41Konu 41 / 49
Geometri

Çokgenler ve Dörtgenler

Dışbükey çokgenlerde iç ve dış açıların toplamını üçgenlere ayırarak buluyor, düzgün çokgenlerin açılarını dış açı üzerinden hesaplıyoruz; dörtgenin temel elemanlarını, dışbükey ve içbükey ayrımını, açı toplamlarını ve çevresini öğreniyoruz.

10. sınıf
AYT sıklığı
45 dk

LevhaÇokgenler ve DörtgenlerÇokgenler ve Dörtgenler

Bir usta zemini tek tip düzgün çokgen karoyla döşeyecek. Altıgen karolar köşe köşeye gelince hiç boşluk kalmıyor; düzgün beşgen karolar ise nasıl çevrilirse çevrilsin her köşede ince bir yarık bırakıyor. Yarığın açısı hep aynı: $36^\circ$ . Bu sayıyı karonun tek bir özelliği belirliyor: bir iç açısının ölçüsü. Sahnede kenar sayısını değiştir ve hangi karoların köşeyi tam kapattığını gör.

Bir köşenin çevresi

360^\circ

dir. Üç altıgen bunu tam doldurur; üç beşgen

36^\circ

açık bırakır, dördüncü beşgen ise sığmaz.

Isınma

Başlamadan: üçgende açılar ve kenarlar

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir üçgenin iki iç açısının ölçüleri

47^\circ

68^\circ

dir. Üçüncü iç açının ölçüsü kaç derecedir?

Açıklama

Üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ dir: $180^\circ - (47^\circ + 68^\circ) = 65^\circ$ . Ayrıntısı Üçgende Açılar ve Açı–Kenar Bağıntıları sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir

ABC

üçgeninde

m(\widehat{A}) = 50^\circ

m(\widehat{B}) = 60^\circ

dir.

C

köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir?

Açıklama

Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: $50^\circ + 60^\circ = 110^\circ$ . Sağlama: iç açı $70^\circ$ , bütünleri $110^\circ$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

İki kenarı

5

9

birim olan bir üçgenin üçüncü kenarı tam sayıdır. Üçüncü kenar kaç farklı değer alabilir?

Açıklama

Üçgen eşitsizliği: $9 - 5 < x < 9 + 5$ , yani $4 < x < 14$ . Tam sayılar $5, 6, \dots, 13$ ; $9$ tane.

Temel

Çokgen, iç açılar ve dış açılar

Çokgen ve elemanları

Düzlemde en az üç doğru parçasını uç uca ekleyip başladığın noktaya dönersen kapalı bir şekil çizersin. Kenarlar yalnızca uçlarında buluşuyorsa bu şekil bir çokgendir.

Bir çokgenin bütün köşegenleri çokgenin içinde kalıyorsa çokgen dışbükey, en az bir köşegeni dışarıda kalıyorsa içbükeydir. Program çokgenlerde yalnızca dışbükey olanları ele alır; bu sayfada “çokgen” dediğimizde dışbükey çokgeni anlayacağız.

İç açı, iki komşu kenarın çokgenin içinde yaptığı açıdır. Dış açı, bir kenar ile komşu kenarın uzantısı arasındaki açıdır.

İç açıların toplamı

Üçgenin iç açıları toplamını biliyorsun: $180^\circ$ . Kenar sayısı artınca yeni bir kural ezberlemek yerine çokgeni üçgenlere ayır.

Sahnede bir köşe seçili ve o köşeden bütün köşegenler çizili. Kenar sayısı sürgüsünü $3$ ten $10$ a doğru çek; her yeni kenar bir üçgen daha ekliyor. Köşeleri sürükleyip çokgenin biçimini boz: üçgen sayısı da açıların toplamı da değişmiyor.

Bir köşeden kendisine ve iki komşusuna köşegen çizilemez; geriye $n - 3$ köşe kalır. Bu $n - 3$ köşegen çokgeni $n - 2$ üçgene ayırır ve üçgenlerin açıları birleşince tam olarak çokgenin iç açılarını verir.

Altıgende bir köşeden

3

köşegen çizilir,

4

üçgen oluşur:

4 \cdot 180^\circ = 720^\circ

Örnek

kolay

Eksik iç açıyı bulma

Bir beşgenin dört iç açısının ölçüleri $100^\circ$ , $115^\circ$ , $95^\circ$ ve $125^\circ$ dir. Beşinci iç açının ölçüsü kaç derecedir?

Önce toplamı bul, çünkü tek tek açıları değil toplamı biliyoruz. Beşgende $n = 5$ :

$(5 - 2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$

Verilen dört açıyı topla: $100^\circ + 115^\circ + 95^\circ + 125^\circ = 435^\circ$ .

Beşinci açı, toplamdan geriye kalandır: $540^\circ - 435^\circ = 105^\circ$ .

Sonuç

Beşinci iç açı $105^\circ$ dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

İç açılarının ölçüleri toplamı

1260^\circ

olan çokgen kaç kenarlıdır?

Açıklama

$(n - 2) \cdot 180^\circ = 1260^\circ$ ise $n - 2 = 7$ , $n = 9$ .

Dış açıların toplamı

Bir çokgenin çevresinde yürüdüğünü düşün. Her köşede yönünü biraz değiştirirsin; dönme miktarın tam olarak o köşedeki dış açıdır. Turu tamamlayıp ilk yönüne döndüğünde toplam ne kadar dönmüş olursun?

Sahnedeki ok çokgenin kenarları boyunca ilerliyor ve her köşede dış açı kadar dönüyor. Sağdaki gösterge okun toplam dönüşünü biriktiriyor. Kenar sayısını değiştir, köşeleri sürükle: tur bittiğinde gösterge her seferinde $360^\circ$ de duruyor. “Küçült” sürgüsüyle çokgeni bir noktaya büz; dış açılar tek noktanın çevresinde tam bir tur oluşturur.

Beş dış açı tek bir noktaya taşınınca aralarında boşluk kalmaz: toplamları tam açıdır.

Hesapla da aynı sonuç çıkar. Her köşede iç açı ile dış açının toplamı $180^\circ$ olduğundan $n$ köşedeki bütün iç ve dış açıların toplamı $n \cdot 180^\circ$ dir. Bundan iç açıların toplamını çıkar:

$n \cdot 180^\circ - (n - 2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

Örnek

kolay

İç açılar toplamı, dış açılar toplamının katı

Bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı, dış açılarının ölçüleri toplamının $4$ katıdır. Bu çokgen kaç kenarlıdır?

Dış açılar toplamı kenar sayısına bağlı değildir, o yüzden bilinen tarafla başla: $360^\circ$ . İç açılar toplamı bunun $4$ katı, yani $1440^\circ$ .

İç açılar toplamı formülünü kur, çünkü kenar sayısı yalnızca orada görünür:

$(n - 2) \cdot 180^\circ = 1440^\circ \quad\Rightarrow\quad n - 2 = 8$

Sonuç

$n = 10$ ; çokgen ongendir.

Örnek

kolay

En büyük iç açı, en küçük dış açının yanındadır

Bir altıgenin dış açılarının ölçüleri $x$ , $x + 10^\circ$ , $x + 20^\circ$ , $x + 30^\circ$ , $x + 40^\circ$ ve $x + 50^\circ$ dir. Bu altıgenin en büyük iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Dış açıların toplamı $360^\circ$ dir; altı ifadeyi topla:

$6x + 150^\circ = 360^\circ \quad\Rightarrow\quad x = 35^\circ$

Aynı köşede iç açı ile dış açı bütünlerdir. Bu yüzden iç açının en büyük olduğu köşe, dış açının en küçük olduğu köşedir: dış açısı $x = 35^\circ$ olan köşe.

Sonuç

En büyük iç açı $180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$ dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Yirmi kenarlı bir dışbükey çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

Açıklama

Dış açıların toplamı kenar sayısından bağımsızdır: $360^\circ$ .

Orta

Düzgün çokgenler ve dörtgenin temel özellikleri

Düzgün çokgen

Kancadaki karolara dönelim. Karoların köşeyi kapatıp kapatmadığını söyleyebilmek için bir iç açının ölçüsünü bilmek gerekiyor; bu da ancak bütün açılar eşse tek bir sayıdır.

Sahnede düzgün bir çokgen var; kenar sayısını $3$ ten $24$ e kadar değiştirebilirsin. Dış açı, iç açı ve çokgenin çevresinde dönen ok birlikte güncelleniyor. Kenar sayısı arttıkça dış açının küçüldüğünü, iç açının $180^\circ$ ye yaklaştığını ve çokgenin çembere benzediğini izle.

Dış açıların toplamı $360^\circ$ ve düzgün çokgende hepsi eşit. O hâlde $360^\circ$ yi $n$ eş parçaya bölmek yeter.

Kenar sayısı arttıkça dış açı küçülür, iç açı büyür.

Kenar sayısı $n$	$3$	$4$	$5$	$6$	$8$	$9$	$10$	$12$
Bir dış açı	$120^\circ$	$90^\circ$	$72^\circ$	$60^\circ$	$45^\circ$	$40^\circ$	$36^\circ$	$30^\circ$
Bir iç açı	$60^\circ$	$90^\circ$	$108^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$140^\circ$	$144^\circ$	$150^\circ$

Örnek

orta

İç açı ile dış açı arasındaki farktan kenar sayısı

Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünden $90^\circ$ fazladır. Bu çokgen kaç kenarlıdır?

Dış açıya $d$ de. İç açı $d + 90^\circ$ olur. Neden $d$ ile başladık: kenar sayısı dış açıdan tek bölmeyle bulunur.

Aynı köşede iç ve dış açı bütünlerdir:

$d + (d + 90^\circ) = 180^\circ \quad\Rightarrow\quad d = 45^\circ$

Dış açılar eşit ve toplamları $360^\circ$ olduğundan $n = \dfrac{360^\circ}{45^\circ} = 8$ .

Sonuç

Çokgen düzgün sekizgendir (iç açısı $135^\circ$ , dış açısı $45^\circ$ ).

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Düzgün ongenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Açıklama

Dış açı $\dfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ$ , iç açı $180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir iç açısının ölçüsü

100^\circ

olan bir düzgün çokgen var mıdır?

Açıklama

Dış açı $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ olurdu. Kenar sayısı $\dfrac{360}{80} = 4{,}5$ çıkıyor; tam sayı olmadığından böyle bir düzgün çokgen yoktur.

Örnek

orta

Her adımda aynı açıyla dönen robot

Bir robot düz bir zeminde $2$ metre ilerliyor, durup soluna doğru $24^\circ$ dönüyor ve bunu aynı biçimde tekrarlıyor. Robot başladığı noktaya ilk kez döndüğünde toplam kaç metre yol almış olur?

Robotun izini çokgen olarak oku. Her parça $2$ metre, yani kenarlar eş. Her köşedeki dönme miktarı aynı, yani dış açılar eş: $24^\circ$ . İz, bir düzgün çokgendir.

Robot başlangıç yönüne, toplam dönüşü $360^\circ$ olduğunda döner. Köşe sayısı:

$n = \dfrac{360^\circ}{24^\circ} = 15$

On beş kenarın her biri $2$ metredir; toplam yol çokgenin çevresidir: $15 \cdot 2 = 30$ .

Sonuç

Robot $30$ metre yol alır.

Düzgün çokgenin kenarları eş olduğundan, iki komşu kenarı içeren her üçgen ikizkenardır. Açı sorularının çoğu bu gözlemle açılır.

Örnek

orta

Düzgün beşgende ikizkenar üçgen

$ABCDE$ bir düzgün beşgendir. $m(\widehat{ACD})$ kaç derecedir?

Düzgün beşgenin bir iç açısı $180^\circ - \dfrac{360^\circ}{5} = 108^\circ$ dir. Demek ki $m(\widehat{ABC}) = 108^\circ$ ve $m(\widehat{BCD}) = 108^\circ$ .

$|AB| = |BC|$ olduğundan $ABC$ ikizkenar üçgendir; taban açıları eşittir:

$m(\widehat{BCA}) = \dfrac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$

$[CA]$ , $C$ köşesindeki iç açıyı iki parçaya ayırır. Aradığımız parça, bütünden $36^\circ$ çıkarılınca kalır.

Sonuç

$m(\widehat{ACD}) = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$

Bir köşede buluşan çokgenler

Bir noktanın çevresindeki açıların toplamı $360^\circ$ dir. Çokgenler bir köşede boşluksuz buluşuyorsa o köşedeki iç açılarının toplamı da $360^\circ$ olmak zorundadır. Kancadaki beşgenler bu yüzden yarık bırakır: $3 \cdot 108^\circ = 324^\circ$ , eksik kalan $36^\circ$ .

Sahnede bir köşede iki düzgün çokgen duruyor; kenar sayılarını iki sürgüyle seç. Kalan açı canlı hesaplanıyor. Kalan açı bir düzgün çokgenin iç açısına denk gelirse üçüncü çokgen yerine oturuyor; gelmezse boşluk açık kalıyor. Altıgen ile kareyi dene: kalan $150^\circ$ , yani düzgün onikigen.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir köşede iki düzgün sekizgen kenar kenara buluşuyor. Köşede kalan boşluğu tam dolduran düzgün çokgen hangisidir?

Açıklama

Sekizgenin iç açısı $135^\circ$ dir. Kalan açı $360^\circ - 2 \cdot 135^\circ = 90^\circ$ ; iç açısı $90^\circ$ olan düzgün çokgen karedir.

Dörtgen ve temel elemanları

Dört kenarlı çokgene dörtgen denir. Üçgenden sonraki en yalın çokgendir ve üçgende olmayan bir elemanı vardır: köşegen.

Dışbükey dörtgende iki köşegen de içeridedir. İçbükey dörtgende bir iç açı

180^\circ

den büyüktür ve bir köşegen dışarıda kalır.

Sahnede köşeleri sürüklenebilen bir $ABCD$ dörtgeni var. $[AC]$ köşegeni dörtgeni iki üçgene ayırıyor ve dört iç açının ölçüsü ile toplamı canlı yazıyor. Bir köşeyi içeri doğru it: o köşedeki açı $180^\circ$ yi geçince dörtgen içbükey oluyor, bir köşegen dışarıda kalıyor, ama toplam yine $360^\circ$ .

Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır; iç açıların toplamı bu yüzden $2 \cdot 180^\circ$ dir. Dış açılar için ayrı bir hesap gerekmez: her dışbükey çokgende olduğu gibi toplam $360^\circ$ dir.

Örnek

orta

İki dış açı, karşıdaki iki iç açının toplamını verir

$ABCD$ dörtgeninde $A$ ve $B$ köşelerindeki dış açıların ölçüleri sırasıyla $70^\circ$ ve $85^\circ$ dir. $m(\widehat{C}) - m(\widehat{D}) = 25^\circ$ olduğuna göre $m(\widehat{C})$ kaç derecedir?

Dış açılardan iç açılara geç, çünkü toplam kuralı iç açılar için yazıldı: $m(\widehat{A}) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ ve $m(\widehat{B}) = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ$ .

Kalan iki açının toplamını bul:

$m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 360^\circ - (110^\circ + 95^\circ) = 155^\circ$

Dikkat et: $155^\circ = 70^\circ + 85^\circ$ . İki köşedeki dış açıların toplamı, diğer iki köşedeki iç açıların toplamına eşittir.

Toplam $155^\circ$ , fark $25^\circ$ . İki denklemi taraf tarafa topla: $2 \cdot m(\widehat{C}) = 180^\circ$ .

Sonuç

$m(\widehat{C}) = 90^\circ$ (ve $m(\widehat{D}) = 65^\circ$ )

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir dörtgenin üç iç açısının ölçüleri

30^\circ

40^\circ

50^\circ

dir. Bu dörtgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Açıklama

$360^\circ - (30^\circ + 40^\circ + 50^\circ) = 240^\circ$ . Bir iç açı $180^\circ$ den büyük olduğundan dörtgen içbükeydir.

Dörtgenin çevresi

Köşegen çevreye dahil değildir. Köşegenle ayrılan iki üçgenin çevrelerini toplarsan köşegeni iki kez saymış olursun; aşağıdaki örnek bunu kullanıyor.

Örnek

orta

İki üçgenin çevresinden köşegen

Çevresi $46$ birim olan $ABCD$ dörtgeninde $[AC]$ köşegeni çizildiğinde $ABC$ üçgeninin çevresi $30$ birim, $ACD$ üçgeninin çevresi $34$ birim oluyor. $|AC|$ kaç birimdir?

İki üçgenin çevresini yaz:

$\begin{aligned} |AB| + |BC| + |AC| &= 30 \\ |CD| + |DA| + |AC| &= 34 \end{aligned}$

Taraf tarafa topla. Sol tarafta dörtgenin dört kenarı birer kez, $|AC|$ ise iki kez görünür, çünkü köşegen iki üçgenin de kenarıdır:

$46 + 2 \cdot |AC| = 64$

Sonuç

$|AC| = 9$ birim

İleri

Açıortaylar, köşegen sınırları ve birleşik sorular

Komşu iki açıortayın açısı

Bir dörtgende iki komşu köşenin iç açıortaylarını çizersen dörtgenin içinde bir üçgen oluşur. Bu üçgenin tepe açısı, dörtgenin öbür iki açısına bağlıdır.

Sahnede $A$ ve $B$ köşelerinin iç açıortayları $E$ noktasında kesişiyor. $C$ ve $D$ köşelerini sürükle; ekranda $m(\widehat{AEB})$ ile $\dfrac{m(\widehat{C}) + m(\widehat{D})}{2}$ yan yana yazıyor ve hiç ayrılmıyorlar.

Örnek

zor

Açıortayların oluşturduğu açı

$ABCD$ dörtgeninde $m(\widehat{C}) = 124^\circ$ ve $m(\widehat{D}) = 86^\circ$ dir. $A$ ve $B$ köşelerindeki iç açıortaylar $E$ noktasında kesişiyor. $m(\widehat{AEB})$ kaç derecedir?

$\widehat{A}$ ve $\widehat{B}$ ayrı ayrı bilinmiyor ama toplamları biliniyor, çünkü dörtgenin iç açıları toplamı $360^\circ$ dir:

$m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 360^\circ - (124^\circ + 86^\circ) = 150^\circ$

$AEB$ üçgeninin $A$ ve $B$ köşelerindeki açıları, dörtgenin açılarının yarılarıdır. Toplamın yarısını almak yeter; tek tek bulmaya gerek yok:

$m(\widehat{EAB}) + m(\widehat{EBA}) = \dfrac{150^\circ}{2} = 75^\circ$

Üçgenin iç açıları toplamından üçüncü açı: $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ .

Sonuç

$m(\widehat{AEB}) = 105^\circ$ . Bu sayı $\dfrac{124^\circ + 86^\circ}{2}$ ile aynıdır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

ABCD

dörtgeninde

m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 150^\circ

dir.

A

B

köşelerindeki iç açıortayların kesiştiği

E

noktası için

m(\widehat{AEB})

kaç derecedir?

Açıklama

$m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 210^\circ$ , yarısı $105^\circ$ ; $m(\widehat{AEB}) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$ .

Köşegenin uzunluğu ve üçgen eşitsizliği

Üç kenarı verilen üçgen tektir. Dörtgende durum farklıdır: dört kenar uzunluğu dörtgeni belirlemez, şekil köşelerinden esner. Esnerken değişen şey köşegenin uzunluğudur.

Sahnede kenarları $6$ , $10$ , $4$ ve $7$ birim olan, köşelerinden menteşeli bir dörtgen var. Sürgüyle $[AC]$ köşegeninin uzunluğunu değiştir: çevre hep $27$ kalıyor ama açılar değişiyor. Köşegen $4$ e yaklaşırken $ABC$ üçgeni, $11$ e yaklaşırken $ACD$ üçgeni yassılaşıyor; köşegen bu iki sınırın dışına çıkamıyor.

Köşegen, dörtgeni iki üçgene ayırır ve iki üçgenin de kenarıdır. Bu yüzden uzunluğu iki üçgen eşitsizliğini birden sağlamak zorundadır.

Örnek

zor

Bahçeyi ikiye bölen çit

Dörtgen biçimindeki bir bahçenin köşeleri sırasıyla $A$ , $B$ , $C$ , $D$ dir ve $|AB| = 6$ m, $|BC| = 10$ m, $|CD| = 4$ m, $|DA| = 7$ m dir. $A$ ve $C$ köşeleri arasına düz bir çit çekilecektir. Çitin uzunluğu metre cinsinden tam sayı olduğuna göre kaç farklı değer alabilir?

Çit $[AC]$ köşegenidir; uzunluğuna $x$ de. $ABC$ üçgeninin kenarları $6$ , $10$ ve $x$ tir. Üçgen eşitsizliği:

$10 - 6 < x < 10 + 6 \quad\Rightarrow\quad 4 < x < 16$

$[AC]$ aynı zamanda $ACD$ üçgeninin kenarıdır; kenarlar $4$ , $7$ ve $x$ :

$7 - 4 < x < 7 + 4 \quad\Rightarrow\quad 3 < x < 11$

İkisi birden sağlanmalı. Alt sınır birinci üçgenden, üst sınır ikinci üçgenden gelir: $4 < x < 11$ .

Sonuç

$x \in \{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ ; çit $6$ farklı uzunlukta olabilir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

ABCD

dörtgeninde

|AB| = 3

birim ve

|BC| = 4

birimdir.

|AC|

aşağıdakilerden hangisi olamaz?

Açıklama

$ABC$ üçgeninde $1 < |AC| < 7$ olmalıdır. $|AC| = 7$ olursa $A$ , $B$ , $C$ doğrusal kalır; dörtgen oluşmaz.

Birleşik sorular

Zor sorular genellikle yeni bilgi istemez; düzgün çokgenin dış açısını, ikizkenar üçgeni ve dörtgenin açı toplamını aynı şekilde bir araya getirir.

Örnek

zor

Uzatılan iki kenar ve dış açılar

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ bir düzgün çokgenin ardışık dört köşesidir. $[AB]$ kenarının $B$ yönündeki uzantısı ile $[DC]$ kenarının $C$ yönündeki uzantısı $P$ noktasında kesişiyor. $m(\widehat{BPC}) = 100^\circ$ olduğuna göre bu çokgen kaç kenarlıdır?

$PBC$ üçgenine bak. $[BP]$ , $[AB]$ kenarının uzantısıdır; bu yüzden $\widehat{PBC}$ , çokgenin $B$ köşesindeki dış açısıdır. Aynı nedenle $\widehat{PCB}$ de $C$ köşesindeki dış açıdır.

Çokgen düzgün olduğundan dış açılar eşittir; ikisine de $d$ de. $PBC$ üçgeninin iç açıları toplamı:

$d + d + 100^\circ = 180^\circ \quad\Rightarrow\quad d = 40^\circ$

Dış açıdan kenar sayısına geç: $n = \dfrac{360^\circ}{40^\circ} = 9$ .

Sonuç

Çokgen $9$ kenarlıdır.

Örnek

zor

Düzgün çokgenin içindeki dörtgen

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ bir düzgün çokgenin ardışık dört köşesidir. $ABCD$ dörtgeninde $m(\widehat{BAD}) = 30^\circ$ olduğuna göre bu çokgen kaç kenarlıdır?

Dörtgenin $B$ ve $C$ köşelerindeki açıları, çokgenin iç açılarıdır. Dış açıya $d$ dersen ikisi de $180^\circ - d$ olur.

Dörtgenin iç açıları toplamı $360^\circ$ dir. Kalan iki açının toplamı:

$m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{CDA}) = 360^\circ - 2 \cdot (180^\circ - d) = 2d$

$|AB| = |CD|$ ve $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{BCD})$ olduğundan şekil, $[BC]$ kenarının orta dikmesine göre simetriktir; simetride $A$ ile $D$ yer değiştirir. Bu yüzden $m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CDA})$ ve her biri $d$ dir.

$d = 30^\circ$ ise $n = \dfrac{360^\circ}{30^\circ} = 12$ .

Sonuç

Çokgen $12$ kenarlıdır (iç açısı $150^\circ$ ; dörtgenin açıları $30^\circ$ , $150^\circ$ , $150^\circ$ , $30^\circ$ ).

Sahnede dene

Sahnede bir köşeye iki özdeş düzgün çokgen yerleştir ve kalan açıya bak. Hangi kenar sayılarında kalan açı yine bir düzgün çokgenin iç açısı oluyor? Beşgen için kalan $144^\circ$ (ongen), sekizgen için $90^\circ$ (kare), onikigen için $60^\circ$ (eşkenar üçgen).

Özet

Çokgen: bu sayfada dışbükey çokgen. Bir köşeden $n - 3$ köşegen çizilir, çokgen $n - 2$ üçgene ayrılır.
İç açılar toplamı: $(n - 2) \cdot 180^\circ$ .
Dış açılar toplamı: kenar sayısından bağımsız, $360^\circ$ . Aynı köşede iç açı ile dış açı bütünlerdir.
Düzgün çokgen: kenarlar eş ve açılar eş. Bir dış açı $\dfrac{360^\circ}{n}$ , bir iç açı $180^\circ - \dfrac{360^\circ}{n}$ . Önce dış açıyı bul.
Bir köşede buluşan çokgenler: boşluk yoksa o köşedeki açıların toplamı $360^\circ$ dir.
Dörtgen: $4$ köşe, $4$ kenar, $4$ iç açı, $2$ köşegen. İç açılar toplamı $360^\circ$ , dış açılar toplamı $360^\circ$ .
Dışbükey / içbükey dörtgen: bir iç açı $180^\circ$ den büyükse içbükey; o zaman bir köşegen dışarıda kalır.
Çevre: dört kenarın toplamı; köşegen dahil değildir.
Köşegen uzunluğu: ayırdığı iki üçgenin eşitsizliklerini birlikte sağlar.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

1 çıkmış soru7 özgün soru

2020 AYTSoru 34

Kolay

Bir köşede buluşan düzgün çokgenler

Şekildeki düzgün altıgen ile karenin birer kenarı ortaktır. Bir kenarı düzgün altıgenle, bir kenarı da kareyle ortak olacak biçimde, şekilde başlangıcı gösterilen bir düzgün çokgen çizilecektir.

Buna göre çizilecek düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

1. Ortak köşeyi bul. Altıgenin sağ alt köşesi aynı zamanda karenin sol alt köşesidir. Çizilecek çokgenin iki kenarı (altıgenin sağ alt kenarı ile karenin alt kenarı) bu köşede buluşur. Yani bu noktada üç çokgen bir araya gelir ve noktanın çevresini boşluksuz doldurur.

2. Bilinen iki açıyı yaz. Düzgün altıgenin bir iç açısı $180^\circ - \dfrac{360^\circ}{6} = 120^\circ$ , karenin bir iç açısı $90^\circ$ dir.

3. Kalan açı. Bir noktanın çevresi $360^\circ$ olduğundan yeni çokgenin bir iç açısı

$360^\circ - (120^\circ + 90^\circ) = 150^\circ$

4. Dış açıdan kenar sayısı. Bir dış açı $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ ; kenar sayısı $\dfrac{360^\circ}{30^\circ} = 12$ .

Tuzak: $150^\circ$ yi doğrudan $360^\circ$ ye bölmeye çalışmak. Kenar sayısını iç açı değil dış açı verir.

Cevap: B

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

İç açılar toplamı

Bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı $1620^\circ$ dir.

Buna göre bu çokgen kaç kenarlıdır?

Çözüm

$n$ kenarlı çokgenin iç açıları toplamı $(n - 2) \cdot 180^\circ$ dir.

$(n - 2) \cdot 180^\circ = 1620^\circ \quad\Rightarrow\quad n - 2 = 9 \quad\Rightarrow\quad n = 11$

Sağlama: on birgen bir köşesinden $9$ üçgene ayrılır, $9 \cdot 180^\circ = 1620^\circ$ .

Çeldirici: $1620 : 180 = 9$ sayısını kenar sayısı sanmak. Bu sayı üçgen sayısıdır ( $n - 2$ ).

Cevap: C

Özgün soru2

Kolay

Dörtgende iç açılar

$ABCD$ dörtgeninde

$m(\widehat{A}) = 3x, \quad m(\widehat{B}) = 2x + 10^\circ, \quad m(\widehat{C}) = x + 30^\circ, \quad m(\widehat{D}) = 4x - 20^\circ$

dir.

Buna göre bu dörtgenin en küçük iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm

1. Dörtgenin iç açıları toplamı $360^\circ$ dir:

$3x + (2x + 10^\circ) + (x + 30^\circ) + (4x - 20^\circ) = 10x + 20^\circ = 360^\circ \quad\Rightarrow\quad x = 34^\circ$

2. Açılar: $m(\widehat{A}) = 102^\circ$ , $m(\widehat{B}) = 78^\circ$ , $m(\widehat{C}) = 64^\circ$ , $m(\widehat{D}) = 116^\circ$ . Toplam $360^\circ$ ; sağlama tamam.

3. En küçüğü $m(\widehat{C}) = 64^\circ$ dir.

Çeldirici: $78^\circ$ , yani $\widehat{B}$ . Katsayısı en küçük olan ifade $x + 30^\circ$ olsa da karşılaştırmayı $x$ değerini yerine koyduktan sonra yap.

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Düzgün çokgende iç ve dış açı

$n$ kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, $2n$ kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsünden $15^\circ$ küçüktür.

Buna göre $n$ kaçtır?

İpucu

İç açılar arasındaki fark, dış açılar arasındaki farkla aynıdır; soruyu dış açılarla yaz.

Çözüm

1. Dış açılara geç. İç açı $= 180^\circ -$ dış açı olduğundan, iç açısı $15^\circ$ küçük olan çokgenin dış açısı $15^\circ$ büyüktür.

2. Denklemi kur. $n$ kenarlının dış açısı $\dfrac{360^\circ}{n}$ , $2n$ kenarlının dış açısı $\dfrac{360^\circ}{2n} = \dfrac{180^\circ}{n}$ dir.

$\dfrac{360^\circ}{n} - \dfrac{180^\circ}{n} = 15^\circ \quad\Rightarrow\quad \dfrac{180^\circ}{n} = 15^\circ \quad\Rightarrow\quad n = 12$

Sağlama: düzgün onikigenin iç açısı $150^\circ$ , düzgün yirmi dörtgenin iç açısı $180^\circ - 15^\circ = 165^\circ$ ; fark $15^\circ$ .

Çeldirici: farkı ters yazmak ( $\dfrac{180^\circ}{n} - \dfrac{360^\circ}{n}$ ) negatif sonuç verir; kenar sayısı artınca iç açı büyür, dış açı küçülür.

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

Ortak kenarlı düzgün çokgenler

Şekilde $[AB]$ kenarı ortak olan $ABCDE$ düzgün beşgeni ile $ABFGHK$ düzgün altıgeni verilmiştir.

Buna göre $m(\widehat{BCF})$ kaç derecedir?

İpucu

$B$ köşesinin çevresindeki üç açıyı yaz; sonra $BCF$ üçgeninin iki kenarının neden eş olduğunu düşün.

Çözüm

1. $B$ köşesinin çevresi. Beşgenin iç açısı $m(\widehat{ABC}) = 108^\circ$ , altıgenin iç açısı $m(\widehat{ABF}) = 120^\circ$ dir. İki çokgen $[AB]$ nin farklı yanlarında olduğundan

$m(\widehat{CBF}) = 360^\circ - (108^\circ + 120^\circ) = 132^\circ$

2. İkizkenar üçgen. İki çokgen de düzgündür ve $[AB]$ kenarını paylaşır; bu yüzden bütün kenarlar eştir: $|BC| = |AB| = |BF|$ . $BCF$ ikizkenar üçgendir.

3. Taban açısı.

$m(\widehat{BCF}) = \dfrac{180^\circ - 132^\circ}{2} = 24^\circ$

Çeldirici: $36^\circ$ , yani $360^\circ - 324^\circ$ ; bu, üç beşgenin bir köşede bıraktığı boşluktur ve bu soruyla ilgisi yoktur.

Cevap: A

Özgün soru5

Orta

Dörtgende açıortay

$ABCD$ dörtgeninde $A$ ve $B$ köşelerindeki iç açıortaylar şekildeki gibi $E$ noktasında kesişmektedir.

$m(\widehat{AEB}) = 96^\circ$ ve $m(\widehat{C}) - m(\widehat{D}) = 28^\circ$ dir.

Buna göre $m(\widehat{C})$ kaç derecedir?

İpucu

$AEB$ üçgeninden $m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})$ toplamını bul; dörtgenin iç açıları toplamı gerisini verir.

Çözüm

1. $AEB$ üçgeni. $[AE$ ve $[BE$ açıortay olduğundan üçgenin $A$ ve $B$ köşelerindeki açıları $\dfrac{m(\widehat{A})}{2}$ ve $\dfrac{m(\widehat{B})}{2}$ dir.

$\dfrac{m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})}{2} = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ \quad\Rightarrow\quad m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 168^\circ$

2. Dörtgenin iç açıları toplamı.

$m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 360^\circ - 168^\circ = 192^\circ$

3. Toplam ve fark. Toplam $192^\circ$ , fark $28^\circ$ : $2 \cdot m(\widehat{C}) = 220^\circ$ , $m(\widehat{C}) = 110^\circ$ (ve $m(\widehat{D}) = 82^\circ$ ).

Sağlama: $\dfrac{110^\circ + 82^\circ}{2} = 96^\circ = m(\widehat{AEB})$ .

Çeldirici: $82^\circ$ , yani $\widehat{D}$ ; farkın hangi açıdan çıkarıldığına dikkat et.

Cevap: E

Özgün soru6

Zor

Köşegen ve üçgen eşitsizliği

$ABCD$ dörtgeninde

$|AB| = 5 \text{ birim}, \quad |BC| = 7 \text{ birim}, \quad |CD| = 4 \text{ birim}, \quad |DA| = 9 \text{ birim}$

dir. $[BD]$ köşegeninin uzunluğu birim cinsinden bir tam sayıdır.

Buna göre $|BD|$ nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

İpucu

$[BD]$ iki üçgenin ortak kenarıdır. İki üçgen eşitsizliğini de yaz, sonra kesişimi al.

Çözüm

$|BD| = x$ olsun. $[BD]$ köşegeni dörtgeni $ABD$ ve $BCD$ üçgenlerine ayırır.

1. $ABD$ üçgeni (kenarlar $5$ , $9$ , $x$ ): $9 - 5 < x < 9 + 5$ , yani $4 < x < 14$ .

2. $BCD$ üçgeni (kenarlar $7$ , $4$ , $x$ ): $7 - 4 < x < 7 + 4$ , yani $3 < x < 11$ .

3. Kesişim. İkisi birlikte $4 < x < 11$ verir: $x \in \{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ .

$5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45$

Bu değerlerin her birinde $A$ ve $C$ köşeleri $[BD]$ nin farklı yanlarında, bütün iç açılar $180^\circ$ den küçük olacak biçimde bir dörtgen çizilebilir.

Tuzak: yalnızca bir üçgene bakmak. Yalnız $BCD$ ile $4 + 5 + \dots + 10 = 49$ , yalnız $ABD$ ile $5 + 6 + \dots + 13 = 81$ çıkar. Alt sınır $ABD$ üçgeninden, üst sınır $BCD$ üçgeninden gelir.

Cevap: B

Özgün soru7

Zor

Düzgün çokgende açı

$A$ , $B$ , $C$ ve $D$ bir düzgün çokgenin ardışık dört köşesidir. $[AC]$ ve $[BD]$ doğru parçaları şekildeki gibi $K$ noktasında kesişmektedir.

$m(\widehat{AKD}) = 144^\circ$ dir.

Buna göre bu çokgen kaç kenarlıdır?

İpucu

$ABC$ ve $BCD$ üçgenleri ikizkenardır ve birbirine eştir. $KBC$ üçgeninin taban açıları bu üçgenlerin taban açılarıdır.

Çözüm

1. Ters açı. $\widehat{AKD}$ ile $\widehat{BKC}$ ters açılardır: $m(\widehat{BKC}) = 144^\circ$ .

2. $KBC$ üçgeni. Çokgenin bir dış açısına $d$ diyelim; bir iç açısı $180^\circ - d$ olur. $|AB| = |BC|$ olduğundan $ABC$ ikizkenardır ve tepe açısı $180^\circ - d$ dir; taban açısı

$m(\widehat{BCA}) = \dfrac{180^\circ - (180^\circ - d)}{2} = \dfrac{d}{2}$

Aynı biçimde $BCD$ üçgeninden $m(\widehat{CBD}) = \dfrac{d}{2}$ . Bunlar $KBC$ üçgeninin $C$ ve $B$ köşelerindeki açılarıdır.

3. Açılar toplamı.

$\dfrac{d}{2} + \dfrac{d}{2} + 144^\circ = 180^\circ \quad\Rightarrow\quad d = 36^\circ$

4. Kenar sayısı. $n = \dfrac{360^\circ}{36^\circ} = 10$ .

Sağlama: düzgün ongenin iç açısı $144^\circ$ ; $ABC$ üçgeninin taban açıları $18^\circ$ , $KBC$ üçgeninde $18^\circ + 18^\circ + 144^\circ = 180^\circ$ .

Not: $m(\widehat{BKC}) = 180^\circ - d$ olduğundan bu açı her zaman çokgenin bir iç açısına eşittir. Çeldirici: $144^\circ$ yi dış açı sanıp $360 : 144$ bölmesine girişmek; sonuç tam sayı çıkmaz.

Cevap: C