a \mid c$ ve $b \mid c$ sağlanıyor; ayırt edici olan $a + b$ toplamıdır.

A) $a + b = 4$ ve $4 \mid 12$ : hüküm de doğru.
B) $a + b = 6$ ve $6 \mid 24$ : hüküm de doğru.
C) $a + b = 5$ ve $5 \mid 30$ : hüküm de doğru.
D) $a + b = 9$ ; $60 = 9 \cdot 6 + 6$ olduğundan $9$ , $60$ sayısını bölmez: hüküm yanlış.
E) $a + b = 6$ ve $6 \mid 30$ : hüküm de doğru.

Aranan örnek D seçeneğidir.

Tuzak: Önermeye uyan dört örnek onu doğrulamaz; uymayan tek örnek onu çürütür.

Cevap: D

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Karşıt ters

$p \Rightarrow q'$ koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

Karşıt ters için bileşenler yer değiştirir ve ikisinin de değili alınır.

Öncül $p$ , sonuç $q'$ . Yeni öncül sonucun değilidir: $(q')' \equiv q$ . Yeni sonuç öncülün değilidir: $p'$ .

$q \Rightarrow p'$

Denetim: $p \Rightarrow q' \equiv p' \lor q'$ ve $q \Rightarrow p' \equiv q' \lor p'$ ; ikisi aynı önermedir.

Öteki seçenekler: A karşıttır, B terstir, D'de $(q')'$ yerine $q'$ bırakılmıştır, E ise önermenin değilidir.

Cevap: C

Özgün soru2

Kolay

Doğruluk değeri

$p \equiv 1$ , $q \equiv 0$ ve $r \equiv 0$ olduğu biliniyor.

Buna göre aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur?

Çözüm

Her seçenekte değerleri yerine yaz.

A) $1 \Rightarrow 0 \equiv 0$ : koşullu önermenin yanlış olduğu tek durum.
B) $0 \lor 0 \equiv 0$ : ikisi de yanlış.
C) $1 \Leftrightarrow 0 \equiv 0$ : değerler farklı.
D) $0 \Rightarrow 0 \equiv 1$ : öncül yanlış olduğundan koşullu önerme doğrudur.
E) $p' \equiv 0$ olduğundan $0 \veebar 0 \equiv 0$ : "ya da" yalnızca biri doğruyken doğrudur.

Tuzak: " $0 \Rightarrow 0$ " önermesini, iki bileşeni de yanlış diye yanlış saymak.

Cevap: D

Özgün soru3

Orta

Bileşik önermeyi sadeleştirme

$(p \Rightarrow q)' \lor (p \land q)$ önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?

İpucu

Koşullu önermenin değilini "ve" ile yaz; sonra iki parantezdeki ortak önermeyi dışarı al.

Çözüm

1. Değili aç. $(p \Rightarrow q)' \equiv (p' \lor q)' \equiv p \land q'$ .

2. Ortak önermeyi dışarı al. İfade $(p \land q') \lor (p \land q)$ oldu. Dağılma özelliği tersinden:

$(p \land q') \lor (p \land q) \equiv p \land (q' \lor q)$

3. Bitir. $q' \lor q \equiv 1$ ve $p \land 1 \equiv p$ .

Denetim (doğruluk tablosu): $(p, q) = (1, 1)$ için $0 \lor 1 \equiv 1$ ; $(1, 0)$ için $1 \lor 0 \equiv 1$ ; $(0, 1)$ ve $(0, 0)$ için $0 \lor 0 \equiv 0$ . Sonuç her satırda $p$ ile aynıdır.

Tuzak: $(p \Rightarrow q)'$ yerine $p' \Rightarrow q'$ yazmak. Koşullu önermenin değili bir koşullu önerme değildir.

Cevap: B

Özgün soru4

Orta

Niceleyiciler

$p$ : " $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq x$ " önermesi veriliyor.

Buna göre $p'$ önermesi ve $p'$ önermesinin doğruluk değeri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

İpucu

Değil alınırken niceleyici değişir ve eşitsizliğin değili alınır. Sonra $0$ ile $1$ arasında bir sayı dene.

Çözüm

1. Değili yaz. $[\forall x,\ p(x)]' \equiv \exists x,\ p'(x)$ . " $x^2 \geq x$ " ifadesinin değili " $x^2 < x$ " olur (eşitlik karşı tarafa geçmez):

$p': \exists x \in \mathbb{R},\ x^2 < x$

2. Doğruluk değeri. $x = \dfrac{1}{2}$ için $x^2 = \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}$ . Koşulu sağlayan en az bir gerçek sayı bulunduğundan $p' \equiv 1$ .

Bu sayı aynı zamanda $p$ için aksine örnektir: $p \equiv 0$ . Bir önerme ile değilinden tam biri doğrudur.

Tuzak: Yalnızca tam sayıları deneyip $p$ önermesini doğru sanmak. $0 < x < 1$ aralığındaki her sayının karesi kendisinden küçüktür.

Cevap: A

Özgün soru5

Zor

İki yönlü koşullu önerme ve ya da

$p$ , $q$ ve $r$ önermeleri için

$(p \Leftrightarrow q) \lor r$ önermesi yanlış,
$q \Rightarrow p$ önermesi doğrudur.

Buna göre

I. $p \veebar q$
II. $q \lor r$
III. $r \Rightarrow q$

önermelerinden hangileri doğrudur?

İpucu

Yanlış olan "veya" iki bilgi verir. $p \Leftrightarrow q$ yanlışsa $p$ ile $q$ farklı değerdedir; hangisinin doğru olduğunu ikinci bilgi söyler.

Çözüm

1. "Veya" yanlış. $(p \Leftrightarrow q) \equiv 0$ ve $r \equiv 0$ .

2. $p \Leftrightarrow q$ yanlış. $p$ ile $q$ farklı değerdedir: ya $p \equiv 1$ , $q \equiv 0$ ya da $p \equiv 0$ , $q \equiv 1$ .

3. $q \Rightarrow p$ doğru. İkinci olasılıkta $1 \Rightarrow 0$ olurdu, yanlış. Demek ki $p \equiv 1$ , $q \equiv 0$ (ve $r \equiv 0$ ).

4. İfadeleri değerlendir.

I. $1 \veebar 0 \equiv 1$ : doğru.
II. $0 \lor 0 \equiv 0$ : yanlış.
III. $0 \Rightarrow 0 \equiv 1$ : doğru (öncül yanlış).

Doğru olanlar I ve III.

Tuzak: III ifadesini, iki bileşeni de yanlış olduğu için yanlış saymak "Yalnız I" cevabına götürür.

Cevap: D

Özgün soru6

Zor

Bileşik önermeden sayı bulma

İki basamaklı bir $AB$ doğal sayısı için

$p$ : $A \cdot B$ çarpımı çifttir.
$q$ : $A + B = 10$
$r$ : $A < B$

önermeleri veriliyor.

$(p \lor r) \Rightarrow q'$ önermesi yanlış olduğuna göre $AB$ sayısı kaç farklı değer alabilir?

İpucu

Yanlış koşullu önermeden $q$ değeri kesin çıkar. $p \lor r$ doğru olmalı; bunun için iki önermeden birinin doğru olması yeter. Elemek için ikisinin birden yanlış olduğu sayıları ara.

Çözüm

1. Koşullu önerme yanlış. $p \lor r \equiv 1$ ve $q' \equiv 0$ , yani $q \equiv 1$ .

2. $q$ doğru. Rakamları toplamı $10$ olan iki basamaklı sayılar: $19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91$ ( $9$ sayı).

3. $p \lor r$ doğru. "Veya" yalnızca iki bileşen de yanlışken yanlıştır. Elenecek sayılar, çarpımı tek olan ve $A \geq B$ olan sayılardır. Çarpımın tek olması için iki rakam da tek olmalı: $19, 37, 55, 73, 91$ . Bunlardan $A \geq B$ olanlar $55, 73, 91$ .

4. Kalanlar. $19, 28, 37, 46, 64, 82$ : $6$ sayı.

Denetim: $19$ ve $37$ için $r$ doğru; $28$ , $46$ , $64$ , $82$ için $p$ doğru.

Tuzak: $p \lor r$ koşulunu "ikisi de doğru" diye okumak yalnızca $28$ ve $46$ sayılarını bırakır; koşulu hiç uygulamamak $9$ verir.

Cevap: C

Özgün soru7

Orta

Teorem, hipotez ve hüküm

"Bir tam sayı $6$ ile tam bölünüyorsa $3$ ile de tam bölünür." teoremi veriliyor.

I. Bu teoremin karşıtı da doğrudur.
II. Teoremin hipotezi "sayının $6$ ile tam bölünmesi", hükmü "sayının $3$ ile tam bölünmesi"dir.
III. Teoremin karşıt tersi "Bir tam sayı $3$ ile tam bölünmüyorsa $6$ ile de tam bölünmez." önermesidir.

Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

İpucu

Teoremi $p \Rightarrow q$ biçiminde yaz. Karşıt $q \Rightarrow p$ için bir aksine örnek ara: $3$ ile bölünüp $6$ ile bölünmeyen bir sayı var mı?

Çözüm

$p$ : "Sayı $6$ ile tam bölünür", $q$ : "Sayı $3$ ile tam bölünür" olsun. Teorem $p \Rightarrow q$ biçimindedir.

I. Karşıt $q \Rightarrow p$ : "Bir tam sayı $3$ ile bölünüyorsa $6$ ile de bölünür." $9$ sayısı $3$ ile bölünür ama $6$ ile bölünmez; bu bir aksine örnektir. I yanlış.

II. "İse" bağlacından önceki kısım hipotez, sonraki kısım hükümdür. II doğru.

III. Karşıt ters $q' \Rightarrow p'$ : " $3$ ile bölünmüyorsa $6$ ile bölünmez." III doğru. (Teoreme denk olduğu için kendisi de doğru bir önermedir.)

Doğru olanlar II ve III.

Tuzak: Bir teorem doğru diye karşıtını da doğru saymak.

Cevap: E

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \veebar q$
$1$	$1$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

$p$	$q$	$(p \land q)'$	$p'$	$q'$	$p' \lor q'$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$p'$	$p' \lor q$
$1$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$q \Rightarrow p$	$(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$	$p \Leftrightarrow q$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \veebar q$
$1$	$1$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

$p$	$q$	$(p \land q)'$	$p'$	$q'$	$p' \lor q'$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$p'$	$p' \lor q$
$1$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$q \Rightarrow p$	$(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$	$p \Leftrightarrow q$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \veebar q$
$1$	$1$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

$p$	$q$	$(p \land q)'$	$p'$	$q'$	$p' \lor q'$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$p'$	$p' \lor q$
$1$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$q \Rightarrow p$	$(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$	$p \Leftrightarrow q$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$