17Konu 17 / 49
Sayma ve Olasılık

Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı

Pascal üçgenini kurup her sayısının bir kombinasyon olduğunu görüyoruz; sonra iki terimli bir ifadenin kuvvetini binom formülüyle açmayı, genel terimle istenen terimi, sabit terimi ve katsayılar toplamını bulmayı öğreniyoruz.

10. sınıf
AYT sıklığı
50 dk

LevhaPascal Üçgeni ve Binom AçılımıPascal Üçgeni ve Binom Açılımı

Çivili bir tahtanın tepesinden bir bilye bırakıyorsun. Bilye her sırada bir çiviye çarpıyor ve ya sola ya sağa sapıyor. Dört sıra sonra beş hazneden birine düşecek: ortadaki hazneye kaç farklı yoldan inebilir? Yanıt $6$ . Aynı $6$ , $(a + b)^4$ açılımında $a^2b^2$ teriminin önünde duran sayıdır; bu sayfa ikisinin neden aynı sayı olduğunu gösteriyor.

Isınma

Başlamadan: kombinasyon ve üslü ifadeler

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\dbinom{6}{2}

, yani

C(6, 2)

kaçtır?

Açıklama

$\dbinom{6}{2} = \dfrac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$ . Ayrıntısı Permütasyon ve Kombinasyon sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\dbinom{10}{7}

aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Açıklama

$10$ elemandan $7$ ‘sini seçmek, dışarıda kalacak $3$ elemanı seçmekle aynı iştir: $\dbinom{n}{r} = \dbinom{n}{n - r}$ . İkisi de $120$ ‘dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(x^2)^3 \cdot \left(\dfrac{2}{x}\right)^2

ifadesinin sade biçimi hangisidir?

Açıklama

$(x^2)^3 = x^6$ ve $\left(\dfrac{2}{x}\right)^2 = \dfrac{4}{x^2} = 4x^{-2}$ . Çarpım: $4x^{6 - 2} = 4x^4$ . Bu sayfadaki işlemlerin çoğu tam olarak bu hesaptır.

Temel

Pascal üçgeni ve açılımın ilk hâli

Pascal üçgenini kurmak

Tepeye bir $1$ yaz. Her yeni satırın iki ucuna $1$ koy; aradaki her sayıyı, hemen üstündeki iki sayıyı toplayarak bul. Bu kadar: kural tek cümle, ama üçgenin içinde bu sayfadaki her şey saklı.

Pascal üçgeninin ilk yedi satırı.

4

. satırdaki

4

ile

6

, altlarındaki

10

'u verir.

Sahnede üçgen satır satır büyüyor. Satır sürgüsünü ilerlet: her yeni sayı, üstündeki iki sayıdan inen iki çizginin birleştiği yerde beliriyor. Bir hücreye dokunursan onu oluşturan iki komşu yanar.

Örnek

kolay

Bir satırdan sonrakini yazmak

Pascal üçgeninin $6$ . satırı $1,\ 6,\ 15,\ 20,\ 15,\ 6,\ 1$ sayılarından oluşur. $7$ . satırı yaz.

$7$ . satırda $7 + 1 = 8$ sayı olacak. İki uç her zaman $1$ ‘dir, çünkü uçtaki sayının üstünde tek bir komşu ( $1$ ) vardır.

Aradaki altı sayıyı, $6$ . satırdaki yan yana duran çiftleri toplayarak bul:

$1 + 6 = 7 \qquad 6 + 15 = 21 \qquad 15 + 20 = 35$

Kalan üç toplamı hesaplamana gerek yok. $6$ . satır ortasına göre simetrik olduğundan toplamlar da geri döner: $35,\ 21,\ 7$ .

Sonuç

$7$ . satır: $1,\ 7,\ 21,\ 35,\ 35,\ 21,\ 7,\ 1$

Bu üçgen Blaise Pascal’ın adını taşır, çünkü Pascal 1654’te üçgenin özelliklerini derli toplu bir incelemede toplamıştır. Ama üçgen ondan yüzyıllar önce biliniyordu. Hindistan’da Pingala’nın şiir ölçüleri üzerine çalışmasını yorumlayan Halayudha 10. yüzyılda üçgeni tarif etti. İslam dünyasında el-Kerecî binom katsayılarının tablosunu verdi; Ömer Hayyam (1048–1131) bu katsayıları sayıların köklerini bulmakta kullandı.

Çin’de Yang Hui 1261’de üçgeni kitabına çizdi ve onu kendinden iki yüzyıl önce yaşamış Jia Xian’a dayandırdı. Bugün aynı üçgene İran’da Hayyam üçgeni, Çin’de Yang Hui üçgeni denir. Matematik bilgisi tek bir kişinin ya da tek bir kültürün ürünü değildir; birbirinden habersiz medeniyetler aynı düzeni bulmuştur.

Her sayı bir kombinasyondur

Kancadaki tahtaya dön. Bilyenin bir hazneye inen her yolu, “sol” ve “sağ” sapmalardan oluşan bir dizidir. Dört sıranın ikisinde sağa sapan bilye ortadaki hazneye düşer. Dört sapmadan hangi ikisinin sağ olacağını seçmenin $\dbinom{4}{2} = 6$ yolu vardır.

Her dairede oraya kaç yoldan gelindiği yazıyor. Bir çiviye ya sol üstten ya sağ üstten gelinir; bu yüzden yol sayıları toplanır.

Bir çiviye yalnızca sol üstündeki ya da sağ üstündeki çividen gelinebilir. O çiviye gelen yolların sayısı, bu ikisine gelen yolların toplamıdır. Bu, Pascal üçgeninin kuralının ta kendisi; demek ki tahtadaki yol sayıları ile üçgendeki sayılar aynıdır.

Sahnede bir hücre seç: $n$ sürgüsü satırı, $r$ sürgüsü o satırdaki sırayı belirliyor. Tepeden o hücreye inen bütün yollar birer birer çiziliyor ve sayaç her yolda bir artıyor. Sayaç durduğunda gösterdiği sayı hücrede yazan sayıdır: $\dbinom{n}{r}$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Pascal üçgeninin

8

. satırında soldan üçüncü sayı kaçtır?

Açıklama

Soldan üçüncü sayı $r = 2$ ‘dir: $\dbinom{8}{2} = \dfrac{8 \cdot 7}{2} = 28$ .

Bir satırın toplamı ve simetrisi

Bir satırdaki her sayı, alt satıra iki kez taşınır: bir sol alttaki toplama, bir de sağ alttaki toplama girer. Bu yüzden her satırın toplamı bir üsttekinin iki katıdır. $0$ . satırın toplamı $1$ olduğuna göre $n$ . satırın toplamı $2^n$ ‘dir.

3

. satırdaki her sayı

4

. satıra iki okla iner; toplam

8

'den

16

'ya çıkar.

Sahnede seçtiğin satır sütunlara dönüşüyor: her sütunun yüksekliği o sayı kadar. Sürgüyle $n$ değerini bir artır; her sütun ikiye bölünüp yarım adım sola ve sağa kayıyor, toplam göstergesi ikiye katlanıyor. Sütunların ortadaki eksene göre ayna gibi durduğuna da bak.

Örnek

kolay

Toplamdan satırı bulmak

Pascal üçgeninin bir satırındaki sayıların toplamı $256$ ‘dır. Bu satırda kaç sayı vardır ve en büyüğü kaçtır?

$n$ . satırın toplamı $2^n$ ‘dir. $2^n = 256 = 2^8$ olduğundan bu, $8$ . satırdır.

$n$ . satırda $n + 1$ sayı bulunur, çünkü $r$ değeri $0$ ‘dan $n$ ‘ye kadar gider. Burada $8 + 1 = 9$ sayı var.

Sayılar ortaya doğru büyür ve satır simetriktir. $9$ sayının ortancası beşinci sayıdır, yani $r = 4$ : $\dbinom{8}{4} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$ .

Sonuç

Satırda $9$ sayı vardır; en büyüğü $70$ ‘tir.

$(a + b)^n$ açılımı

İlk kuvvetleri elle aç ve katsayılara bak:

\begin{aligned} (a + b)^1 &= a + b \\ (a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ (a + b)^3 &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{aligned}

Katsayılar $1\ 1$ , sonra $1\ 2\ 1$ , sonra $1\ 3\ 3\ 1$ : Pascal üçgeninin satırları. Bu bir rastlantı değil.

$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)(a + b)$ çarpımını açarken her parantezden ya $a$ ya $b$ alırsın. $a^2b$ elde etmek için üç parantezin birinden $b$ , diğer ikisinden $a$ alman gerekir. $b$ ‘yi alacağın parantezi $\dbinom{3}{1} = 3$ yolla seçersin; $a^2b$ ‘nin katsayısı bu yüzden $3$ ‘tür.

(a + b)^3

: sekiz çarpım, içerdikleri

b

sayısına göre

1, 3, 3, 1

tanelik öbeklere ayrılır.

Sahnede $n$ tane parantez yan yana. Her parantezden bir harf seçilerek oluşan bütün çarpımlar birer karo olarak diziliyor; sonra aynı sayıda $b$ içeren karolar aynı sütunda toplanıyor. $n$ sürgüsünü $2$ ‘den $5$ ‘e götür: sütun yükseklikleri her seferinde Pascal üçgeninin $n$ . satırını veriyor.

Örnek

kolay

Pascal satırıyla açmak

$(x + 2)^4$ ifadesini aç.

$n = 4$ olduğundan katsayılar $4$ . satırdan gelir: $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$ . Beş terim olacak.

İskeleti yaz: $x$ ‘in üssü $4$ ‘ten $0$ ‘a iner, $2$ ‘nin üssü $0$ ‘dan $4$ ‘e çıkar. $2$ ‘yi şimdilik parantez içinde tut, çünkü kuvveti ayrıca hesaplanacak:

$1 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot 2 + 6 \cdot x^2 \cdot 2^2 + 4 \cdot x \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^4$

Her terimde sayıları çarp: $4 \cdot 2 = 8$ , $6 \cdot 4 = 24$ , $4 \cdot 8 = 32$ , $2^4 = 16$ .

Sonuç

$(x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$

Sağlama: $x = 1$ yaz. Sol taraf $3^4 = 81$ , sağ taraf $1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(a + b)^5

açılımında

a^2b^3

teriminin katsayısı kaçtır?

Açıklama

$5$ . satır: $1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$ . $b$ ‘nin üssü $3$ olan terimin katsayısı $\dbinom{5}{3} = 10$ ‘dur.

Orta

Binom formülü, genel terim ve katsayılar toplamı

Binom formülü

İki terimli ifadeye binom denir. $(a + b)^{12}$ için üçgenin on iki satırını yazmak yorucu; Pascal satırındaki sayıların kombinasyon olduğunu bildiğimize göre açılımı doğrudan yazabiliriz.

Formüldeki $a$ ve $b$ tek harf olmak zorunda değil: $2x$ , $-y$ , $x^2$ , $\dfrac{3}{x}$ gibi ifadeler de olabilir. O zaman kuvvet, ifadenin tamamına uygulanır.

Örnek

orta

Katsayılı ve eksili binom

$(2x - y)^4$ ifadesini aç.

Formüle uydur: $a = 2x$ ve $b = -y$ . Eksi işareti $b$ ‘nin parçasıdır; bu yolu seçiyoruz çünkü böylece işaretleri ayrıca düşünmeye gerek kalmaz, kuvvet kendisi halleder.

Kombinasyonlar $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$ . Beş terimi parantezleri bozmadan yaz, çünkü kuvvet parantezin tamamına aittir:

\begin{aligned} &(2x)^4 + 4 \cdot (2x)^3 \cdot (-y) \\ &+ 6 \cdot (2x)^2 \cdot (-y)^2 \\ &+ 4 \cdot (2x) \cdot (-y)^3 + (-y)^4 \end{aligned}

Kuvvetleri al. $(2x)^4 = 16x^4$ , $(2x)^3 = 8x^3$ , $(2x)^2 = 4x^2$ . $(-y)$ ‘nin tek kuvvetleri eksi, çift kuvvetleri artıdır.

Sonuç

$(2x - y)^4 = 16x^4 - 32x^3y + 24x^2y^2 - 8xy^3 + y^4$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(x - 3)^4

açılımında

x^3

‘lü terimin katsayısı kaçtır?

Açıklama

$x^3$ için $b = -3$ ‘ün üssü $1$ olmalı: $\dbinom{4}{1} \cdot x^3 \cdot (-3) = -12x^3$ .

Genel terim

Sınavda açılımın tamamı istenmez; tek bir terim istenir. O terimi, açılımı yazmadan bulmak için bütün terimleri tek kalıpta toplayan ifadeyi kullanırız.

İstenen terimi bulmanın yolu hep aynıdır: genel terimi yaz, $x$ ‘in üssünü $r$ cinsinden topla, istenen üsse eşitle, $r$ ‘yi bul, katsayıyı hesapla.

Sahnede $\left(x^2 + \dfrac{2}{x}\right)^6$ açılımının yedi terimi, $x$ ‘in üssüne göre bir sayı doğrusuna dizili. $r$ sürgüsünü ilerlet: seçili terim her adımda üç birim sola kayıyor, çünkü bir $x^2$ gidip yerine bir $\dfrac{1}{x}$ geliyor. Göstergede terimin üssünü ve katsayısını izle; üssün $0$ olduğu yerde sabit terimi yakala.

Örnek

orta

İstenen kuvvetin katsayısı ve sabit terim

$\left(x^2 + \dfrac{2}{x}\right)^6$ ifadesinin açılımında $x^3$ ‘lü terimin katsayısı ve sabit terim kaçtır?

Genel terimi yaz: $a = x^2$ , $b = \dfrac{2}{x} = 2x^{-1}$ , $n = 6$ . Kesri negatif üsle yazıyoruz, çünkü üsleri toplamak böyle kolaylaşır.

$\dbinom{6}{r} \cdot (x^2)^{6 - r} \cdot (2x^{-1})^{r} = \dbinom{6}{r} \cdot 2^r \cdot x^{12 - 3r}$

$x^3$ için üssü $3$ ‘e eşitle: $12 - 3r = 3$ , buradan $r = 3$ . Katsayı: $\dbinom{6}{3} \cdot 2^3 = 20 \cdot 8 = 160$ .

Sabit terim, içinde $x$ bulunmayan terimdir; yani $x$ ‘in üssü $0$ ‘dır. $12 - 3r = 0$ , buradan $r = 4$ . Değeri: $\dbinom{6}{4} \cdot 2^4 = 15 \cdot 16 = 240$ .

Sonuç

$x^3$ ‘lü terimin katsayısı $160$ , sabit terim $240$ ‘tır.

\left(x^2 + \dfrac{2}{x}\right)^6

açılımının terimleri: çubukların altında

x

'in üssü, üstünde katsayı. Üs

0

olan terim sabit terimdir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^8

açılımındaki sabit terim kaçtır?

Açıklama

Genel terim $\dbinom{8}{r} x^{8 - r} \cdot x^{-r} = \dbinom{8}{r} x^{8 - 2r}$ . $8 - 2r = 0$ için $r = 4$ ve $\dbinom{8}{4} = 70$ .

Baştan, sondan ve ortadaki terim

Sıra numarası verilen sorularda tek yapman gereken numarayı $r$ ‘ye çevirmektir. Baştan $1$ . terimde $r = 0$ olduğundan baştan $k$ . terimde $r = k - 1$ ‘dir. Açılımda $n + 1$ terim bulunduğundan sondan $k$ . terimde $r = n - k + 1$ ‘dir.

Örnek

orta

Sıra numarasından terime

$(2x + y)^6$ ifadesinin açılımı $x$ ‘in azalan kuvvetlerine göre yazılıyor. Baştan $3$ . terimi ve ortadaki terimi bul.

Baştan $3$ . terim için $r = 3 - 1 = 2$ al; $r = 3$ almak bir terim kaydırır.

$\dbinom{6}{2} \cdot (2x)^{4} \cdot y^{2} = 15 \cdot 16x^4 \cdot y^2 = 240x^4y^2$

Açılımda $6 + 1 = 7$ terim var. Tek sayıda terim olduğundan tam ortada bir terim bulunur: baştan $4$ . terim, yani $r = 3$ .

Ortadaki terimi hesapla: $\dbinom{6}{3} \cdot (2x)^{3} \cdot y^{3} = 20 \cdot 8x^3 \cdot y^3 = 160x^3y^3$ .

Sonuç

Baştan $3$ . terim $240x^4y^2$ , ortadaki terim $160x^3y^3$ ‘tür.

Katsayılar toplamı ve sabit terim

Bir açılımı yazmadan bütün katsayılarını toplayabilirsin. Açılım $x$ ‘e göre bir özdeşliktir, yani her $x$ değeri için doğrudur. $x = 1$ yazarsan sağ tarafta $x$ ‘in bütün kuvvetleri $1$ olur ve geriye yalnızca katsayılar kalır.

Sahnede $(2x - 1)^4$ açılımının beş terimi, o anki $x$ için aldıkları değer kadar uzun çubuklar olarak duruyor; eksi değerli çubuklar aşağı bakıyor. $x$ sürgüsünü $1$ ‘e getir: her çubuk kendi katsayısına eşitlenir ve toplam göstergesi $(2 \cdot 1 - 1)^4 = 1$ yazar. Sürgüyü $0$ ‘a çek: sabit terim dışındaki bütün çubuklar söner.

Örnek

orta

Sabit terimi ayırarak toplam

$(3x - 2)^5$ ifadesinin açılımında $x$ içeren terimlerin katsayıları toplamı kaçtır?

Bütün katsayıların toplamı için $x = 1$ yaz: $(3 \cdot 1 - 2)^5 = 1^5 = 1$ . Bu toplamın içinde sabit terim de var.

Soru yalnızca $x$ içeren terimleri istiyor; bu yüzden sabit terimi ayrıca bulup çıkaracağız. Sabit terim için $x = 0$ yaz: $(0 - 2)^5 = -32$ .

Sabit terimi toplamdan çıkar: $1 - (-32) = 33$ .

Sonuç

$x$ içeren terimlerin katsayıları toplamı $33$ ‘tür.

Sağlama için açılımın katsayıları: $243,\ -810,\ 1080,\ -720,\ 240,\ -32$ . İlk beşinin toplamı $33$ ‘tür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(3x - y)^6

ifadesinin açılımındaki katsayıların toplamı kaçtır?

Açıklama

$x = 1$ ve $y = 1$ yaz: $(3 - 1)^6 = 2^6 = 64$ . Sonucun $2^6$ çıkması burada rastlantıdır; $2$ , parantezin içinden geldi.

Açılım bir hesabı kısaltırken

Örnek

orta

Büyüyen buz kalıbı

Küp biçimindeki bir buz kalıbının ayrıtı $x$ cm’dir. Üretici her ayrıtı $2$ cm uzatınca kalıbın hacmi $218$ cm³ artıyor. $x$ kaçtır?

Yeni hacim $(x + 2)^3$ , eski hacim $x^3$ . Fark $218$ ‘dir. Küpü açmamız gerekiyor, çünkü ancak o zaman $x^3$ terimleri birbirini götürür.

$3$ . satır $1,\ 3,\ 3,\ 1$ :

\begin{aligned} (x + 2)^3 &= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 \\ &= x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \end{aligned}

Farkı yaz ve sadeleştir: $6x^2 + 12x + 8 = 218$ , yani $6x^2 + 12x - 210 = 0$ . Her yanı $6$ ‘ya böl: $x^2 + 2x - 35 = 0$ , $(x + 7)(x - 5) = 0$ .

Uzunluk negatif olamaz; $x = 5$ . Sağlama: $7^3 - 5^3 = 343 - 125 = 218$ .

Sonuç

$x = 5$ cm

İleri

Sınav düzeyi: parametre, sabit terim ve eşit katsayılar

Parametreli açılımlar

Sınav sorularında genel terim bir araçtır; asıl soru, katsayının içine saklanmış bir bilinmeyendir. Yol değişmez: iki terimi de genel terimle yaz, verilen koşulu denkleme çevir.

Örnek

zor

İki katsayıdan parametre

$a$ pozitif bir gerçek sayı olmak üzere $\left(x^2 + \dfrac{a}{x}\right)^6$ ifadesinin açılımındaki sabit terim, $x^3$ ‘lü terimin katsayısının $3$ katıdır. $a$ kaçtır?

Genel terimi $a$ ‘yı taşıyarak yaz. $a$ bilinmediği için kuvveti katsayıda harf olarak kalır:

$\dbinom{6}{r} \cdot (x^2)^{6 - r} \cdot \left(\dfrac{a}{x}\right)^{r} = \dbinom{6}{r} \cdot a^r \cdot x^{12 - 3r}$

Sabit terim: $12 - 3r = 0$ , $r = 4$ . Değeri $\dbinom{6}{4} \cdot a^4 = 15a^4$ .

$x^3$ ‘lü terim: $12 - 3r = 3$ , $r = 3$ . Katsayısı $\dbinom{6}{3} \cdot a^3 = 20a^3$ .

Koşulu yaz: $15a^4 = 3 \cdot 20a^3$ . $a > 0$ olduğundan iki yanı $a^3$ ‘e bölebiliriz: $15a = 60$ .

Sonuç

$a = 4$

Sabit terim her açılımda yoktur

Sabit terim için $x$ ‘in üssünü sıfır yapan $r$ değeri $0$ ile $n$ arasında bir tam sayı olmalıdır. Denklem kesirli bir $r$ veriyorsa o açılımda sabit terim yoktur. Bu koşul, üssü bilinmeyen sorularda $n$ hakkında bilgi verir.

Sahnede $\left(x + \dfrac{5}{x^m}\right)^n$ açılımının terimleri yine üs doğrusunda. $m$ ve $n$ sürgüleriyle oyna: terimler arasındaki adım $m + 1$ , ilk terimin yeri $n$ . Bir terim tam $0$ ‘ın üstüne oturduğunda sabit terim yanar ve değeri yazılır; oturmuyorsa “sabit terim yok” görünür. Değeri $60$ yapan $m$ ve $n$ çiftini ara.

Örnek

zor

Üs bilinmiyorsa

$n$ , $10$ ‘dan küçük bir pozitif tam sayıdır. $\left(x^3 + \dfrac{1}{x^2}\right)^n$ ifadesinin açılımında bir sabit terim bulunduğuna göre bu sabit terim kaçtır?

Genel terim: $\dbinom{n}{r} \cdot (x^3)^{n - r} \cdot (x^{-2})^{r} = \dbinom{n}{r} \cdot x^{3n - 5r}$ .

Sabit terim için $3n - 5r = 0$ , yani $3n = 5r$ . Sağ taraf $5$ ‘in katı; $3$ ile $5$ aralarında asal olduğundan $n$ de $5$ ‘in katı olmalıdır.

$10$ ‘dan küçük tek uygun değer $n = 5$ ‘tir. O zaman $5r = 15$ , $r = 3$ ; bu değer $0$ ile $5$ arasında bir tam sayıdır, yani terim gerçekten vardır.

Değeri hesapla: $\dbinom{5}{3} = 10$ . Terimlerin içinde başka sayı olmadığından katsayı yalnızca kombinasyondur.

Sonuç

Sabit terim $10$ ‘dur.

Eşit katsayılar ve simetri

İki terimin katsayısı eşit veriliyorsa çoğu zaman iki kombinasyon eşitlenir. $\dbinom{n}{p} = \dbinom{n}{q}$ eşitliğinde $p \neq q$ ise simetri gereği $p + q = n$ olmalıdır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(1 + x)^n

açılımında

x^3

‘lü terimin katsayısı ile

x^7

‘li terimin katsayısı eşittir.

n

kaçtır?

Açıklama

Katsayılar $\dbinom{n}{3}$ ve $\dbinom{n}{7}$ ‘dir. Alt sayılar farklı olduğundan $3 + 7 = n$ , yani $n = 10$ . Gerçekten $\dbinom{10}{3} = \dbinom{10}{7} = 120$ .

Örnek

zor

Çivili tahtada komşu hazneler

Bir bilim merkezindeki çivili tahtada $8$ sıra çivi ve altta, soldan sağa $0$ ‘dan $8$ ‘e numaralanmış $9$ hazne vardır. Her sırada sola ya da sağa sapan bilye, sağa saptığı sıra sayısı kadar numaralı hazneye düşer. Tahtadan, her farklı yoldan tam bir bilye geçecek biçimde $256$ bilye bırakılıyor. Yan yana duran iki hazneden soldakinde biriken bilye sayısının sağdakine oranı $\dfrac{4}{5}$ ‘tir. Bu iki haznede toplam kaç bilye vardır?

$r$ numaralı hazneye inen yol sayısı, $8$ sapmadan $r$ tanesinin sağa olmasını seçme sayısıdır: $\dbinom{8}{r}$ . Toplam yol $2^8 = 256$ olduğundan her haznedeki bilye sayısı Pascal üçgeninin $8$ . satırıdır.

$8$ . satırı yaz. $7$ . satır $1,\ 7,\ 21,\ 35,\ 35,\ 21,\ 7,\ 1$ idi; komşuları toplayınca

$1,\ 8,\ 28,\ 56,\ 70,\ 56,\ 28,\ 8,\ 1$

Soldaki sayının sağdakine oranı $\dfrac{4}{5}$ olan komşu çifti ara. Oran $1$ ‘den küçük olduğundan çift, satırın artan (sol) yarısındadır: $\dfrac{1}{8},\ \dfrac{8}{28} = \dfrac{2}{7},\ \dfrac{28}{56} = \dfrac{1}{2},\ \dfrac{56}{70} = \dfrac{4}{5}$ .

Aranan hazneler $3$ ve $4$ numaralı haznelerdir; içlerinde $56$ ve $70$ bilye vardır.

Sonuç

İki haznede toplam $56 + 70 = 126$ bilye vardır.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Pascal üçgeni: uçlar $1$ , aradaki her sayı üstündeki iki sayının toplamı. Satırlar ve sıralar $0$ ‘dan sayılır; $n$ . satırın $r$ . sayısı $\dbinom{n}{r}$ ‘dir.
$n$ . satırda $n + 1$ sayı vardır, satır simetriktir ve toplamı $2^n$ ‘dir.
Binom formülü: $(a + b)^n$ açılımının katsayıları $n$ . Pascal satırıdır; $a$ ‘nın üssü azalır, $b$ ‘nin üssü artar.
Genel terim: $\dbinom{n}{r} a^{n - r} b^{r}$ ; baştan $(r + 1)$ . terimdir. Katsayıya $a$ ve $b$ ‘nin içindeki sayılar ve işaret de girer.
İstenen terim: genel terimi yaz, $x$ ‘in üssünü istenen değere eşitle, $r$ ‘yi bul. Sabit terimde üs $0$ ‘dır; $r$ tam sayı çıkmazsa sabit terim yoktur.
Katsayılar toplamı: değişkenlere $1$ yaz. Polinomda sabit terim: $x = 0$ yaz.
Eşit katsayılar: $\dbinom{n}{p} = \dbinom{n}{q}$ ve $p \neq q$ ise $p + q = n$ .
Pascal üçgeni Pascal’dan çok önce Hint, Çin ve İslam medeniyetlerinde, aralarında Ömer Hayyam’ın da bulunduğu matematikçilerce incelenmiştir.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

7 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 14

Orta

Sabit terim

$a$ sıfırdan farklı bir gerçel sayıdır.

$\left(x^2 + \dfrac{a}{x}\right)^{12}$ ifadesinin açılımındaki sabit terim ile $\left(x^3 - \dfrac{a}{x}\right)^{12}$ ifadesinin açılımındaki sabit terim toplanınca $0$ elde ediliyor.

Buna göre $a$ kaçtır?

İpucu

İki açılımın sabit terimini ayrı ayrı bul. İkincisinde eksi işaretini $b$ 'nin içinde taşı; $r$ tek mi çift mi, ona göre işaret belli olur.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Birinci açılım. Genel terim

$\dbinom{12}{r} \cdot (x^2)^{12 - r} \cdot \left(\dfrac{a}{x}\right)^{r} = \dbinom{12}{r} \cdot a^r \cdot x^{24 - 3r}$

Sabit terim için $24 - 3r = 0$ , $r = 8$ : $\dbinom{12}{8} a^8 = 495\,a^8$ .

2. İkinci açılım. Genel terim

$\dbinom{12}{r} \cdot (x^3)^{12 - r} \cdot \left(-\dfrac{a}{x}\right)^{r} = \dbinom{12}{r} \cdot (-a)^r \cdot x^{36 - 4r}$

Sabit terim için $36 - 4r = 0$ , $r = 9$ : $\dbinom{12}{9} (-a)^9 = -220\,a^9$ .

3. Toplam sıfır. $495\,a^8 - 220\,a^9 = 0$ . $a \neq 0$ olduğundan $a^8$ 'e bölünür:

$495 = 220\,a \Rightarrow a = \dfrac{495}{220} = \dfrac{9}{4}$

Tuzak: ikinci açılımda $r = 9$ tek olduğu için terim eksidir. İşareti unutursan toplam sıfır olamaz ve soru çözümsüz görünür.

Cevap: E

2025 AYTSoru 14

Zor

Eşit katsayılar

$n$ bir pozitif tam sayıdır.

$(x^2 + x)^n$

ifadesinin açılımında $x^{19 - n}$ 'li terimin katsayısı da $x^{16 - n}$ 'li terimin katsayısı da aynı $k$ pozitif tam sayısıdır.

Buna göre $k$ kaçtır?

İpucu

Terimlerin içinde başka sayı yok; katsayılar yalnızca kombinasyondur. İki kombinasyon ne zaman eşit olur?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Genel terim. $a = x^2$ , $b = x$ alınır:

$\dbinom{n}{r} \cdot (x^2)^{n - r} \cdot x^{r} = \dbinom{n}{r} \cdot x^{2n - r}$

2. İki terimin $r$ değerleri.

$2n - r = 19 - n$ için $r = 3n - 19$ .
$2n - r = 16 - n$ için $r = 3n - 16$ .

3. Katsayıları eşitle. $\dbinom{n}{3n - 19} = \dbinom{n}{3n - 16}$ . Alt sayılar farklı olduğundan toplamları $n$ olmalıdır:

$(3n - 19) + (3n - 16) = n \Rightarrow 5n = 35 \Rightarrow n = 7$

4. $k$ . $r = 3 \cdot 7 - 19 = 2$ ve $r = 3 \cdot 7 - 16 = 5$ ; ikisi de $0$ ile $7$ arasındadır.

$k = \dbinom{7}{2} = \dbinom{7}{5} = 21$

Sağlama: terimler $x^{12}$ ve $x^{9}$ 'dur; $(x^2 + x)^7 = x^7(x + 1)^7$ açılımında ikisinin katsayısı da $21$ 'dir.

Cevap: E

2024 AYTSoru 16

Zor

Sabit terim

$m$ ve $n$ birer doğal sayıdır.

$\left(x + \dfrac{5}{x^m}\right)^n$

ifadesinin açılımındaki sabit terim $60$ 'tır.

Buna göre $m + n$ toplamı kaçtır?

İpucu

Sabit terimin değeri $\dbinom{n}{r} \cdot 5^r$ biçimindedir. $60$ sayısının içinde kaç tane $5$ çarpanı var?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Genel terim.

$\dbinom{n}{r} \cdot x^{n - r} \cdot \left(\dfrac{5}{x^m}\right)^{r} = \dbinom{n}{r} \cdot 5^r \cdot x^{\,n - r - mr}$

2. Sabit terim koşulları. Üs sıfır olmalı: $n = r(m + 1)$ . Terimin değeri: $\dbinom{n}{r} \cdot 5^r = 60$ .

3. $r$ 'yi belirle. $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ sayısında yalnızca bir tane $5$ çarpanı vardır.

$r \geq 2$ olsaydı $5^r$ , yani en az $25$ , $60$ 'ı bölmek zorunda kalırdı; bölmez.
$r = 0$ olsaydı terim $\dbinom{n}{0} = 1$ olurdu.

Öyleyse $r = 1$ .

4. $n$ ve $m$ . $\dbinom{n}{1} \cdot 5 = 60$ , $n = 12$ . Üs koşulundan $12 = 1 \cdot (m + 1)$ , $m = 11$ .

$m + n = 11 + 12 = 23$

Tuzak: iki bilinmeyen, tek sayı. Soruyu açan şey kombinasyonun tam sayı olması ve $60$ 'ın $25$ 'e bölünmemesidir.

Cevap: E

2023 AYTSoru 12

Orta

Bir katsayıdan parametre

$a$ pozitif bir gerçel sayıdır.

$\left(x + \dfrac{a - 7}{x}\right)^{13}$

ifadesinin açılımında $x^{11}$ 'li terimin katsayısı $\dfrac{234}{a}$ 'ya eşittir.

Buna göre $a$ kaçtır?

İpucu

$x^{11}$ , açılımın baştan ikinci terimidir. Katsayısını $a$ cinsinden yazınca ikinci dereceden bir denklem çıkar.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Genel terim.

$\dbinom{13}{r} \cdot x^{13 - r} \cdot \left(\dfrac{a - 7}{x}\right)^{r} = \dbinom{13}{r} \cdot (a - 7)^r \cdot x^{13 - 2r}$

2. İstenen terim. $13 - 2r = 11$ , $r = 1$ . Katsayı $\dbinom{13}{1} \cdot (a - 7) = 13(a - 7)$ .

3. Denklem.

$13(a - 7) = \dfrac{234}{a} \Rightarrow a(a - 7) = 18 \Rightarrow a^2 - 7a - 18 = 0$

$(a - 9)(a + 2) = 0$ ve $a > 0$ olduğundan $a = 9$ .

Sağlama: $13 \cdot (9 - 7) = 26$ ve $\dfrac{234}{9} = 26$ .

Cevap: A

2022 AYTSoru 13

Orta

İki katsayıdan parametre

$a$ pozitif bir gerçel sayıdır.

$\left(x + \dfrac{a}{x}\right)^{10}$

ifadesi açıldığında $x^{-2}$ 'li terimin katsayısı, $x^2$ 'li terimin katsayısının $16$ katı çıkmaktadır.

Buna göre $a$ kaçtır?

İpucu

İki terimi de genel terimle yaz. Kombinasyonları hesaplamadan önce birbirlerine eşit olup olmadıklarına bak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Genel terim.

$\dbinom{10}{r} \cdot x^{10 - r} \cdot \left(\dfrac{a}{x}\right)^{r} = \dbinom{10}{r} \cdot a^r \cdot x^{10 - 2r}$

2. İki terimin katsayısı.

$x^{-2}$ için $10 - 2r = -2$ , $r = 6$ : katsayı $\dbinom{10}{6} a^6$ .
$x^{2}$ için $10 - 2r = 2$ , $r = 4$ : katsayı $\dbinom{10}{4} a^4$ .

3. Koşul. $6 + 4 = 10$ olduğundan $\dbinom{10}{6} = \dbinom{10}{4}$ ; kombinasyonlar sadeleşir:

$a^6 = 16\,a^4 \Rightarrow a^2 = 16$

$a > 0$ olduğundan $a = 4$ .

Tuzak: $a^2 = 16$ yerine $a = 16$ yazmak (E seçeneği). $210$ değerini hesaplamana gerek yoktu; simetri işi kısalttı.

Cevap: C

2021 AYTSoru 16

Orta

Katsayılar toplamı ve belirli terim

$n$ bir doğal sayıdır.

$\left(x^3 - \dfrac{2}{x^2}\right)^n$

ifadesinin açılımındaki bütün katsayıların aritmetik ortalaması $0{,}2$ 'dir.

Buna göre bu açılımdaki $x^2$ 'li terimin katsayısı kaçtır?

İpucu

Ortalama için iki şey gerekir: katsayıların toplamı ( $x = 1$ yaz) ve kaç katsayı olduğu (açılımdaki terim sayısı).

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Katsayılar toplamı. $x = 1$ yazılır: $(1 - 2)^n = (-1)^n$ .

2. Terim sayısı. Genel terim

$\dbinom{n}{r} \cdot (x^3)^{n - r} \cdot \left(-\dfrac{2}{x^2}\right)^{r} = \dbinom{n}{r} \cdot (-2)^r \cdot x^{3n - 5r}$

biçimindedir. Farklı $r$ değerleri farklı üs verdiğinden terimler birleşmez; açılımda $n + 1$ terim vardır.

3. Ortalamadan $n$ . $\dfrac{(-1)^n}{n + 1} = \dfrac{1}{5}$ . Sağ taraf pozitif olduğundan $n$ çifttir ve $n + 1 = 5$ , yani $n = 4$ .

4. İstenen terim. Üs $12 - 5r = 2$ olmalı: $r = 2$ . Katsayı:

$\dbinom{4}{2} \cdot (-2)^2 = 6 \cdot 4 = 24$

Tuzak: ortalamayı bulurken toplamı $n$ 'ye değil terim sayısı olan $n + 1$ 'e bölmelisin.

Cevap: C

2020 AYTSoru 17

Kolay

Belirli terim

$m$ ve $n$ birer tam sayıdır.

$(x^2 + 2y)^7$

ifadesi açıldığında elde edilen terimlerden biri $m\,x^n\,y^2$ biçimindedir.

Buna göre $m + n$ toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Genel terimi yaz. $a = x^2$ , $b = 2y$ , $n = 7$ :

$\dbinom{7}{r} \cdot (x^2)^{7 - r} \cdot (2y)^{r}$

2. $y$ 'nin üssünden $r$ 'yi bul. Terimde $y^2$ var; $y$ yalnızca $b$ 'den geldiği için $r = 2$ .

3. Terimi hesapla.

$\dbinom{7}{2} \cdot (x^2)^{5} \cdot (2y)^{2} = 21 \cdot x^{10} \cdot 4y^2 = 84\,x^{10}y^2$

$m = 84$ ve $n = 10$ olduğundan $m + n = 94$ .

Tuzak: $(2y)^2 = 4y^2$ 'dir; $2$ 'nin karesini almayı unutursan $m = 42$ bulursun. $(x^2)^5$ de $x^7$ değil $x^{10}$ 'dur.

Cevap: E

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Pascal üçgeni

Şekilde Pascal üçgeninden alınmış üç satırlık bir parça görülüyor. Her sayı, hemen üstündeki iki sayının toplamıdır.

Buna göre $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Çözüm

1. Üst satır. $56$ , üstündeki $a$ ile $35$ 'in toplamıdır: $a = 56 - 35 = 21$ . $70$ , üstündeki $35$ ile $b$ 'nin toplamıdır: $b = 70 - 35 = 35$ .

2. Alt satır. $c$ , üstündeki iki sayının toplamıdır: $c = 56 + 70 = 126$ .

$a + b + c = 21 + 35 + 126 = 182$

Sağlama: $21, 35, 35$ sayıları $7$ . satırda, $56, 70$ sayıları $8$ . satırda yer alır; $126 = \dbinom{9}{4}$ ise $9$ . satırdadır.

Cevap: D

Özgün soru2

Kolay

Belirli terim

$(x - 2)^5$

ifadesinin açılımında $x^3$ 'lü terimin katsayısı kaçtır?

Çözüm

1. Genel terim. $a = x$ , $b = -2$ , $n = 5$ : $\dbinom{5}{r} \cdot x^{5 - r} \cdot (-2)^r$ .

2. İstenen terim. $5 - r = 3$ , $r = 2$ .

$\dbinom{5}{2} \cdot (-2)^2 = 10 \cdot 4 = 40$

Tuzaklar: $(-2)^2$ artıdır, sonuç $-40$ olmaz. $r = 3$ alırsan $x^2$ 'li terimin katsayısı olan $-80$ 'i bulursun. Yalnızca kombinasyonu yazarsan $10$ çıkar.

Cevap: D

Özgün soru3

Orta

Katsayılar toplamı

$a$ bir gerçel sayıdır.

$(ax + 2)^5$

ifadesinin açılımındaki katsayıların toplamı $-1$ 'dir.

Buna göre bu açılımdaki $x^3$ 'lü terimin katsayısı kaçtır?

İpucu

Katsayılar toplamı için $x = 1$ yaz; $a$ 'yı bul. Sonra katsayıya $a$ 'nın ve $2$ 'nin kuvvetlerinin de girdiğini unutma.

Çözüm

1. Katsayılar toplamından $a$ . $x = 1$ yazılır: $(a + 2)^5 = -1$ . Tek kuvvet olduğundan tek çözüm vardır: $a + 2 = -1$ , $a = -3$ .

2. Genel terim. $\dbinom{5}{r} \cdot (-3x)^{5 - r} \cdot 2^{r}$ .

3. $x^3$ 'lü terim. $5 - r = 3$ , $r = 2$ :

$\dbinom{5}{2} \cdot (-3)^3 \cdot 2^2 = 10 \cdot (-27) \cdot 4 = -1080$

Tuzaklar: $2^2$ çarpanını unutursan $-270$ ; $(-3)^3$ 'ün işaretini düşürürsen $1080$ ; $r = 3$ alıp $x^2$ 'li terimi hesaplarsan $720$ bulursun.

Cevap: A

Özgün soru4

Orta

Sabit terim ve terim sırası

$\left(x^3 - \dfrac{1}{x}\right)^8$

ifadesinin açılımı $x$ 'in azalan kuvvetlerine göre yazıldığında sabit terim baştan $p$ . terim oluyor ve değeri $s$ çıkıyor.

Buna göre $p + s$ toplamı kaçtır?

İpucu

Genel terimde $b$ 'nin üssü $r$ ise o terim baştan $(r + 1)$ . terimdir.

Çözüm

1. Genel terim.

$\dbinom{8}{r} \cdot (x^3)^{8 - r} \cdot \left(-\dfrac{1}{x}\right)^{r} = \dbinom{8}{r} \cdot (-1)^r \cdot x^{24 - 4r}$

2. Sabit terim. $24 - 4r = 0$ , $r = 6$ . Değeri $s = \dbinom{8}{6} \cdot (-1)^6 = 28$ .

3. Sırası. $r = 0$ birinci terim olduğundan $r = 6$ baştan yedinci terimdir: $p = 7$ .

$p + s = 7 + 28 = 35$

Tuzaklar: sırayı $r$ ile aynı sanıp $p = 6$ almak ( $34$ ); $(-1)^6$ 'yı eksi sanmak ( $-21$ ).

Cevap: D

Özgün soru5

Zor

Terim sayısı, sabit terim ve katsayılar toplamı

$a$ bir gerçel sayı ve $n$ bir pozitif tam sayıdır.

$\left(x + \dfrac{a}{x^2}\right)^n$

ifadesinin açılımında $10$ terim vardır ve sabit terim $-672$ 'dir.

Buna göre bu açılımdaki bütün katsayıların toplamı kaçtır?

İpucu

Üç bilgi sırayla kullanılır: terim sayısı $n$ 'yi, sabit terim $a$ 'yı, $x = 1$ yazmak toplamı verir.

Çözüm

1. Terim sayısından $n$ . Açılımda $n + 1$ terim vardır: $n + 1 = 10$ , $n = 9$ .

2. Genel terim.

$\dbinom{9}{r} \cdot x^{9 - r} \cdot \left(\dfrac{a}{x^2}\right)^{r} = \dbinom{9}{r} \cdot a^r \cdot x^{9 - 3r}$

3. Sabit terimden $a$ . $9 - 3r = 0$ , $r = 3$ . $\dbinom{9}{3} \cdot a^3 = 84\,a^3 = -672$ , buradan $a^3 = -8$ ve $a = -2$ .

4. Katsayılar toplamı. $x = 1$ yazılır: $(1 + a)^9 = (1 - 2)^9 = -1$ .

Tuzaklar: terim sayısını $n$ sanıp $n = 10$ almak (o zaman $10 - 3r = 0$ tam sayı vermez, sabit terim olmaz); katsayılar toplamını $2^9 = 512$ sanmak.

Cevap: B

Özgün soru6

Orta

Pascal üçgeninde satır toplamı

Pascal üçgeninin bir satırındaki sayıların toplamı, bir üstündeki satırdaki sayıların toplamından $512$ fazladır.

Buna göre bu satırın soldan üçüncü sayısı kaçtır?

İpucu

$n$ . satırın toplamı $2^n$ 'dir; üstündeki satırın toplamı bunun yarısıdır.

Çözüm

1. Satırı bul. Aranan satır $n$ . satır olsun. Toplamı $2^n$ , üstündeki satırın toplamı $2^{n - 1}$ 'dir:

$2^n - 2^{n - 1} = 2^{n - 1} = 512 = 2^9 \Rightarrow n = 10$

2. Soldan üçüncü sayı. Sıralar $0$ 'dan sayıldığından üçüncü sayı $r = 2$ 'dir:

$\dbinom{10}{2} = \dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45$

Tuzaklar: $2^{n - 1} = 2^9$ eşitliğinden $n = 9$ sanmak ( $36$ ); üçüncü sayı için $r = 3$ almak ( $120$ ).

Cevap: B

Pascal üçgenini kurmak

Bir satırdan sonrakini yazmak

Her sayı bir kombinasyondur

Bir satırın toplamı ve simetrisi

Toplamdan satırı bulmak

(a+b)n(a + b)^n(a+b)n açılımı

Pascal satırıyla açmak

Binom formülü

Katsayılı ve eksili binom

Genel terim

İstenen kuvvetin katsayısı ve sabit terim

Baştan, sondan ve ortadaki terim

Sıra numarasından terime

Katsayılar toplamı ve sabit terim

Sabit terimi ayırarak toplam

Açılım bir hesabı kısaltırken

Büyüyen buz kalıbı

Parametreli açılımlar

İki katsayıdan parametre

Sabit terim her açılımda yoktur

Üs bilinmiyorsa

Eşit katsayılar ve simetri

Çivili tahtada komşu hazneler

Özgün sorular

$(a + b)^n$ açılımı