34Konu 34 / 49
Limit, Türev ve İntegral

Belirli İntegral

Eğrinin altındaki alana dikdörtgenlerle yaklaşıp Riemann toplamından belirli integrale geçiyoruz; temel teoremle integrali ters türevden hesaplamayı, belirli integralin özelliklerini, parçalı fonksiyonların integralini ve türev grafiğinden net değişimi öğreniyoruz.

12. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaBelirli İntegralBelirli İntegral

Bir drone yerden havalanıyor. Hızı sabit $2$ m/sn olsaydı $3$ saniyede $2 \cdot 3 = 6$ metre yükselirdi; hız–zaman grafiğinde bu, bir dikdörtgenin alanıdır. Ama drone hızlanıyor: $t$ . saniyedeki hızı $v(t) = t^2 + 1$ m/sn. İlk $3$ saniyede kaç metre yükseldi? Yanıt yine grafiğin altındaki alan, fakat bu bölgenin üst kenarı eğri ve elimizde onun için bir alan formülü yok.

Isınma

Başlamadan: ters türev ve alan

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\displaystyle\int (3x^2 + 2x)\,dx

belirsiz integrali aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Kuvvet kuralı: $\displaystyle\int a x^n\,dx = \dfrac{a\,x^{n+1}}{n+1} + C$ . Buradan $\dfrac{3x^3}{3} + \dfrac{2x^2}{2} + C = x^3 + x^2 + C$ . Ayrıntısı Belirsiz İntegral sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

F(x) = x^2 - 3x

için

F(4) - F(1)

kaçtır?

Açıklama

$F(4) = 16 - 12 = 4$ ve $F(1) = 1 - 3 = -2$ . Fark: $4 - (-2) = 6$ . Bu sayfada bu tür farkları çok hesaplayacaksın; çıkarılan değeri hep parantez içinde yaz.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = 2x

doğrusu,

x

ekseni ve

x = 3

doğrusu arasında kalan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Açıklama

Taban $3$ , yükseklik $2 \cdot 3 = 6$ . Alan $\dfrac{3 \cdot 6}{2} = 9$ .

Temel

Dikdörtgenlerden belirli integrale

Eğrinin altındaki alana dikdörtgenlerle yaklaşmak

Eğri kenarlı bölgenin alanını bilmiyoruz ama dikdörtgenin alanını biliyoruz. Öyleyse $[0, 3]$ aralığını eşit parçalara bölelim ve her parçanın üstüne bir dikdörtgen koyalım. Dronun diliyle: her kısa zaman diliminde hızı sabit sayıp “hız çarpı süre” yapıyoruz.

Her dikdörtgenin alanı yükseklik çarpı genişlik:

v(t_k) \cdot \Delta t

. Altı dikdörtgenin toplamı

9{,}875

Sahnede $v(t) = t^2 + 1$ eğrisinin altı dikdörtgenlerle doluyor. $n$ sürgüsünü $3$ ‘ten başlatıp artır; düğmelerle yüksekliğin sol uçtan, sağ uçtan ya da orta noktadan alınmasını seç. Dikdörtgenler inceldikçe eğriyle aralarındaki boşluk küçülüyor ve toplam göstergesi tek bir sayıya yerleşiyor.

Örnek

kolay

Sol uçlarla Riemann toplamı

$f(x) = x^2 + 1$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ ekseni arasında, $[0, 3]$ aralığında kalan bölgenin alanını üç eşit parça ve sol uç noktalarını kullanarak yaklaşık hesapla.

Önce genişliği bul, çünkü bütün dikdörtgenlerin tabanı aynıdır: $\Delta x = \dfrac{3 - 0}{3} = 1$ . Alt aralıklar $[0, 1]$ , $[1, 2]$ ve $[2, 3]$ olur.

Yükseklikler sol uçlardaki fonksiyon değerleridir: $f(0) = 1$ , $f(1) = 2$ , $f(2) = 5$ . Sağ uç olan $3$ bu toplamda kullanılmaz.

Her yüksekliği genişlikle çarpıp topla:

1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 8

Sonuç

Alan yaklaşık $8$ birimkaredir. Dikdörtgenler eğrinin altında kaldığı için gerçek alan bundan büyüktür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aynı fonksiyon ve aynı üç parça için yükseklikler sağ uçlardan alınırsa Riemann toplamı kaç olur?

Açıklama

Sağ uçlar $1$ , $2$ , $3$ : $f(1) + f(2) + f(3) = 2 + 5 + 10 = 17$ . Genişlik $1$ olduğundan toplam $17$ ‘dir.

Alt toplam ve üst toplam

Aynı bölge için $8$ ve $17$ bulduk. Hangisi doğru? İkisi de değil; gerçek alan ikisinin arasında. Fonksiyon artan olduğu için her parçada en küçük değerini sol uçta, en büyük değerini sağ uçta alır.

Artan fonksiyonda sol uç dikdörtgenleri eğrinin altında, sağ uç dikdörtgenleri eğrinin üstünde kalır.

Sahnede iki toplam üst üste çizili: içte alt toplam, dışta üst toplam. Aradaki fark, sağdaki sütunda üst üste dizilmiş küçük dikdörtgenler olarak da görünüyor. $n$ sürgüsünü artır: fark $\dfrac{27}{n}$ kadar, yani $n$ büyüdükçe sıfıra gidiyor. İki toplam da aynı sayıya, $12$ ‘ye sıkışıyor.

Farkın neden $\dfrac{27}{n}$ olduğunu görmek kolay: üst toplamdaki her dikdörtgen, alt toplamda bir sağdaki dikdörtgenle aynıdır. Geriye yalnızca ilk ve son yükseklik kalır: $\bigl(f(3) - f(0)\bigr) \cdot \Delta x = 9 \cdot \dfrac{3}{n}$ .

Örnek

kolay

Tablodan alt ve üst toplam

$[0, 6]$ aralığında sürekli ve artan bir $f$ fonksiyonu için $f(0) = 1$ , $f(2) = 4$ , $f(4) = 5$ ve $f(6) = 9$ değerleri biliniyor. $f$ grafiği ile $x$ ekseni arasında kalan bölgenin alanı hangi iki sayının arasındadır?

Verilen noktalar aralığı genişliği $2$ olan üç parçaya ayırıyor: $[0, 2]$ , $[2, 4]$ , $[4, 6]$ . Fonksiyonun kuralını bilmiyoruz ama artan olduğunu biliyoruz; bu, sınır koymaya yeter.

$f$ artan olduğundan her parçada en küçük değer sol uçtadır. Alt toplam: $2 \cdot f(0) + 2 \cdot f(2) + 2 \cdot f(4) = 2 \cdot (1 + 4 + 5) = 20$ .

En büyük değer sağ uçtadır. Üst toplam: $2 \cdot f(2) + 2 \cdot f(4) + 2 \cdot f(6) = 2 \cdot (4 + 5 + 9) = 36$ .

Sonuç

Alan $20$ ile $36$ arasındadır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

[0, 4]

aralığında sürekli ve azalan bir

f

için

f(0) = 6

f(2) = 3

f(4) = 1

veriliyor. İki eşit parçayla kurulan üst toplam kaçtır?

Açıklama

Azalan fonksiyonda en büyük değer sol uçtadır. Üst toplam: $2 \cdot f(0) + 2 \cdot f(2) = 2 \cdot (6 + 3) = 18$ .

Belirli integral

Parça sayısı arttıkça alt ve üst toplam aynı sayıya yaklaştı. Formül bulunmayan alanları işte böyle, toplamların limiti olarak tanımlarız. Bu limitin adı belirli integraldir.

Gösterim toplamı hatırlatır: $\int$ uzatılmış bir S harfidir (toplam), $f(x)\,dx$ ise yüksekliği $f(x)$ , genişliği çok küçük olan bir dikdörtgenin alanı. Belirli integral bir sayıdır; belirsiz integral ise bir fonksiyon ailesiydi. Değişkenin adı sonucu değiştirmez: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt$ .

Bölge bildiğin bir şekilse integrali limit almadan, alan formülüyle bulursun.

Örnek

kolay

İntegrali alan formülüyle bulma

$\displaystyle\int_0^4 \left(\dfrac{x}{2} + 1\right) dx$ integralinin değerini grafikten yararlanarak bul.

$y = \dfrac{x}{2} + 1$ bir doğrudur ve $[0, 4]$ aralığında $x$ ekseninin üstündedir. O hâlde integral, doğrunun altında kalan bölgenin alanına eşittir.

Bölgenin kenarlarını belirle: $x = 0$ için $y = 1$ , $x = 4$ için $y = 3$ . Bölge, paralel kenarları $1$ ve $3$ , yüksekliği $4$ olan bir dik yamuktur.

Yamuğun alanı: $\dfrac{(1 + 3) \cdot 4}{2} = 8$ .

Sonuç

$\displaystyle\int_0^4 \left(\dfrac{x}{2} + 1\right) dx = 8$

Eksenin altı eksi sayılır

Riemann toplamında yükseklik $f(x_k)$ değeridir. Fonksiyon negatifse bu değer de negatiftir ve o dikdörtgen toplama eksi işaretle girer. Bu yüzden belirli integral, eksenin altında kalan bölgeleri kendiliğinden eksi sayar.

Belirli integral işaretli alandır: eksenin üstündeki alan eksi eksenin altındaki alan.

Sahnede $f(x) = x^2 - 4x + 3$ var; alt sınır $0$ ‘da sabit, üst sınırı sen sürüklüyorsun. $1$ ‘e kadar integral büyüyor. $1$ ‘i geçince eğri eksenin altına iniyor ve integral azalmaya başlıyor. Üst sınır $3$ ‘e geldiğinde iki bölgenin alanı eşit: integral tam $0$ .

Örnek

kolay

İki üçgenle işaretli alan

$\displaystyle\int_0^6 (2 - x)\,dx$ integralinin değerini grafikten bul.

Doğrunun ekseni kestiği yeri bul, çünkü işaret orada değişir: $2 - x = 0$ için $x = 2$ . Doğru $[0, 2]$ aralığında eksenin üstünde, $[2, 6]$ aralığında altındadır.

Üstteki üçgenin tabanı $2$ , yüksekliği $2$ ‘dir: alanı $\dfrac{2 \cdot 2}{2} = 2$ . Bu parça integrale $+2$ olarak girer.

Alttaki üçgenin tabanı $6 - 2 = 4$ , yüksekliği $|2 - 6| = 4$ ‘tür: alanı $\dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8$ . Eksenin altında olduğu için integrale $-8$ olarak girer.

Sonuç

$\displaystyle\int_0^6 (2 - x)\,dx = 2 - 8 = -6$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir

f

fonksiyonunun grafiği

[0, 2]

aralığında

x

ekseninin üstündedir ve eksenle arasındaki alan

5

birimkaredir;

[2, 5]

aralığında eksenin altındadır ve alan

3

birimkaredir.

\displaystyle\int_0^5 f(x)\,dx

kaçtır?

Açıklama

Üstteki alan artı, alttaki alan eksi: $5 - 3 = 2$ .

Orta

Temel teorem ve integralin özellikleri

Alan birikirken: integral ile türevin bağı

Her integral için limit hesaplamak ya da hazır bir şekil bulmak mümkün değil. Kısa yol şu soruyla açılır: üst sınırı ilerlettikçe alan ne hızla büyür? Alt sınırı $a$ ‘da sabit tutup üst sınıra $x$ diyelim; biriken alan $x$ ‘e bağlı bir fonksiyon olur: $A(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ .

Üst sınır

h

kadar ilerleyince alana eklenen şerit, yüksekliği

f(x)

olan ince bir dikdörtgene çok yakındır.

Üst sınır $x$ ‘ten $x + h$ ‘ye ilerlerse alana ince bir şerit eklenir. Şeridin genişliği $h$ , yüksekliği yaklaşık $f(x)$ olduğundan $A(x + h) - A(x) \approx f(x) \cdot h$ . İki tarafı $h$ ‘ye bölüp $h \to 0$ için limit alınca sol taraf türevin tanımıdır:

A'(x) = f(x)

Sahnenin üst yarısında $f(t) = t^2 + 1$ ve $0$ ‘dan $x$ ‘e kadar boyalı alan, alt yarısında bu alanın değeri olan $A(x)$ noktası var. $x$ sürgüsünü ilerlet: alttaki nokta bir eğri çiziyor. Şerit düğmesini aç; eğrinin o noktadaki eğimi ile üstteki $f(x)$ yüksekliği aynı sayıyı gösteriyor.

Demek ki alan fonksiyonu, $f$ ‘nin bir ters türevidir. $f$ ‘nin herhangi bir ters türevi $F$ ise $A(x) = F(x) + C$ olmalı. $A(a) = 0$ olduğundan $C = -F(a)$ bulunur ve $A(b) = F(b) - F(a)$ çıkar.

Kancadaki soru artık tek satır: $t^2 + 1$ ifadesinin bir ters türevi $\dfrac{t^3}{3} + t$ ‘dir. Dronun $3$ saniyede yükseldiği yol $\displaystyle\int_0^3 (t^2 + 1)\,dt = \left(\dfrac{27}{3} + 3\right) - 0 = 12$ metre. Alt ve üst toplamların sıkıştığı sayı buydu.

Sahnede üstte $f(t) = t^2 + 1$ ve $a$ ile $b$ arasındaki alan, altta ters türev $F(t) = \dfrac{t^3}{3} + t + C$ çizili. $a$ ve $b$ sürgülerini oynat: üstteki alan ile alttaki $F(b) - F(a)$ yükseklik farkı hep aynı sayı. Şimdi $C$ sürgüsüyle alttaki eğriyi yukarı aşağı kaydır; fark değişmiyor.

Örnek

orta

Polinomun belirli integrali

$\displaystyle\int_1^3 (3x^2 - 4x + 1)\,dx$ integralinin değeri kaçtır?

Önce ters türevi bul; her terime kuvvet kuralını ayrı uygula: $F(x) = x^3 - 2x^2 + x$ . Türevini alıp denetle: $3x^2 - 4x + 1$ , doğru.

Üst sınırı yaz: $F(3) = 27 - 18 + 3 = 12$ . Alt sınırı yaz: $F(1) = 1 - 2 + 1 = 0$ .

Sıra önemlidir: üst sınırdaki değerden alt sınırdaki değer çıkarılır.

F(3) - F(1) = 12 - 0

Sonuç

$\displaystyle\int_1^3 (3x^2 - 4x + 1)\,dx = 12$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\displaystyle\int_{-1}^{2} 2x\,dx

integralinin değeri kaçtır?

Açıklama

Ters türev $x^2$ ‘dir. $2^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$ . Grafikte de görülür: sağdaki üçgenin alanı $4$ , soldaki (eksenin altındaki) üçgenin alanı $1$ .

Örnek

orta

Köklü ve kesirli terimler

$\displaystyle\int_1^4 \left(3\sqrt{x} - \dfrac{2}{x^2}\right) dx$ integralinin değeri kaçtır?

Kuvvet kuralı $a \cdot x^n$ biçimi ister; o yüzden terimleri üslü yaz: $3x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-2}$ .

Üssü bir artır, yeni üsse böl. $\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}$ ve $-2 + 1 = -1$ olduğundan

F(x) = 3 \cdot \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \dfrac{x^{-1}}{-1} = 2x^{\frac{3}{2}} + \dfrac{2}{x}

Sınırları yerine koy. $4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 8$ olduğundan $F(4) = 16 + \dfrac{1}{2}$ ve $F(1) = 2 + 2 = 4$ .

Sonuç

$F(4) - F(1) = \dfrac{33}{2} - 4 = \dfrac{25}{2}$

Değişim hızının integrali: net değişim

Temel teoremi tersinden oku: $F' = f$ olduğuna göre $\displaystyle\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$ . Yani bir büyüklüğün değişim hızını integrallersen o büyüklükteki net değişimi bulursun. Hızın integrali alınan yol, akış hızının integrali biriken hacimdir.

Örnek

orta

Depoya akan su

Boş bir depoya su, musluk açıldıktan $t$ dakika sonra dakikada $r(t) = 6t - t^2$ litre hızla akıyor ( $0 \le t \le 6$ ). İlk $3$ dakikada depoda kaç litre su birikir?

Akış hızı sabit olsaydı “hız çarpı süre” yeterdi. Hız değiştiği için biriken su, hızın $0$ ‘dan $3$ ‘e belirli integralidir: $\displaystyle\int_0^3 (6t - t^2)\,dt$ .

Ters türevi bul: $3t^2 - \dfrac{t^3}{3}$ . Denetle: türevi $6t - t^2$ .

Sınırları yerine koy: $\left(3 \cdot 9 - \dfrac{27}{3}\right) - 0 = 27 - 9$ .

Sonuç

İlk $3$ dakikada $18$ litre su birikir.

Belirli integralin özellikleri

Belirli integral bir toplamın limitidir; toplamın bildiğin özelliklerini taşır. Bu özellikler, fonksiyonun kuralı verilmeyen sorularda tek aracındır.

İlk ikisi temel teoremden hemen görülür: $F(a) - F(a) = 0$ ve $F(b) - F(a) = -\bigl(F(a) - F(b)\bigr)$ . Sonuncusu bölgeyi $c$ noktasından ikiye ayırmaktır.

Aralık

c

noktasından bölünür: iki parçanın integralleri toplanınca bütünün integrali çıkar.

Sahnede $f(x) = x^2 - 4x + 5$ ve $1$ ile $4$ arasındaki alan var; toplamı $6$ . $c$ sürgüsünü $1$ ile $4$ arasında gezdir: iki parçanın değerleri değişiyor, toplamları hep $6$ . Şimdi $c$ ‘yi $4$ ‘ün sağına çıkar: ikinci parça ters yönde gidildiği için eksi oluyor ve fazlalığı geri alıyor; toplam yine $6$ .

Örnek

orta

Kuralı bilinmeyen fonksiyonlarla işlem

Sürekli $f$ ve $g$ fonksiyonları için $\displaystyle\int_1^5 f(x)\,dx = 7$ , $\displaystyle\int_3^5 f(x)\,dx = 4$ ve $\displaystyle\int_1^3 g(x)\,dx = 2$ veriliyor. $\displaystyle\int_1^3 \bigl(2f(x) - 3g(x) + 1\bigr)\,dx$ kaçtır?

İstenen integralin sınırları $1$ ve $3$ ; önce $f$ ‘nin bu aralıktaki integralini bul. Aralığı $3$ noktasından böl: $\displaystyle\int_1^5 f = \int_1^3 f + \int_3^5 f$ , yani $7 = \displaystyle\int_1^3 f + 4$ . Buradan $\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx = 3$ .

Toplamın integralini terimlere ayır ve sabit çarpanları dışarı al:

2\int_1^3 f\,dx - 3\int_1^3 g\,dx + \int_1^3 1\,dx

Son terimi atlama: sabit $1$ fonksiyonunun integrali, yüksekliği $1$ ve genişliği $3 - 1 = 2$ olan dikdörtgenin alanıdır, yani $2$ .

Sonuç

$2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 + 2 = 2$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\displaystyle\int_2^7 f(x)\,dx = 10

\displaystyle\int_5^7 f(x)\,dx = 4

olduğuna göre

\displaystyle\int_5^2 f(x)\,dx

kaçtır?

Açıklama

$\displaystyle\int_2^5 f = 10 - 4 = 6$ . Sınırlar yer değiştirince işaret değişir: $\displaystyle\int_5^2 f(x)\,dx = -6$ .

Parçalı fonksiyonların integrali

Parçalı fonksiyonda tek bir ters türev yazamazsın; kural değişiyor. Çözüm aralık bölme özelliğidir: integrali kuralın değiştiği noktadan ayır, her parçada o parçanın kuralını kullan. Mutlak değerli ifadeler de parçalı fonksiyondur; içini sıfır yapan nokta bölme noktasıdır.

Sahnede $x = 1$ noktasında kural değiştiren bir fonksiyon var: solda $2x + 1$ , sağda $4 - x^2$ . Üst sınırı $0$ ‘dan $2$ ‘ye sürükle; $1$ ‘i geçtiğin anda yeni bir renk başlıyor ve gösterge iki ayrı integralin toplamını yazıyor. Düğmeyle $|x - 1|$ fonksiyonuna geç: köşe noktası bölme noktasıdır.

Örnek

orta

Kural değişen noktadan böl

$x < 1$ için $f(x) = 2x + 1$ , $x \ge 1$ için $f(x) = 4 - x^2$ biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonu için $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx$ kaçtır?

$[0, 2]$ aralığı kuralın değiştiği $x = 1$ noktasını içeriyor. İntegrali oradan böl, çünkü her parçada farklı bir ters türev gerekir:

\begin{aligned} \int_0^2 f(x)\,dx &= \int_0^1 (2x + 1)\,dx \\ &\quad + \int_1^2 (4 - x^2)\,dx \end{aligned}

İlk parça: ters türev $x^2 + x$ . Değeri $(1 + 1) - 0 = 2$ .

İkinci parça: ters türev $4x - \dfrac{x^3}{3}$ . Değeri $\left(8 - \dfrac{8}{3}\right) - \left(4 - \dfrac{1}{3}\right) = 4 - \dfrac{7}{3} = \dfrac{5}{3}$ .

Sonuç

$\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 2 + \dfrac{5}{3} = \dfrac{11}{3}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx

integralinin değeri kaçtır?

Açıklama

$x = 1$ noktasından böl. $[0, 1]$ aralığında $|x - 1| = 1 - x$ : tabanı $1$ , yüksekliği $1$ olan üçgen, alanı $\dfrac{1}{2}$ . $[1, 3]$ aralığında $|x - 1| = x - 1$ : tabanı $2$ , yüksekliği $2$ olan üçgen, alanı $2$ . Toplam $\dfrac{5}{2}$ .

İleri

Sınav düzeyi: sınır dönüşümü, türev grafiği ve birleşik sorular

Belirli integralde değişken değiştirme

Değişken değiştirmeyi Belirsiz İntegral sayfasından biliyorsun: iç ifadeye $u$ dersin, $dx$ yerine $du$ cinsinden karşılığını yazarsın. Belirli integralde tek fark sınırlardır. Sınırlar $x$ ‘in değerleridir; değişkeni $u$ yaptıysan sınırları da $u$ ‘nun değerlerine çevirmelisin.

y = f(2x)

grafiği,

y = f(x)

grafiğinin yatayda yarıya sıkışmışıdır. Yükseklikler aynı kalır, genişlik yarıya iner; alan da yarıya iner.

Sahnede $y = f(x)$ eğrisi ve $[0, 4]$ aralığındaki alanı sabit duruyor. $k$ sürgüsünü $1$ ‘den $2$ ‘ye çek: $y = f(kx)$ eğrisi yatayda sıkışıyor, bölgesi $\left[0, \dfrac{4}{k}\right]$ aralığına toplanıyor. Alan göstergesi her an ilk alanın $\dfrac{1}{k}$ katı. Sınırlar da çarpan da aynı sıkışmadan geliyor.

Örnek

zor

Köklü bileşke ifade

$\displaystyle\int_0^4 x\sqrt{x^2 + 9}\,dx$ integralinin değeri kaçtır?

Kökün içindeki $x^2 + 9$ ifadesinin türevi $2x$ ‘tir ve dışarıda bir $x$ çarpanı var; bu, değişken değiştirmenin işaretidir. $u = x^2 + 9$ de: $du = 2x\,dx$ , yani $x\,dx = \dfrac{du}{2}$ .

Sınırları $u$ ‘ya çevir: $x = 0$ için $u = 9$ , $x = 4$ için $u = 16 + 9 = 25$ .

Yeni integrali yaz ve kuvvet kuralını uygula:

\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\int_9^{25} u^{\frac{1}{2}}\,du &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}\,u^{\frac{3}{2}}\,\Big|_9^{25} \\[4pt] &= \dfrac{1}{3}\left(25^{\frac{3}{2}} - 9^{\frac{3}{2}}\right) \end{aligned}

$25^{\frac{3}{2}} = 5^3 = 125$ ve $9^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27$ .

Sonuç

$\dfrac{125 - 27}{3} = \dfrac{98}{3}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\displaystyle\int_1^7 f(x)\,dx = 12

olduğuna göre

\displaystyle\int_0^2 f(3x + 1)\,dx

kaçtır?

Açıklama

$u = 3x + 1$ , $du = 3\,dx$ . Sınırlar: $x = 0$ için $u = 1$ , $x = 2$ için $u = 7$ . İntegral $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_1^7 f(u)\,du = \dfrac{12}{3} = 4$ olur.

Türev grafiğinden fonksiyona

Net değişim fikrini türev grafiğine uygula: $\displaystyle\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$ . Türev grafiği ile $x$ ekseni arasındaki işaretli alan, fonksiyonun o aralıkta ne kadar değiştiğini söyler. Eksenin üstündeki alan kadar artar, altındaki alan kadar azalır.

Sahnenin üstünde $f'$ grafiği, altında $f$ var; $f(0) = 1$ . $x$ sürgüsünü ilerlet: üstte taranan işaretli alan, altta $f$ eğrisinin yüksekliğine ekleniyor. Alan artıyken $f$ tırmanıyor, eksiye geçince iniyor. $f'$ grafiğinin ekseni kestiği yerler, $f$ grafiğinin tepe ve çukur noktaları.

Örnek

zor

Alanlardan fonksiyon değerleri ve kök sayısı

Aşağıda $[0, 8]$ aralığında türevli bir $f$ fonksiyonunun türevinin grafiği ve bu grafikle $x$ ekseni arasında kalan bölgelerin alanları verilmiştir. $f(0) = 1$ olduğuna göre $f$ ‘nin bu aralıktaki en küçük değeri kaçtır ve $f$ ‘nin kaç kökü vardır?

Türev grafiğinin ekseni kestiği noktalarda $f$ ‘nin değerini bul; her adımda öncekine işaretli alanı ekle. $f(2) = f(0) + 4 = 5$ .

$[2, 5]$ aralığında grafik eksenin altında, alan $6$ : $f(5) = 5 - 6 = -1$ . $[5, 8]$ aralığında üstte, alan $3$ : $f(8) = -1 + 3 = 2$ .

$f'$ işaret değiştirmediği her aralıkta $f$ ya hep artar ya hep azalır. Öyleyse $f$ : $1$ ‘den $5$ ‘e çıkar, $5$ ‘ten $-1$ ‘e iner, $-1$ ‘den $2$ ‘ye çıkar. En küçük değer inişin bittiği yerdedir: $f(5) = -1$ .

Kökleri say: $[0, 2]$ aralığında değerler $1$ ile $5$ arasında, kök yok. $[2, 5]$ aralığında $5$ ‘ten $-1$ ‘e inerken sıfırdan bir kez geçer. $[5, 8]$ aralığında $-1$ ‘den $2$ ‘ye çıkarken bir kez daha geçer.

Sonuç

En küçük değer $-1$ ‘dir ve $f$ ‘nin $2$ kökü vardır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Türevli bir

f

fonksiyonu için

\displaystyle\int_0^3 f'(x)\,dx = 7

f(0) = -2

olduğuna göre

f(3)

kaçtır?

Açıklama

$f(3) - f(0) = 7$ olduğundan $f(3) = 7 + (-2) = 5$ .

Alan fonksiyonu ile türev birlikte

Üst sınırı $x$ olan integral bir fonksiyondur ve türevi doğrudan integralin içindeki ifadedir. Bu fonksiyonun nerede arttığını, nerede en küçük değerini aldığını bulmak için integrali hesaplamana bile gerek yok; türevin işaretine bakarsın.

Örnek

zor

İntegralle tanımlı fonksiyonun yerel minimumu

$F(x) = \displaystyle\int_1^x (t^2 - 4t + 3)\,dt$ fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

Temel teoremden türev, integralin içindeki ifadenin $x$ ‘teki değeridir: $F'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$ .

Türevin işaretini incele: $x < 1$ için artı, $1 < x < 3$ için eksi, $x > 3$ için artı. $F$ önce artar, sonra azalır, sonra yeniden artar; yerel minimum azalıştan artışa geçilen $x = 3$ noktasındadır. İşaret incelemesinin ayrıntısı Türevle Fonksiyon İncelemesi sayfasında.

Değeri bulmak için integrali hesapla. Ters türev $\dfrac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t$ ‘dir:

\begin{aligned} F(3) &= (9 - 18 + 9) - \left(\dfrac{1}{3} - 2 + 3\right) \\[4pt] &= 0 - \dfrac{4}{3} \end{aligned}

Sonuç

Yerel minimum değeri $F(3) = -\dfrac{4}{3}$ ‘tür.

Ölçümlerden sınır koymak

Gerçek hayatta çoğu zaman elinde formül değil, ölçüm tablosu olur. Fonksiyonun artan ya da azalan olduğunu biliyorsan alt ve üst toplam, integralin içinde kaldığı kesin bir aralık verir.

Örnek

zor

Hızlanan aracın aldığı yol

Kalkıştan sonra sürekli hızlanan bir aracın hızı $10$ saniyede bir ölçülüyor: $t = 0, 10, 20, 30$ saniyelerinde hız sırasıyla $0$ , $8$ , $14$ ve $18$ m/sn. Aracın bu $30$ saniyede aldığı yol en az ve en çok kaç metre olabilir? Ölçümler $5$ saniyede bir yapılsaydı bu iki sınır arasındaki fark kaç metre olurdu?

Alınan yol, hızın $0$ ‘dan $30$ ‘a integralidir. Hız artan olduğundan her $10$ saniyelik dilimde en küçük hız dilimin başında, en büyük hız sonundadır.

Alt toplam (dilim başındaki hızlarla): $10 \cdot (0 + 8 + 14) = 220$ . Üst toplam (dilim sonundaki hızlarla): $10 \cdot (8 + 14 + 18) = 400$ . Yol $220$ m ile $400$ m arasındadır.

İki sınırın farkı yalnızca ilk ve son hıza bağlıdır: $(18 - 0) \cdot 10 = 180$ ; gerçekten $400 - 220 = 180$ . Aradaki ölçümler iki toplamda da bulunduğu için birbirini götürür.

Ölçüm aralığı $5$ saniyeye inerse aynı fark $(18 - 0) \cdot 5 = 90$ olur. Yeni ölçümlerin değerlerini bilmeye gerek yok; aralık yarıya inince belirsizlik de yarıya iner.

Sonuç

Yol en az $220$ m, en çok $400$ m’dir. $5$ saniyelik ölçümlerde iki sınırın farkı $90$ m olur.

Toplamların limitiyle alan fikrini bugünkü kesin biçimine kavuşturan, Riemann toplamına adını veren Alman matematikçi Bernhard Riemann’dır (1826–1866).

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Riemann toplamı: $[a, b]$ aralığı $n$ parçaya bölünür, $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$ ; toplam $f(x_1)\Delta x + \dots + f(x_n)\Delta x$ . Artan fonksiyonda sol uçlar alt toplamı, sağ uçlar üst toplamı verir; azalanda tersi.
Belirli integral $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ : Riemann toplamlarının limitidir, bir sayıdır ve işaretli alandır (eksenin üstü artı, altı eksi).
Temel teorem: $F' = f$ ise $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ ; ayrıca $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$ . Sabit $C$ yazılmaz.
Net değişim: $\displaystyle\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$ . Türev grafiğinin işaretli alanı, fonksiyondaki değişimdir.
Özellikler: $\displaystyle\int_a^a f = 0$ , $\displaystyle\int_a^b f = -\int_b^a f$ , sabit çarpan dışarı çıkar, toplam terim terim integrallenir, $\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ .
Parçalı ve mutlak değerli fonksiyon: kuralın değiştiği noktadan böl, her parçayı kendi kuralıyla hesapla.
Değişken değiştirme: $u = g(x)$ dersen sınırlar $g(a)$ ve $g(b)$ olur; $\displaystyle\int_p^q f(kx)\,dx = \dfrac{1}{k}\int_{kp}^{kq} f(u)\,du$ .

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

11 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 24

Kolay

Temel teoremle hesap

$a$ bir gerçel sayıdır ve

\int_0^1 (3x + a)(1 - x)\,dx = 17

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre $a$ kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. Çarpımı aç. Çarpımın integrali, integrallerin çarpımı değildir; önce tek tek terimlere ayır.

\begin{aligned} &(3x + a)(1 - x) \\ &\quad = -3x^2 + (3 - a)x + a \end{aligned}

2. Ters türev ve sınırlar.

\begin{aligned} &\left[-x^3 + \dfrac{(3 - a)x^2}{2} + ax\right]_0^1 \\[4pt] &\quad = -1 + \dfrac{3 - a}{2} + a = \dfrac{a + 1}{2} \end{aligned}

3. Denklemi çöz. $\dfrac{a + 1}{2} = 17 \Rightarrow a = 33$ .

Sağlama: $a = 33$ için $\displaystyle\int_0^1 (-3x^2 - 30x + 33)\,dx = -1 - 15 + 33 = 17$ .

Cevap: E

2026 AYTSoru 25

Orta

Aralık bölme ve sınır dönüşümü

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu, $a$ hangi tam sayı olursa olsun

\int_a^{a+1} f(x)\,dx = a^2

eşitliğini sağlıyor.

Buna göre $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(2x)\,dx$ ifadesinin değeri kaçtır?

İpucu

Önce $u = 2x$ dönüşümüyle integrali $f(u)$ cinsinden yaz. Yeni aralığı, uçları ardışık tam sayılar olan parçalara böl; her parça için verilen eşitlik hazır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

1. Değişken değiştir. $u = 2x$ , $du = 2\,dx$ ; $x = -1$ için $u = -2$ , $x = 1$ için $u = 2$ .

\int_{-1}^{1} f(2x)\,dx = \dfrac{1}{2}\int_{-2}^{2} f(u)\,du

2. Aralığı tam sayı uçlu parçalara böl. Verilen eşitlikte $a$ alt sınırdır; $a = -2, -1, 0, 1$ alınır.

\begin{aligned} \int_{-2}^{2} f &= \int_{-2}^{-1} f + \int_{-1}^{0} f \\[4pt] &\quad + \int_{0}^{1} f + \int_{1}^{2} f \\[4pt] &= (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 6 \end{aligned}

3. Sonuç. $\dfrac{6}{2} = 3$ .

Tuzak: sınırları dönüştürmeden $[-1, 1]$ aralığını bölmek ( $(-1)^2 + 0^2 = 1$ , A seçeneği) ya da $\dfrac{1}{2}$ çarpanını unutmak.

Cevap: C

2025 AYTSoru 24

Kolay

Temel teoremle hesap

$a$ pozitif bir gerçel sayıdır ve

\int_1^4 \left(a\sqrt{x} + x\sqrt{a}\right) dx = \dfrac{59}{3}a

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre $a$ kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

İntegral değişkeni $x$ 'tir; $a$ ve $\sqrt{a}$ sabit çarpandır, integralin dışına çıkar.

1. Birinci terim. $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ , ters türevi $\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ :

\begin{aligned} a\int_1^4 \sqrt{x}\,dx &= a \cdot \dfrac{2}{3}\left(4^{\frac{3}{2}} - 1\right) \\[4pt] &= \dfrac{2a}{3} \cdot 7 = \dfrac{14a}{3} \end{aligned}

2. İkinci terim.

\sqrt{a}\int_1^4 x\,dx = \sqrt{a} \cdot \dfrac{16 - 1}{2} = \dfrac{15\sqrt{a}}{2}

3. Denklemi kur.

\begin{aligned} \dfrac{14a}{3} + \dfrac{15\sqrt{a}}{2} &= \dfrac{59a}{3} \\[4pt] \dfrac{15\sqrt{a}}{2} &= \dfrac{45a}{3} = 15a \\[4pt] \sqrt{a} &= 2a \end{aligned}

4. $a > 0$ olduğundan iki taraf $\sqrt{a}$ ile bölünür: $1 = 2\sqrt{a}$ , $\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}$ , $a = \dfrac{1}{4}$ .

Tuzak: $\sqrt{a}$ 'yı da değişken sanıp integrallemeye çalışmak. $dx$ hangi harfe göre integral alındığını söyler.

Cevap: A

2025 AYTSoru 25

Orta

Özellikler ve sınır dönüşümü

$f$ , gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir fonksiyondur; $g$ fonksiyonu ise $g(x) = 2x + 2$ kuralıyla tanımlıdır. Bu iki fonksiyon için

\int_{-1}^{1} f(g(x))\,dx = 18

\int_{2}^{4} g(f(x))\,dx = 18

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx$ integralinin değeri kaçtır?

İpucu

İki bileşke farklı şeyler söylüyor: $f(g(x)) = f(2x + 2)$ bir değişken değiştirme ister; $g(f(x)) = 2f(x) + 2$ ise doğrudan integralin özellikleriyle açılır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Birinci eşitlik. $f(g(x)) = f(2x + 2)$ . $u = 2x + 2$ , $du = 2\,dx$ ; $x = -1$ için $u = 0$ , $x = 1$ için $u = 4$ .

\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\int_0^4 f(u)\,du &= 18 \\[4pt] \int_0^4 f(x)\,dx &= 36 \end{aligned}

2. İkinci eşitlik. $g(f(x)) = 2f(x) + 2$ . Toplamı ayır, sabit çarpanı dışarı al; sabit $2$ 'nin integrali $2 \cdot (4 - 2) = 4$ 'tür.

\begin{aligned} 2\int_2^4 f(x)\,dx + 4 &= 18 \\[4pt] \int_2^4 f(x)\,dx &= 7 \end{aligned}

3. Aralığı böl.

\begin{aligned} \int_0^2 f\,dx &= \int_0^4 f\,dx - \int_2^4 f\,dx \\[4pt] &= 36 - 7 = 29 \end{aligned}

Tuzak: birinci eşitlikte $\dfrac{1}{2}$ çarpanını, ikinci eşitlikte sabit terimin integralini ( $4$ ) unutmak.

Cevap: D

2024 AYTSoru 24

Orta

İşaretli alan ve sınır dönüşümü

Dik koordinat düzleminde $f$ fonksiyonunun grafiği şekildeki gibidir. Bu fonksiyon için

\int_a^c |f(x)|\,dx = 20

\int_a^c f(x)\,dx = 8

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre

\int_{a/2}^{b/2} f(2x)\,dx

integralinin değeri kaçtır?

İpucu

Eksenin altındaki bölgenin alanına $S_1$ , üstündekine $S_2$ de. Verilen iki integrali bu alanlarla yaz. İstenen integralde $u = 2x$ dönüşümünü yap; sınırlar neye dönüşüyor?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Alanları adlandır. Grafik $[a, b]$ aralığında eksenin altında, $[b, c]$ aralığında üstündedir. Alttaki bölgenin alanı $S_1$ , üstteki bölgenin alanı $S_2$ olsun.

2. Verilenleri alanlarla yaz. Mutlak değer alttaki parçayı yukarı katlar; işaretli integral ise onu eksi sayar:

S_1 + S_2 = 20 \qquad -S_1 + S_2 = 8

Taraf tarafa çıkarılırsa $2S_1 = 12$ , $S_1 = 6$ (ve $S_2 = 14$ ). Öyleyse $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -6$ .

3. Değişken değiştir. $u = 2x$ , $du = 2\,dx$ . Sınırlar: $x = \dfrac{a}{2}$ için $u = a$ , $x = \dfrac{b}{2}$ için $u = b$ .

\begin{aligned} \int_{a/2}^{b/2} f(2x)\,dx &= \dfrac{1}{2}\int_a^b f(u)\,du \\[4pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot (-6) = -3 \end{aligned}

Tuzak: $\dfrac{1}{2}$ çarpanını unutup $-6$ işaretlemek (D seçeneği).

Cevap: A

2024 AYTSoru 26

Orta

Belirli ve belirsiz integral ilişkisi

$f$ ve $g$ , gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir iki fonksiyondur. Bu fonksiyonlar için

\int_1^2 f'(3x)\,dx = 4

\int f(2x)\,dx = g(x) + C \quad (C \text{ sabit})

eşitlikleri veriliyor.

$f(3) = 5$ olduğuna göre $g'(3)$ türevinin değeri kaçtır?

İpucu

İkinci eşitliğin iki tarafının türevini al; $g'(x)$ neye eşit çıkıyor? Sonra birinci integralde $u = 3x$ dönüşümüyle $f$ 'nin hangi değerine ulaşabileceğine bak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. İkinci eşitlikten $g'$ . Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki ifadedir: $g'(x) = f(2x)$ . Öyleyse $g'(3) = f(6)$ ; aranan şey $f(6)$ 'dır.

2. Birinci eşitlikte değişken değiştir. $u = 3x$ , $du = 3\,dx$ ; $x = 1$ için $u = 3$ , $x = 2$ için $u = 6$ .

\begin{aligned} \int_1^2 f'(3x)\,dx &= \dfrac{1}{3}\int_3^6 f'(u)\,du \\[4pt] &= \dfrac{f(6) - f(3)}{3} \end{aligned}

Son adımda türevin integralinin net değişim olduğunu kullandık.

3. Çöz. $\dfrac{f(6) - 5}{3} = 4 \Rightarrow f(6) = 17$ .

g'(3) = f(6) = 17

Tuzak: $\dfrac{1}{3}$ çarpanını unutmak $f(6) = 9$ verir (C seçeneği).

Cevap: E

2022 AYTSoru 24

Kolay

Temel teoremle hesap

$a$ bir gerçel sayıdır ve

\int_1^3 \left(3x^2 + 2ax + a\right) dx = 56

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre $a$ kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Ters türev. İntegral değişkeni $x$ 'tir; $a$ sabit bir sayıdır.

F(x) = x^3 + ax^2 + ax

2. Sınırları yerine koy.

\begin{aligned} F(3) - F(1) &= (27 + 9a + 3a) \\ &\quad - (1 + a + a) \\ &= 26 + 10a \end{aligned}

3. Denklemi çöz. $26 + 10a = 56 \Rightarrow a = 3$ .

Sağlama: $a = 3$ için integralin içi $3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2$ olur; ters türevi $(x + 1)^3$ , değeri $4^3 - 2^3 = 56$ .

Tuzak: $F(1)$ değerini çıkarırken parantezi unutup $-1 + a + a$ yazmak.

Cevap: A

2022 AYTSoru 27

Orta

Alt ve üst toplam

$[0, 6]$ kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve artan bir $f$ fonksiyonunun grafiği dik koordinat düzleminde şekildeki gibidir.

Buna göre $f$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ ekseni arasında $[0, 6]$ aralığında kalan bölgenin alanı

I. $6 \cdot f(6)$
II. $3 \cdot f(3) + 3 \cdot f(6)$
III. $2 \cdot f(0) + 2 \cdot f(2) + 2 \cdot f(4)$

değerlerinin hangilerinden küçüktür?

İpucu

Her ifade bir dikdörtgenler toplamıdır: genişlik çarpı bir uçtaki fonksiyon değeri. Her biri için aralığın kaç parçaya bölündüğünü ve yüksekliğin hangi uçtan alındığını belirle.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

Alan $A$ olsun. $f$ artan olduğundan her parçada en küçük değer sol uçta, en büyük değer sağ uçtadır.

I. Tek parça $[0, 6]$ , yükseklik sağ uçtan: $6 \cdot f(6)$ bir üst toplamdır. $A < 6 \cdot f(6)$ .

II. İki parça $[0, 3]$ ve $[3, 6]$ , yükseklikler sağ uçlardan: yine üst toplam. $A < 3 \cdot f(3) + 3 \cdot f(6)$ .

III. Üç parça $[0, 2]$ , $[2, 4]$ , $[4, 6]$ , yükseklikler sol uçlardan: bu bir alt toplamdır. $2 \cdot f(0) + 2 \cdot f(2) + 2 \cdot f(4) < A$ ; alan bu değerden büyüktür.

Alan yalnızca I ve II değerlerinden küçüktür.

Tuzak: III'te parça sayısının çok olması toplamı "daha doğru" yapar ama yönünü değiştirmez; sol uçlar artan fonksiyonda hep alttan yaklaşır.

Cevap: C

2021 AYTSoru 24

Zor

Türev grafiğinden net değişim

Bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği, dik koordinat düzleminde $[0, 10]$ kapalı aralığı için çizilmiştir. Grafik ile $x$ ekseni arasında kalan bölgelerin alanları şeklin üzerinde yazılıdır.

f(0) = \dfrac{-1}{2}

olduğuna göre $f$ fonksiyonunun $[0, 10]$ aralığında kaç farklı kökü vardır?

İpucu

Türev grafiğinin altındaki işaretli alan, $f$ 'deki değişimdir. $f'$ grafiğinin ekseni kestiği her noktada $f$ 'nin değerini sırayla hesapla, sonra $f$ 'nin sıfırdan kaç kez geçtiğine bak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Araç. $\displaystyle\int_p^q f'(x)\,dx = f(q) - f(p)$ . Eksenin üstündeki alan kadar $f$ artar, altındaki alan kadar azalır.

2. Değerleri izle. $f'$ grafiğinin $(0, 10)$ aralığında ekseni kestiği noktalar soldan sağa $x_1, x_2, x_3, x_4$ olsun.

\begin{aligned} f(0) &= -\tfrac{1}{2} \\ f(x_1) &= -\tfrac{1}{2} + 3 = \tfrac{5}{2} \\ f(x_2) &= \tfrac{5}{2} - 2 = \tfrac{1}{2} \\ f(x_3) &= \tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{5}{2} \\ f(x_4) &= \tfrac{5}{2} - 4 = -\tfrac{3}{2} \\ f(10) &= -\tfrac{3}{2} + 5 = \tfrac{7}{2} \end{aligned}

3. Kökleri say. Bu noktalar arasında $f'$ işaret değiştirmez; $f$ her parçada ya hep artar ya hep azalır. Bu yüzden bir parçada en çok bir kök olabilir ve kök ancak uç değerlerin işareti farklıysa vardır.

$[0, x_1]$ : $-\tfrac{1}{2} \to \tfrac{5}{2}$ , işaret değişti: 1 kök.
$[x_1, x_2]$ ve $[x_2, x_3]$ : değerler $\tfrac{1}{2}$ ile $\tfrac{5}{2}$ arasında, hep pozitif: kök yok.
$[x_3, x_4]$ : $\tfrac{5}{2} \to -\tfrac{3}{2}$ : 1 kök.
$[x_4, 10]$ : $-\tfrac{3}{2} \to \tfrac{7}{2}$ : 1 kök.

Toplam $3$ kök.

Tuzak: $f'$ grafiğinin ekseni kestiği noktaları ( $4$ tane) $f$ 'nin kökü sanmak. Onlar $f$ 'nin tepe ve çukur noktalarıdır.

Cevap: C

2021 AYTSoru 25

Orta

Parçalı fonksiyonun integrali

$a$ ve $b$ gerçel sayılardır. Gerçel sayılar kümesinde sürekli olan $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} 6 - \dfrac{3x^2}{2}, & x < 2 \\[6pt] ax - b, & x \ge 2 \end{cases}

kuralıyla veriliyor.

\int_0^4 f(x)\,dx = \int_2^6 f(x)\,dx

olduğuna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

İpucu

İki bilinmeyen için iki denklem gerekir: biri süreklilikten, biri integral eşitliğinden gelir. İki integralin ortak bir parçası var; onu iki taraftan da atabilirsin.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Süreklilik. $x = 2$ noktasında iki parçanın değeri eşit olmalı: $6 - \dfrac{3 \cdot 4}{2} = 0 = 2a - b$ . Buradan $b = 2a$ ; yani $x \ge 2$ için $f(x) = a(x - 2)$ .

2. Ortak parçayı at. İki integral de $[2, 4]$ aralığını içerir:

\begin{aligned} \int_0^2 f + \int_2^4 f &= \int_2^4 f + \int_4^6 f \\[4pt] \int_0^2 f(x)\,dx &= \int_4^6 f(x)\,dx \end{aligned}

3. Sol taraf (birinci kural):

\begin{aligned} \int_0^2 \left(6 - \dfrac{3x^2}{2}\right) dx &= \left[6x - \dfrac{x^3}{2}\right]_0^2 \\[4pt] &= 12 - 4 = 8 \end{aligned}

4. Sağ taraf (ikinci kural):

\begin{aligned} &\int_4^6 a(x - 2)\,dx = a\left[\dfrac{x^2}{2} - 2x\right]_4^6 \\[4pt] &\quad = a\bigl((18 - 12) - (8 - 8)\bigr) = 6a \end{aligned}

5. $8 = 6a \Rightarrow a = \dfrac{4}{3}$ , $b = 2a = \dfrac{8}{3}$ ve $a + b = 4$ .

Tuzak: sürekliliği kullanmadan yalnızca integral eşitliğiyle uğraşmak; tek denklemle iki bilinmeyen bulunmaz.

Cevap: D

2018 AYTSoru 23

Orta

Alt ve üst toplamla sınırlama

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonu artan ve süreklidir. Bu fonksiyonun üç değeri biliniyor:

f(0) = 2 \qquad f(1) = 3 \qquad f(2) = 4

Buna göre $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx$ integralinin değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

İpucu

Fonksiyonun kuralı yok ama artan olduğu biliniyor. $[0, 1]$ ve $[1, 2]$ aralıklarında $f$ 'nin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri düşün.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Aralığı verilen noktalardan böl. $[0, 1]$ ve $[1, 2]$ ; her birinin genişliği $1$ .

2. Alt toplam. $f$ artan olduğundan her parçada en küçük değer sol uçtadır:

1 \cdot f(0) + 1 \cdot f(1) = 2 + 3 = 5

3. Üst toplam. En büyük değer sağ uçtadır:

1 \cdot f(1) + 1 \cdot f(2) = 3 + 4 = 7

4. Sonuç. İntegral bu iki toplamın arasındadır: $5 \le \displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx \le 7$ . Seçeneklerde bu aralığa düşen tek sayı $6$ 'dır. Örneğin $f(x) = x + 2$ üç koşulu da sağlar ve integrali tam $6$ 'dır.

Tuzak: $2 \cdot f(0) = 4$ ve $2 \cdot f(2) = 8$ tek parçalı alt ve üst toplamlardır; integral bunlara eşit olamaz, aradaki $f(1) = 3$ bilgisi sınırı daraltır.

Cevap: C

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Temel teoremle hesap

\int_{-1}^{2} \left(6x^2 - 4x + 1\right) dx

integralinin değeri kaçtır?

Çözüm

1. Ters türev. $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x$ .

2. Sınırlar.

\begin{aligned} F(2) &= 16 - 8 + 2 = 10 \\ F(-1) &= -2 - 2 - 1 = -5 \end{aligned}

3. Fark. $F(2) - F(-1) = 10 - (-5) = 15$ .

Çeldiriciler: $10 - 5 = 5$ (eksi işareti kayboldu), $F(2) - F(1) = 9$ (alt sınır $1$ alındı), $f(2) - f(-1) = 17 - 11 = 6$ (ters türev alınmadan sınırlar yazıldı).

Cevap: D

Özgün soru2

Orta

Parçalı fonksiyonun integrali

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} 3x^2, & x \le 1 \\[4pt] 4x - 1, & x > 1 \end{cases}

kuralıyla veriliyor.

Buna göre $\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x)\,dx$ integralinin değeri kaçtır?

İpucu

İntegral aralığı kuralın değiştiği noktayı içeriyor. Aralığı o noktadan böl ve her parçada kendi kuralını kullan.

Çözüm

1. Böl. Kural $x = 1$ noktasında değişir:

\begin{aligned} \int_{-1}^{3} f(x)\,dx &= \int_{-1}^{1} 3x^2\,dx \\[4pt] &\quad + \int_{1}^{3} (4x - 1)\,dx \end{aligned}

2. Birinci parça. $\left[x^3\right]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2$ .

3. İkinci parça. $\left[2x^2 - x\right]_{1}^{3} = (18 - 3) - (2 - 1) = 14$ .

4. Topla. $2 + 14 = 16$ .

Çeldiriciler: $(-1)^3 = -1$ işaretini kaçırınca birinci parça $0$ ve sonuç $14$ çıkar. Bütün aralıkta tek kural kullanmak $12$ ( $4x - 1$ ile) ya da $28$ ( $3x^2$ ile) verir.

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Riemann toplamı

$f(x) = x^2 + 2$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ ekseni arasında $[0, 4]$ aralığında kalan bölgenin alanı $A$ birimkaredir. Aynı bölge için $[0, 4]$ aralığı dört eşit parçaya bölünüp her parçanın orta noktasındaki fonksiyon değeri yükseklik alınarak kurulan Riemann toplamı $T$ 'dir.

Buna göre $A - T$ farkı kaçtır?

İpucu

$T$ için dört orta noktayı ve genişliği yaz. $A$ için belirli integrali temel teoremle hesapla.

Çözüm

1. Riemann toplamı. Genişlik $\Delta x = \dfrac{4 - 0}{4} = 1$ . Orta noktalar $\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{5}{2}, \dfrac{7}{2}$ .

\begin{aligned} T &= \left(\dfrac{1}{4} + 2\right) + \left(\dfrac{9}{4} + 2\right) \\[4pt] &\quad + \left(\dfrac{25}{4} + 2\right) + \left(\dfrac{49}{4} + 2\right) \\[4pt] &= \dfrac{84}{4} + 8 = 29 \end{aligned}

2. Gerçek alan. Fonksiyon bu aralıkta pozitiftir; alan integrale eşittir.

\begin{aligned} A &= \int_0^4 (x^2 + 2)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3} + 2x\right]_0^4 \\[4pt] &= \dfrac{64}{3} + 8 = \dfrac{88}{3} \end{aligned}

3. Fark. $A - T = \dfrac{88}{3} - 29 = \dfrac{88 - 87}{3} = \dfrac{1}{3}$ .

Yorum: orta nokta toplamı yalnızca dört dikdörtgenle gerçek alana $\dfrac{1}{3}$ kadar yaklaştı. Aynı parçalarla sol uç toplamı $22$ , sağ uç toplamı $38$ olurdu.

Cevap: A

Özgün soru4

Zor

Türev grafiğinden net değişim

$[0, 6]$ aralığında tanımlı ve türevli bir $f$ fonksiyonunun türevinin grafiği, şekildeki gibi iki doğru parçasından oluşmaktadır.

f(0) = 3

olduğuna göre $f$ fonksiyonunun $[0, 6]$ aralığında aldığı en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

İpucu

Türev grafiği ile eksen arasındaki üçgenlerin alanlarını bul. $f'$ grafiğinin ekseni kestiği noktalarda ve uçlarda $f$ 'nin değerlerini sırayla hesapla.

Çözüm

1. Üçgenlerin alanları. Grafik ekseni $x = 2$ ve $x = 5$ noktalarında keser.

$[0, 2]$ : eksenin üstünde, taban $2$ , yükseklik $2$ : alan $2$ .
$[2, 4]$ : eksenin altında, taban $2$ , yükseklik $2$ : alan $2$ .
$[4, 5]$ : eksenin altında, taban $1$ , yükseklik $2$ : alan $1$ .
$[5, 6]$ : eksenin üstünde, taban $1$ , yükseklik $2$ : alan $1$ .

2. Değerleri izle. $f(q) = f(p) + \displaystyle\int_p^q f'(x)\,dx$ :

\begin{aligned} f(0) &= 3 \\ f(2) &= 3 + 2 = 5 \\ f(5) &= 5 - 2 - 1 = 2 \\ f(6) &= 2 + 1 = 3 \end{aligned}

3. En büyük ve en küçük değer. $f$ , $[0, 2]$ aralığında artar, $[2, 5]$ aralığında azalır, $[5, 6]$ aralığında yeniden artar. En büyük değer için adaylar $f(2) = 5$ ve uçlardaki $3$ ; en küçük değer için adaylar $f(5) = 2$ ve uçlardaki $3$ .

En büyük değer $5$ , en küçük değer $2$ ; toplamları $7$ .

Tuzak: türev grafiğinin en alçak noktası olan $x = 4$ 'ü $f$ 'nin en küçük değeri sanmak. Orada $f(4) = 3$ 'tür ve $f$ hâlâ azalmaktadır; $f$ ancak türev sıfır olunca ( $x = 5$ ) dönmeye başlar.

Cevap: C

Özgün soru5

Zor

Özellikler ve sınır dönüşümü

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir $f$ fonksiyonu için

\int_0^6 f(x)\,dx = 10

\int_1^3 f(2x)\,dx = 3

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre $\displaystyle\int_0^1 \bigl(f(2x) + 4x\bigr)\,dx$ integralinin değeri kaçtır?

İpucu

$f(2x)$ içeren her integrali $u = 2x$ dönüşümüyle $f(u)$ integraline çevir ve sınırların neye dönüştüğünü yaz. Sonra aralık bölme özelliğini kullan.

Çözüm

1. İkinci veriyi çevir. $u = 2x$ , $du = 2\,dx$ ; $x = 1$ için $u = 2$ , $x = 3$ için $u = 6$ .

\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\int_2^6 f(u)\,du &= 3 \\[4pt] \int_2^6 f(x)\,dx &= 6 \end{aligned}

2. Aralığı böl. $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = \int_0^6 f(x)\,dx - \int_2^6 f(x)\,dx = 10 - 6 = 4$ .

3. İsteneni ayır. Toplamın integrali terim terim alınır.

$\displaystyle\int_0^1 f(2x)\,dx$ : yine $u = 2x$ ; sınırlar $0$ ve $2$ olur. Değeri $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^2 f(u)\,du = \dfrac{4}{2} = 2$ .
$\displaystyle\int_0^1 4x\,dx = \left[2x^2\right]_0^1 = 2$ .

4. Topla. $2 + 2 = 4$ .

Çeldiriciler: yalnızca son adımda $\dfrac{1}{2}$ çarpanı unutulursa $4 + 2 = 6$ ; çarpan iki dönüşümde de unutulursa $\displaystyle\int_0^2 f = 10 - 3 = 7$ ve sonuç $7 + 2 = 9$ ; $4x$ teriminin integrali atlanırsa $2$ bulunur.

Cevap: B

Özgün soru6

Orta

Net değişim

Bir serada yetiştirilen fidanın boyu, dikildikten $t$ ay sonra ayda $3\sqrt{t}$ santimetre hızla uzamaktadır.

Buna göre fidanın boyu, 1. ayın sonundan 4. ayın sonuna kadar kaç santimetre uzar?

İpucu

Verilen ifade boyun kendisi değil, uzama hızıdır. Bir büyüklüğün değişim hızını bir aralıkta integrallersen o aralıktaki net değişimi bulursun.

Çözüm

1. Modeli kur. Uzama hızı boyun türevidir. $t = 1$ ile $t = 4$ arasındaki uzama, hızın bu aralıktaki belirli integralidir:

\int_1^4 3\sqrt{t}\,dt

2. Ters türev. $3t^{\frac{1}{2}}$ ifadesinin ters türevi $3 \cdot \dfrac{2}{3}\,t^{\frac{3}{2}} = 2t^{\frac{3}{2}}$ .

3. Sınırlar. $4^{\frac{3}{2}} = 8$ olduğundan $2 \cdot 8 - 2 \cdot 1 = 14$ .

Fidan $14$ santimetre uzar.

Çeldiriciler: yeni üsse bölmeyi unutup $3 \cdot (8 - 1) = 21$ bulmak; alt sınırı $0$ alıp $16$ bulmak (soru ilk dört ayı değil, 1. aydan sonrasını soruyor).

Cevap: B